圓的一般方程1優(yōu)質(zhì)課

1、復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3.3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素: : 是是 和和 . .1.1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. . 其中圓心坐標(biāo)為其中圓心坐標(biāo)為C(a,b),C(a,b),半徑為半徑為r.r.2.2.當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點上當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點上, ,這時這時a=b=0,a=b=0, 那么圓的方程為那么圓的方程為x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. .圓心坐標(biāo)圓心坐標(biāo)半徑半徑圓的一般方程研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開, ,化簡化簡, ,整理整理

2、, ,可得可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b,F=a2 2+b+b2 2-r-r2 2, ,可寫成可寫成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.也就是說也就是說: : 任何一個圓的方程都可以通過展開寫成下面方程任何一個圓的方程都可以通過展開寫成下面方程的形式：的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 請大家思考一下請大家思考一下,反過來講反過來講,形形如如的方程的曲線是否一定的方程

3、的曲線是否一定是一個圓呢？下面我們來深是一個圓呢？下面我們來深入研究這一方面的問題入研究這一方面的問題. 圓的一般方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2研究二元二次方程表示的圖形研究二元二次方程表示的圖形 再將上述方程再將上述方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 左邊運用配方法左邊運用配方法, ,得得(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2= = D D2 2E E2 22 22 2D DE E4 4F F4 4 顯然顯然是不是圓方程與是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)是什么樣的數(shù) 密切相關(guān)密切相關(guān) 2 22 2

4、D DE E4 4F F4 4 (1)(1)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時時, ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( )=( )2 2 D D2 2E E2 22222DE4FDE4F2 2方程表示以方程表示以(- ,- )(- ,- )為圓心、以為圓心、以 為半徑的圓為半徑的圓. .D D2 2E E2 22 22 21 1D DE E4 4F F2 2 (2)(2)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0時時, ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=0=0 D D2 2E E2 2

5、方程只有實數(shù)解方程只有實數(shù)解x=- ,y=- ,x=- ,y=- ,表示一個點表示一個點(- ,- ).(- ,- ). D D2 2E E2 2D D2 2E E2 2(3)(3)當(dāng)當(dāng)D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時時, ,式可化為式可化為(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 20 0 D D2 2E E2 2方程沒有實數(shù)解方程沒有實數(shù)解, ,因而它不表示任何圖形曲線因而它不表示任何圖形曲線. . 圓的一般方程得結(jié)論、給定義得結(jié)論、給定義方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的軌跡可能是圓、點或無軌跡的軌跡可能是圓、點或無軌跡

6、. . 我們把我們把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0時時x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的所表示的圓的方程稱為圓的一般方程圓的方程稱為圓的一般方程. . 學(xué)過兩種形式的圓的方學(xué)過兩種形式的圓的方程程( (標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程) )之后之后, ,誰能指出它們各自誰能指出它們各自的優(yōu)點呢？的優(yōu)點呢？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圓的一般方程圓的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特點突出了形式上的特點: :(1)x

7、(1)x2 2和和y y2 2的系數(shù)相同的系數(shù)相同, ,且不等于且不等于0 0(2)(2)沒有沒有xyxy這樣的二次項這樣的二次項. . 以上兩點是二元二次方程以上兩點是二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圓的表示圓的 條件條件. . 必要不充分條件必要不充分條件充要條件充要條件是什么呢是什么呢? ?明確指出了圓心和半徑明確指出了圓心和半徑圓的一般方程例題分析例題分析例例1.1.求過三點求過三點O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圓的方程的圓的方程, ,并求并求 出這個

8、圓的圓心坐標(biāo)和半徑出這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑. . 分析分析:圓的一般方程需確定三個系數(shù)圓的一般方程需確定三個系數(shù), ,用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法. . 解解:設(shè)所求的圓的方程為設(shè)所求的圓的方程為x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因為因為O O、M M1 1、M M2 2 三點在圓上三點在圓上, ,所以它們的坐標(biāo)是方程的解所以它們的坐標(biāo)是方程的解, , 解此方程組解此方程組, ,可得可得:D=-8,E=6,F=0. :D=-8,E=6,F=0. 所求圓的方程為所求圓的方程為:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0. F F0 0D DE E

9、F F2 20 04 4D D2 2E EF F2 20 00 0 將此方程左邊配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程將此方程左邊配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2, ,于是圓心坐標(biāo)于是圓心坐標(biāo)(4,-3),(4,-3),半徑為半徑為r=5.r=5. 方法方法: :待定系數(shù)法待定系數(shù)法和配方法和配方法圓的一般方程例題分析例題分析圓的一般方程圓的一般方程例例2.2.經(jīng)過點經(jīng)過點M(-6,0)M(-6,0)作圓作圓C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的割線的割線, ,交圓交圓 C C于于A A、B B兩點兩點, ,求線段求線段A

10、BAB的中點的中點P P的軌跡的軌跡. . 解解: :圓圓C C的方程可化為的方程可化為(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圓心為其圓心為C(3,2),C(3,2), 半徑為半徑為2.2.設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)是軌跡上任意一點是軌跡上任意一點.CPMP.CPMP k kCPCPkkMPMP=-1,=-1,即即 =-1.=-1. 化簡得化簡得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0, 點點C C在曲線上在曲線上, ,并且曲線為圓并且曲線為圓C C內(nèi)部的一段圓弧內(nèi)部的一段圓弧. . y2yy2yx3x6x3x6 1. 1.補充

11、練習(xí)補充練習(xí): :課堂練習(xí)課堂練習(xí)注意注意: :圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2的半徑是的半徑是|m|.|m|.圓的一般方程(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的曲線是以表示的曲線是以(-2,3)(-2,3) 為圓心為圓心,4,4為半徑的圓為半徑的圓. .求求D D、E E、F F的值的值答案答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求經(jīng)過三點求經(jīng)過三點A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的圓的圓 的方程的方程. .待定系數(shù)法待定系數(shù)法,答案答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0. 課時小結(jié)課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)通過本節(jié)學(xué)習(xí), ,首先要掌握圓的一般方程首先要掌握圓的一般方程, ,能能進(jìn)行圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化進(jìn)行圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化. . 其次其次, ,還應(yīng)該根據(jù)已知條件與圓的兩種形式的還