第四章線性方程組的理論

1、 第四章第四章 線性方程組的理論線性方程組的理論 u線性方程組有解的條件u線性相關(guān)性的理論u線性方程組解的結(jié)構(gòu)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111),(bAB A為系數(shù)矩陣 為增廣矩陣，則定理1 線性方程組有解的充分必要條件為R(A)=R(B),當(dāng)R(A)=R(B)=n,有唯一解；當(dāng)R(A)=R(B)=rn，有無窮多個(gè)解。 線性方程組有解的條件)19(0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc 1222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccBrnr

2、rnrnrcccccccccA2222111211001)()(11rrdrdrBRrAR當(dāng)當(dāng)由于初等變換不改變秩，所以001)()()()(11rrdrdrBRBRrARAR當(dāng)當(dāng)n定理定理2 2 元齊次線性方程組0m nAx .R An只有唯一零解的充要條件為 .R An有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩0m nAx推論1 齊次線性方程組推論2 ()當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組mn(2)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組mn0.A 0m nAx必有非零解；0m nAx有非零解的充分必要條件是對(duì)于齊次線性方程組 ，先把它的系數(shù)矩陣 化成行階梯形若發(fā)現(xiàn) ，則方程組只有零解；若 ，則繼續(xù)將 化成行最簡(jiǎn)形，便可直接

3、寫出它的通解 A0m nAx R An R ArnA小結(jié)：對(duì)于非齊次線性方程組 m nAxb先把它的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)定理2判斷它是否有解；在有解時(shí)，再把增廣矩陣化成行最簡(jiǎn)形， R AR Bn R AR Brn根據(jù) 或的情形分別寫出它的唯一解或通解例例 1 設(shè)有線性方程組123123123212131321xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個(gè)解？并在有無窮多個(gè)解時(shí)求其通解 問 為何值時(shí)，此線性方程組解解 因?yàn)榉匠痰膫€(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，故可從系數(shù)矩陣的行列式入手討論因?yàn)锳 22133201100111 故由克拉默法則知，當(dāng) ， ， 時(shí),01 10,AB當(dāng)

4、 時(shí)，寫出對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣 ，0B 002101310031方程組有唯一解并把它化成行階梯形矩陣12rr 0131002100313232rr 0131002150002 2,R A 3,R B R AR B所以方程組無解 當(dāng) 時(shí)， 1 B 1121133111231121021000042131rrrr 2,R A 3,R B R AR B所以方程組無解 當(dāng) 時(shí)， 1B 1 1211 1311 1412131rrrr 112100100020312rr 110100100000所以方程組有無窮多個(gè)解 23R AR B取 為自由未知量，得原方程組的同解方程組為 2x1222310 xxxx

5、x 1223110100 xxxx 即令 為任意常數(shù)，則得方程組的通解為 2xk123110100 xxkx 1-22242432143214321xxxxxxxxxxxx例3 取何值方程無解定理3 矩陣方程AX=B,有解的充要條件是R(A)=R(A,B) n 維向量及其線性運(yùn)算解析幾何 ：原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn) 為( , , )P x y z, ,OPx y z ( , , )P x y z, ,OPrx y z 一一對(duì)應(yīng)終點(diǎn)的有向線段所表示的向量為代數(shù)代數(shù)：把向量表示中的花括弧換成圓括弧表示成 , ,rx y z或Txryxyzz定義1 稱 矩陣 1n12naaaa為一個(gè) 維維列向量列向量n為一個(gè)

6、 維維行向量行向量（即 矩陣）. n1 n分量T12,naa aa稱列向量的轉(zhuǎn)置說明：若不加特別說明，所涉及的向量均為 維列向量，且為了書寫方便，有時(shí)以行向量的轉(zhuǎn)置表示列向量 n, , ,a b 列向量用黑體小寫字母 等表示行向量則用 等表示TTTT,abT00,0,0T12(,) ,naaa向量相等：若 維向量T12,na aa與n零向量：分量全為零的向量，記作0 0，即 負(fù)向量 ： 的負(fù)向量是T12,naa aa稱 與 相等，記作.a記作11,2,iab in即 時(shí)，T12,nb bb中各個(gè)對(duì)應(yīng)的分量相等T12,na aa則向量1122,Tnnab abab叫作向量 與 的和，記作.向量的

7、差 ：() 定義2 設(shè)T1122,nnab ababT12,nb bbn都是 維向量，數(shù) 與向量 的乘積，記作 或aa.a向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì), 設(shè) 為 維向量， 為實(shí)數(shù)，則：n, ;()();00;T12,naa aa定義3 設(shè) ， 為實(shí)數(shù)T12,naaa那么向量 叫做（1）（2）（3）()0; 1;()(); (); (). （4）（5）（6）（7）（8）第二天為T216,22,18,9aTT1215,20,17,816,22,18,9aa則兩天各產(chǎn)品的產(chǎn)量和為 T31,42,35,17例例1 某工廠兩天生產(chǎn)的產(chǎn)量（單位：噸）按產(chǎn)品順序用向量表示T115,20,17,8a第一天為 向量

8、組的線性相關(guān)性 向量組的線性組合向量組: :若干個(gè)同維的列向量（或同維的行向量）所組成的集合 稱為矩陣 的列向量組向量組A它的 個(gè) 維行向量組成的向量組mn12,TTTnm nijAa對(duì)于一個(gè) 矩陣nm12,na aa它的 個(gè) 維列向量組成的向量組A稱為矩陣 的行向量組向量組；Axb,BA b1 122nnx ax ax ab1122,nnxxx一一對(duì)應(yīng)方程組也可寫成向量形式 ：由線性方程組的向量形式可知線性方程組是否有解就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)1 122nnaaab成立 使關(guān)系式定義1 對(duì)于給定的一組 個(gè) 維向量組成mn稱為向量組 的一個(gè)線性組合線性組合A12,mc cc12,maaa:A的向

9、量組12,mc cc對(duì)任何一組實(shí)數(shù)1 122mmc ac ac a向量稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)給定向量組 ： 和向量 ，A12,ma aab如果存在一組數(shù) ，12,m 使得1 122mmbaaa或稱向量向量 可以由向量組可以由向量組 線性表示線性表示bAbA則稱向量 是是向量組 的線性組合線性組合由定義1，向量 能由向量組 線性表示，bA有解.1 122nnx ax ax ab也就是線性方程組定理1 向量 能由向量組 線性表示的bAT13,1,1,1,T21,1, 1,3, T31,3, 1,78, 2,5, 9T例例1 1 證明向量 能由向量組 線性表示，且寫出它的一種表示方式 充分必要條件是

10、12,nAa aa矩陣 的秩等于矩陣12,nBa aa b的秩B123, 311811321115137921rr 1132311811151379證證113204814024702472131413rrrrrr 2434242rrrrrr 11320247000000003101270122000000001221212rrr ( )( )2R AR B故向量 能由向量組 線性表示123, 132332722xxxx TT12337,0.22x x x123370.22 30 x 取 ，得一解 故又,以B為增廣矩陣的非齊次線性方程組的同解方程組為：1 1220(1)nnx ax ax a 是

11、系數(shù)矩陣 的 個(gè) 維列向量 12,na aamAn 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 0m nAx將齊次線性方程組 寫成向量形式 若方程組只有零解，若方程組有非零解，10nxx即僅當(dāng) 時(shí)，(1)式成立即存在一組不全為零的數(shù)12,nk kk1 1220.nnk ak ak a使定義定義2 設(shè)有 維向量組 n:A12,ma aa因此我們給出如下定義： 則稱向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)；A12,mk kk如果存在一組不全為零的數(shù)1 1220,mmk ak ak a使120mkkk當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，稱向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) A例例2 對(duì) 維單位坐標(biāo)向量組nT20,1,0,0,e T11,0,0,0,e ,討論它的

12、線性相關(guān)性 T0,0,0,1ne 1 12 20(1)nnk ek ek e解解 設(shè) TT12,0,0,0nk kk即120.nkkk于是必有 即只有當(dāng) 全為零時(shí)，(1)式才成立12,nk kk12,ne ee所以向量組 線性無關(guān)v當(dāng) 時(shí)，即向量組只含有一個(gè)向量1m .a對(duì)只含有一個(gè)向量 的向量組，由定義2可知a12,a av對(duì)含有兩個(gè)向量 的向量組，由定義2知 0a 它線性相關(guān)的充分要條件是它線性相關(guān)的充分必要條件是即 中至少有一個(gè)可由另一個(gè)向量線性表示12,a a也就是 對(duì)應(yīng)的分量成比例12,a a12aa21aa或者例6，向量組 線性無關(guān)，證明 線性無關(guān)321,133322211321,

13、定理2 向量組 ( )線性相關(guān)12,ma aa2m可由其余 個(gè)向量線性表示 1m的充要條件是其中至少有一個(gè)向量推論 含有零向量的向量組必然線性相關(guān) 定理3 設(shè)向量組 ： 構(gòu)成矩陣A12,ma aa12,mAa aa則向量組 線性相關(guān)的充要條件是AAm矩陣 的秩小于向量個(gè)數(shù) R Am即 .R Am向量組線性無關(guān)的充要條件是 利用線性方程組的解的條件證明推論1 當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān)的充要條件是而向量組線性無關(guān)的充要條件是該向量組構(gòu)成的矩陣 的行列式 A0A 0.A 推論2 個(gè) 維列向量組成的向量組，mn當(dāng) 時(shí)一定線性相關(guān) nm例7 ，P114定理4而向量組 ： 線性相關(guān)，B

14、12,ma aabA12,ma aa（1）設(shè)向量組 ： 線性無關(guān)，bA則向量 必能由向量組 線性表示，且表示法是唯一的則向量組121,rrna aaaanr反之，若 線性無關(guān)，12,na aa則 也線性無關(guān)12,ra aa12,ra aa（2）若向量組 線性相關(guān)，必線性相關(guān)；同時(shí)去掉其第 個(gè)分量（ ）得到的i1in 個(gè) 維向量也線性相關(guān)；m1nmn12,ma aa（3）若 個(gè) 維向量 線性相關(guān)，反之，若 個(gè) 維向量線性無關(guān)，m1ni同時(shí)增加其第 個(gè)分量得到的mn個(gè) 維向量也線性無關(guān)例例8 判別下列向量組的線性相關(guān)性TT121,0,0,1,0,1,0,3,T30,0,1,4TT121,2,3,5

15、,4,1,0,2,T35,10,15,25TT121,0,0,0,1,0,TT340,0,1,1,1,2.（1）（2）（3）解解123, （2）因?yàn)?15故 線性相關(guān)，13, 123, （3）4個(gè)3維向量一定線性相關(guān)，故1234, 線性無關(guān) T11,0,0,eT20,1,0,eT30,0,1e（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，由定理4的(3)知從而由定理4 的(2)可知線性相關(guān).線性相關(guān)四 向量組的秩 向量組的等價(jià) 定義1 設(shè)有向量組 12:,;mA a aa12:,sB b bb性表示如果向量組 和向量組 能互相線性表示,BA則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) AB若向量組 中的每一個(gè)向量都能由向量組則稱向量組 能由向

16、量組 線AB線性表示，設(shè)向量組 能由向量組 線性表示，BA1212,;,msAa aaBb bb記則（1）式可寫成 1212,(1,2, )jjjmmjkkba aajsk1,2,;1,2,ijkim js即存在著數(shù)1122(1)jjjmjmbk ak ak a使從而12,sBb bb11121212221212,ssmmmmskkkkkka aakkkAK其中 稱為ijm sKkBA向量組 由向量組 線性表示的系數(shù)矩陣矩陣方程 有解BAXA命題2 若矩陣 經(jīng)過初等行（列）變換變成,A B命題1 若 為有限個(gè)列向量組成的向量組，AB則組 能由組 線性表示的充分必要條件是,ija b,A B其中

17、，矩陣 由 來確定 B矩陣 ，BA則矩陣 的行（列）向量組與矩陣的行（列）向量組等價(jià) ,.R AR A B12,ma aa:A12,sb bb:B ,R AR BR A B定理1 設(shè)向量組:B12,sb bb均為列向量組成的向量組,BA則向量組 能由向量組 線性表示的充分必要條件為等價(jià)的充分必要條件是推論推論 向量組:A12,ma aa和向量12,ra aa中能選出 個(gè)向量 滿足r 向量組的秩A定義2 若向量組 (有限個(gè)或無限多個(gè)向量)12,ra aa0A向量組 ： 線性無關(guān)； 則稱 ： 為 的一個(gè)最大線性0AA12,ra aa（1）（2）A中的任意向量均可由向量組0:Ara12,a a 線性

18、表示；無關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組） 122313,;,;,a aa aa a123.aaa 213;aaa 312;aaa1231,0,0,1,1,1TTTaaa例如，向量組 12,a a線性無關(guān)，13,a a線性無關(guān)，故都是123,a a a的最大無關(guān)組.顯然，這些最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同 線性無關(guān)，23,a a向量組 線性表示，則Ars12,.rb bb:B12,;sa aa:A定理2 設(shè)有向量組若向量組 B 線性無關(guān)，且向量組 能由B即 若向量組 可由向量組 線性表示，ABBrs且 ，則向量組 線性相關(guān)推論1 兩個(gè)線性無關(guān)的向量組若是等價(jià)的，推論2 兩個(gè)等價(jià)的向量組的最大無關(guān)組則它們

19、必含有相同個(gè)數(shù)的向量含有相同個(gè)數(shù)的向量 推論3 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等是 的一個(gè)最大無關(guān)組， 的秩為 nnRnR則 維單位坐標(biāo)向量12,ne een定義3 向量組的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱 為該向量組的秩向量組的秩 例例1 1 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為零 nRn例例2 維向量的全體組成的集合記作12,ra aa則向量組 的秩不大于向量組 的秩 ABAB定理2 若向量組 能由向量組 線性表示，（1）向量組 ： 線性無關(guān)； 0A12,ra aa一個(gè)最大無關(guān)組，稱數(shù) 為向量組 的秩 ArA1r （2）向量組 中的任意 個(gè)向量均線性相關(guān)， 12,ra a

20、a0AA 則稱向量組 ： 是向量組 的A定義定義4 4 如果向量組 中能選出r r個(gè)向量滿足： 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系 即矩陣 的秩等于它的行向量組的秩A R AAA的行秩 的列秩定理3 設(shè)矩陣 ，則 ijm nAa由該定理可知，用初等變換可以求由有限個(gè)向量組成的向量組的秩 也等于它的列向量組的秩。 TT4512,1, 1,1,2,3,0,3aa TTT1231,4,2,1,2,1,5,1,1,2,4,1aaa A例例3 設(shè)有向量組 ： AA（1）求向量組 的秩并判定 的線性相關(guān)性； A（3）將 中的其余向量用所求出的最大無關(guān)組A（2）求向量組 的一個(gè)最大無關(guān)組； 線性表示12122412

21、1325410111113A 用初等行變換將矩陣 化為行階梯形A解解 （1）以 為列向量作矩陣 ，A12345,a a a a a21314142rrrrrr 121220969509634503233423213rrrr 121220969500061000001B135,R B( )R AA于是的列秩故，向量組 的秩為3，且向量組 線性相關(guān).AA122099006000124,a a a故 為向量組 的一個(gè)最大無關(guān)組124,a a aA行變換1B（2）由于行階梯形 的三個(gè)非零行的非零首元在1，2，4三列，這是因?yàn)?8100392501139100016000001223291916rrrr

22、 1B124(,)3,R a a a所以124,a a a故 線性無關(guān).1B（3）對(duì) 繼續(xù)作初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形 B1810039270103181000160000023rr 構(gòu)成 的列向量組的最大線性無關(guān)組B124,b b b為 的列向量組，由 可知BB12345,b b b b b記124,b b bB且顯然 的其余向量可由 線性表出31212,33aaa5124871.9186aaaa5124871,9186bbbb31212,33bbb即而對(duì)矩陣的初等行變換并不改變矩陣的列向量組之間的線性關(guān)系，因此，對(duì)應(yīng)地有 ( )()()().R AR PAR AQR PAQ( )min( (

23、 ),( ).R CR A R B( )( ).R ABR AR B）性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)性質(zhì)2 2設(shè) 是 矩陣， 分別是 階，m nAm,P Q性質(zhì)性質(zhì)3 3n階可逆矩陣，則 ,CAB則設(shè)則 也是 的解0Ax 12x五 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 0m nAx對(duì)于齊次線性方程組0Ax 12,xx性質(zhì)1 若向量 是 的解，則 也是 的解0Ax 1xk1xk0Ax 性質(zhì)2 若向量 為 的解， 為實(shí)數(shù)，先討論解的性質(zhì) 則稱 是方程組 的基礎(chǔ)解系0Ax 12,k 0Ax 定義1 設(shè)齊次線性方程組 有非零解，如果它的 個(gè)解向量 滿足：k12,k 12,k （1） 線性無關(guān)； 0Ax （2）

24、 的任一個(gè)解 都可由且當(dāng) 為任意常數(shù)時(shí)，12,kc cc0Ax 1 122kkccc稱為 的通解.12,k 線性表示，1 122.kkccc即矩陣 的秩 （未知量的個(gè)數(shù)），( )R ArnA顯然，方程組 的基礎(chǔ)解系就是它的解的全體組成的向量組 的最大無關(guān)組 S0Ax 0Ax n定理1 若 元齊次線性方程組 的系數(shù)0Ax nr則 的基礎(chǔ)解系存在且恰含有 個(gè)線性無關(guān)的解向量此時(shí)方程組的基礎(chǔ)解系由 個(gè)解向量nr 當(dāng) 時(shí),上述方程組有無窮多解 R Arn0Ax n對(duì) 元齊次線性方程組 有： 1 122n rn rxkkk12,n rk kk其中 為任意常數(shù).( )R An 當(dāng) 時(shí)，上述方程組只有零解，無基礎(chǔ)解系；其通解可以表示成12,n r 組成，例例1 1 求齊次線性方程組 123412341234030230 xxxxxxxxxxxx的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并給出通解 解解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣，有 111111131123A1111002400122131rrrr 23212rrr 11110012000012