《勾股定理》典型練習(xí)題

1、第1頁(yè)一總 8 頁(yè)勾股定理典型例題分析、知識(shí)要點(diǎn):1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直 角邊為 a、b,斜邊為 c,那么 a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2, b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三邊長(zhǎng)分別是 a，b，c,且滿足 a2+b2=c2,那么三角形 ABC 是直角三角形。這 個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：1已知的條件：某三角形的三條邊的長(zhǎng)度.2滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.3得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的

2、對(duì)角是直角4如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足 a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù) 一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3，4，5?）（5, 12，13?）（?6，8，10?）?（?7，24，25?）?（?8，15，17?）（9，12，15?） ?4、最短距離問題：主要5、運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積： （1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長(zhǎng)方形；（3）陰影部分是半圓.2.如圖，以 Rt ABC 的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面

3、積之間的關(guān)系.3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形,是 S、S、S3,則它們之間的關(guān)系是（）A.S-S2=S3B.S+S2=S3C.S+S3VS D.S2-S3=S、考點(diǎn)剖析SiS2S3第2頁(yè)一總 8 頁(yè)4、四邊形 ABC 沖，/ B=90, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四邊形ABCD 勺面積。5、（難）在直線 上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖 4 所示）。已 知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是 1、2、3，正放置的四個(gè)正 方 形 的 面積 依 次 是、1 .在直角三角形中,若兩直角邊的長(zhǎng)分別為 1cm 2cm 則斜邊長(zhǎng)為.2已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為 3、2,則另

4、一條邊長(zhǎng)的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 5 和 12,求斜邊上的高./Il Xj j4、 把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的 2 倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（）A. 2 倍B. 4 倍C. 6 倍D. 8 倍h ! 1/5、在 Rt ABC 中，/ C=901若 a=5，b=12，貝 U c=_ ;T f2若 a=15, c=25，則 b=_ ;3若 c=61, b=60,則 a=_ ;.i4若 a : b=3 : 4, c=10 則 Rt ABC 的面積是=_。&如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為n21, 2n （n 1）,那么它的斜邊長(zhǎng)是（）A、2nB、n+1C、n2

5、1Dn217、在 Rt ABC 中, a,b,c 為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（）A.a2+b2=C2B. a2+c2=b2C.c2+b2=a2D.以上都有可能I L二二2 2 29、已知 x、y 為正數(shù)，且丨x-4|+（y -3）=0,如果以 x、y 的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形,那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（）A5B 25C、7D 1510、已知在 ABC 中, AB=13cm AC=15cm 高 AD=12crp 求厶 ABC 的周長(zhǎng)。（提示：兩種情況）考點(diǎn)二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊第3頁(yè)一總 8 頁(yè)8、已知 Rt ABC 中, / C=90o, 若a+b

6、=14cm c=10cm,貝 u Rt ABC 的面積是（）2 2 2 2A、24cmB 36cmCC 48cmD 60cm第4頁(yè)一總 8 頁(yè)考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖 1 所示，等腰中，肚.，丄:是底邊上的高，若 菸二“二1，求 AD 的長(zhǎng)；厶 ABC 的面積.考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、 若線段 a，b，c 組成直角三角形，貝尼們的比為（）A、2 : 3 : 4 B、3 : 4 : 6

7、C、5 : 12 ： 13 D 4 : 6 : 73、下面的三角形中：1厶 ABC 中,ZC=ZA-ZB;X7| i2厶 ABC 中,ZA:ZB:ZC=1: 2: 3;3厶 ABC 中, a： b: c=3: 4: 5;lI4厶 ABC 中，三邊長(zhǎng)分別為 8，15，17.其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）.A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)4、 若三角形的三邊之比為2：1:1，則這個(gè)三角形一定是（）2 V2r-| L JA.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等邊三角形2 2 2 2 25、 已知 a，b，cABCE 邊，且滿足（ab ）（a +b-c）=0，則它

8、的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形&將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7、 若厶 ABC 的三邊長(zhǎng) a,b,c 滿足a2b2c2200 = 12a 16b 20c，試判斷 ABC 的形狀。8、 ABC 的兩邊分別為 5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是 3 的倍數(shù)，則 c 應(yīng)為，此三角形為。 例 3:第5頁(yè)一總 8 頁(yè)求（1）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是 7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為 1: 、3 : 2,則其最小

9、角為。某樓梯的側(cè)面視圖如圖 3 所示，其中.;1；：-4米，工么Zt；;I.V，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在 AB 段樓梯所鋪的長(zhǎng)度應(yīng)為？?.考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長(zhǎng)（方程思想）1、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎？2、一架長(zhǎng) 2.5 m 的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離 墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4m，那么梯 子底端將向左滑動(dòng)米3、 如圖，一個(gè)長(zhǎng)為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米， 如果梯子 的頂端下滑 1 米，那么，梯子

10、底端的滑動(dòng)距離 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、 在一棵樹 10m 高的 B 處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m 處的池塘 A 處；？另外一只爬 到樹頂 D 處后直接躍到 A 外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等， 試問這棵樹有多l(xiāng) t=_I I高？5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm 計(jì)算兩圓孔中心 A 和 B 的距離為.60 .&如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米,，一只力旳從一棵樹的樹梢飛 到另一棵樹的樹梢，至少飛了米.XZX7、如圖 18-15 所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在 A

11、 處登陸 后，往東走 8km,又往北走 2km,遇到障礙后又往西走 3km, 再折向北方走到 5km 處往東一拐，僅 1km?就找到了寶藏，問: 登陸點(diǎn)（A 處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B 處）的直線距離是多少？1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6 BC=8 將第 4 頁(yè)一總 8 頁(yè)?考點(diǎn)五：應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯?jiǎn)栴}考點(diǎn)七：折疊問題（較難的一類）地毯I A -第7頁(yè)一總 8 頁(yè) ABC 折疊，使點(diǎn) B 與點(diǎn) A 重合，折痕為 DE 則 CE 等于（）A.25B.22C.7D.543432、 如圖所示，已知 ABC 中, / C=90 , AB 的垂直平分線交 BC?于 M 交 AB

12、 于 N,若 AC=4 MB=2M,C求 AB 的長(zhǎng).3、 折疊矩形 ABCD 勺一邊 AD,點(diǎn) D 落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處,已知 AB=8CM,BC=10C 求 CF 和 EG4、 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD 中 DC=5 在 DC 邊上存在一點(diǎn) E, ABC 折疊，使點(diǎn) D 恰好在 BC 邊上，設(shè)此點(diǎn)為卩，若厶 ABF 30,求折疊的厶 AED 的面積5、 如圖，矩形紙片 ABCD 勺長(zhǎng) AD=9cm，寬 AB=3cm，將其與點(diǎn) B 重合，那么折疊后 DE 的長(zhǎng)是多少？6 如圖，在長(zhǎng)方形 ABC 沖，將厶 ABC 沿 AC 對(duì)折至厶 AEC 位置，CE 與 AD 交于點(diǎn) F（1）試說明

13、：AF=FC （2）如果 AB=3 BC=4 求 AF 的長(zhǎng)7、 如圖 2 所示，將長(zhǎng)方形 ABCD&直線 AE 折疊，頂點(diǎn) D 正好落在 BC 邊上 F 點(diǎn)處，已知 CE=3cmAB=8cm 則圖中陰影部分面積為 _ .8、 如圖 2-3，把矩形 ABC沿直線 BD 向上折疊，使點(diǎn) C 落在C的位置上，已知 AB=? 3, BC=7 重合部分厶 EBD 的面積為_.9、 （難） 如圖 5,將正方形 ABCDff 疊， 使頂點(diǎn) A 與 CD 邊上的點(diǎn) M 重合，折痕交 AD 于 E,交 BC 于 F,邊 AB 折疊后與 BC 邊交于點(diǎn) G 如果 M 為CD 邊的中點(diǎn)，求證：DE: DM

14、 EM=3 4: 5。10、 如圖 2-5，長(zhǎng)方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若將該矩形折疊，使 C點(diǎn)與 A 點(diǎn)重合，？則折疊后痕跡 EF 的長(zhǎng)為（）A. 3.74B. 3.75C. 3.76D. 3.77U2-511、（稍難）如圖 1-3-11，有一塊塑料矩形模板 ABCD 長(zhǎng)為 10cm,寬為 4cm 將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn) P 落在 AD 邊上（不與AD 重合），在 AD 上 適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn) P:能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B 與點(diǎn) C?若能，請(qǐng)你求出這時(shí) AP 的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由再次移動(dòng)三角板位置， 使三角板頂點(diǎn) P 在 AD 上移動(dòng)，

15、 直角邊 PF與 DC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q 與 BC 交于點(diǎn) E,能否使 CE=2cm 若能, 能，請(qǐng)你說明理由（提示：根據(jù)勾股定理，列出一元二次方程，超初二范圍）PH 始終通過點(diǎn) B,另一直角邊請(qǐng)你求出這時(shí) AP 的長(zhǎng)；若不AD沿直線 AE 把的面積為折疊，使點(diǎn) DB FC第8頁(yè)一總 8 頁(yè)12、（難）如圖所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，E、F 分別是 AB AC 邊上的點(diǎn)，且 DEIDF,若 BE=12 CF=5 求線段 EF 的長(zhǎng)。（提示：連接 AD,證厶 AEDACFD 可得 AE=CF=5 AF=BE=12 即13、（好）如圖，公路 MN 和公

16、路 PQ 在點(diǎn) P 處交匯，且/ QPN= 30 一所中學(xué)，A 吐 160m 假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100m 以內(nèi)會(huì)受到 響，那么拖拉機(jī)在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,影響的時(shí)間為多少秒？考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為5，則正方形 A， B, C, D 的面積2、（好，稍難）已知 ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形，ABC的斜邊 AC 為直角邊，畫第二個(gè)等腰 Rt ACD 再以 Rt 的斜邊 AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰

17、 Rt ADE，依此類推， 等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（、2）可求）B點(diǎn) A 處有噪音的影聲影響？那么學(xué)校受QB第9頁(yè)一總 8 頁(yè)考點(diǎn)九、圖形問題第10頁(yè)一總 8 頁(yè)的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路， 他們?cè)O(shè)計(jì)了四種A案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助 計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省B(2)332、2.3+1考點(diǎn)十二、航海問題1、一輪船以 16 海里/時(shí)的速度從 A 港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以 12 海里/時(shí)的速度從 A 港1、如圖 1,求該四邊形的面積2、已知，在 ABC 中, / A=45, AC=, AB=+1,則邊 BC 的長(zhǎng)為.3、（好，稍難）某公司的大門如圖所示,其中四邊形AB

18、CD是長(zhǎng)方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB=2.3m,BC=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為 2.51.6m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由4、 將一根長(zhǎng) 24cm的筷子置于地面直徑為 5cm,高為 12cm的圓柱形 設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為 hcm,則 h 的取值范圍。垂直 AB 于 B,已知 AD=15km BC=10km 現(xiàn)在要在鐵路 AB 上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站 E,使得 C、D兩村到 E 站的距離相等，則 E 站建在距 A 站多少千米處？考點(diǎn)十：其他圖形與直角三角形jTI I ll IFZ _ .I s I *Il I; ;1/如圖是一塊地，已知 AD=8m C

19、D=6m/ D=90 , AB=26m BC=24m 求這塊地的面積。-.- I:考點(diǎn)十一：與展開圖有關(guān)的計(jì)算1、如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCA B C D的表面上，求從頂點(diǎn) A 到頂點(diǎn) C 的最短距離.2、如圖一個(gè)圓柱， 底圓周長(zhǎng)6cm,高4cm一只螞蟻沿外壁爬行， 要爬到B 點(diǎn)，則最少要爬行cm3、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀， 目前正在全A國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B C、D,且正好位于一個(gè)D正方架設(shè)方D電m,寬為水杯中，于 A, CB)第11頁(yè)一總 8 頁(yè)向西北方向航行，經(jīng)過 1.5 小時(shí)后，它們相距 _ 海里.2、（不難，考一元二次方程，超初二范圍） 如圖，某貨船以 24 海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A 處運(yùn)往正東方向的 M 處，在點(diǎn) A