概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（課堂PPT）

1、第三節(jié)第三節(jié) 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 稱此種試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為等可能概型，也稱稱此種試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為等可能概型，也稱為古典概型。為古典概型。如果隨機(jī)試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：如果隨機(jī)試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1 1）樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)只有有限個(gè)。）樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)只有有限個(gè)。（2 2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。 由于樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)只有有限個(gè)，分別記由于樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)只有有限個(gè)，分別記其為其為e e1 1, , e e2 2, , e en n ，得，得S S =e e1 1, , e e2 2, , e en n ,

2、,每個(gè)基本每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即事件發(fā)生的可能性相同，即12()()()nPePePe 1( )P S 12()()()nPePePe ( )inP e ; ijeeij12 neeeS 又又1();1,2,iP einn于是于是,1,2, i jn12kiiiAeee 12( )()kiiiP APeee 12()()()kiiiPePePe 從而得從而得( )kP An AS 所所含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中所所含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A含有含有k個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), ,即即 12,kiiiAeee ， nkS S中所含樣本點(diǎn)總數(shù)中所含樣本點(diǎn)總數(shù)A中所含樣本點(diǎn)個(gè)

3、數(shù)中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)則則例例1. 將一枚均勻硬幣連拋兩次，觀察正反面出現(xiàn)將一枚均勻硬幣連拋兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。設(shè)的情況。設(shè)A表示事件表示事件“出現(xiàn)兩個(gè)正面出現(xiàn)兩個(gè)正面”，B表示表示事件事件“出現(xiàn)不同的面出現(xiàn)不同的面”，試求，試求P（A），），P（B）。將一枚硬幣連拋兩次看作一次試驗(yàn)，依次出現(xiàn)的將一枚硬幣連拋兩次看作一次試驗(yàn)，依次出現(xiàn)的朝上的面看作一個(gè)樣本點(diǎn)。朝上的面看作一個(gè)樣本點(diǎn)。則樣本空間為則樣本空間為 S=S=正正，正反，反反，反正正正，正反，反反，反正 這是一個(gè)古典概型，這是一個(gè)古典概型，n=4。解：解：kA=1kB=2P2121（B）B）=42421PA4 （ ）A= 出現(xiàn)兩個(gè)正

4、面出現(xiàn)兩個(gè)正面” B = 出現(xiàn)不同的面出現(xiàn)不同的面”=正正正正,=正反，反正正反，反正 ，例例2. 袋中有紅黃白色球各一只，每次任取一只，有放回袋中有紅黃白色球各一只，每次任取一只，有放回地抽三次，試求下列事件的概率。地抽三次，試求下列事件的概率。（1）A：顏色全部相同。（：顏色全部相同。（2）B：顏色全不同。：顏色全不同。（3）C：顏色不全同。：顏色不全同。 （4）D：無(wú)紅色或者無(wú)黃色。：無(wú)紅色或者無(wú)黃色。解：解：n=333=33將有放回地抽三次球看作隨機(jī)試驗(yàn)，出現(xiàn)的三球?qū)⒂蟹呕氐爻槿吻蚩醋麟S機(jī)試驗(yàn)，出現(xiàn)的三球的顏色看作樣本點(diǎn)，則三球可能出現(xiàn)的顏色的種的顏色看作樣本點(diǎn)，則三球可能出現(xiàn)的顏色

5、的種數(shù)就是樣本空間所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)就是樣本空間所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).即：即：33139 P (B ) P(C)1P(A)（1）A：顏色全部相同，顏色全部相同，（2）B：顏色全不同，顏色全不同，（3）C：顏色不全同，顏色不全同，Ak CA 89 119Bk 13C3, P(A) 3!6, 33 !239 12P(D)P(DD ) （4 4）D：無(wú)紅色或者無(wú)黃色，設(shè)無(wú)紅色或者無(wú)黃色，設(shè)D1表示無(wú)紅色球表示無(wú)紅色球,D2表表示無(wú)黃色球示無(wú)黃色球, ,則則13Dk28,12DDD ,1212P(D )P(D )P(D D )3333322133359 23Dk28,12D Dk1 12P(D)P(DD

6、) 例例3.設(shè)有設(shè)有m 件產(chǎn)品，其中有件產(chǎn)品，其中有k 件次品，從中抽取件次品，從中抽取n 件，件，求其中恰有求其中恰有j 件次品的概率件次品的概率() jk解：解：nmC從從m 件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品中任取n 件產(chǎn)品，每一種取法對(duì)應(yīng)件產(chǎn)品，每一種取法對(duì)應(yīng)一個(gè)樣本點(diǎn)，所有可能取法的種數(shù)就是樣本空一個(gè)樣本點(diǎn)，所有可能取法的種數(shù)就是樣本空間所含樣本點(diǎn)的總數(shù)間所含樣本點(diǎn)的總數(shù).即為：即為：而從而從m 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n 件其中恰有件其中恰有j 件次品，可分兩步進(jìn)行：件次品，可分兩步進(jìn)行：1）在）在k 件次品中抽取件次品中抽取j 件次品，共有取法：件次品，共有取法：2）在）在m-k 件正品中抽取件

7、正品中抽取n-j 件產(chǎn)品，共有取法件產(chǎn)品，共有取法jkC 種種njmkC種種- - -所以，從所以，從m 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n 件，其中恰有件，其中恰有j 件次品件次品的所有可能取法為：的所有可能取法為：jnjkmkC C- - -事件事件“從從m 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n 件，其中恰有件，其中恰有j 件次品件次品”所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)就等于取法的種數(shù)，從而得所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)就等于取法的種數(shù)，從而得jnjkmknmC CpC- - -= =1515名新生分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為：名新生分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為：55515105nC C C 解：解：15!5!5!5! 例例4. 將將

8、15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這15名新生中有名新生中有3名是優(yōu)秀生，問(wèn)：名是優(yōu)秀生，問(wèn)：（1）每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？）每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？（2）3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的概率是多少？名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的概率是多少？（1 1）每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生可兩步進(jìn)行，）每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生可兩步進(jìn)行，先每個(gè)班級(jí)分配到一名優(yōu)秀生，共有方法先每個(gè)班級(jí)分配到一名優(yōu)秀生，共有方法3!種種4441284C C C124 4 4 ！ ！ ！再將其余再將其余1212名同學(xué)平均分配到每個(gè)班級(jí)，共有方法名同學(xué)平均

9、分配到每個(gè)班級(jí)，共有方法所以所以4441284k3!C C C 3!124 4 4 ！3! 12!15!p4!4!4!5!5!5! 2591 0.2747 25512105C C C3! 12!15!p2!5!5!5!5!5! 12!2!5!5! （2 2）3 3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)也可分兩步進(jìn)行，名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)也可分兩步進(jìn)行，先將三名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)，共有方法先將三名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)，共有方法3種種再將其余再將其余1212名同學(xué)平均分配到三個(gè)班級(jí)，共有方法名同學(xué)平均分配到三個(gè)班級(jí)，共有方法所以所以25512105k3C C C 60.065991例例5. 把把1010本

10、書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中指定的三本書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中指定的三本書(shū)放在一起的概率是多少？本書(shū)放在一起的概率是多少？解：解：把把1010本書(shū)任意地放在書(shū)架上，所有可能的排列方法本書(shū)任意地放在書(shū)架上，所有可能的排列方法為為10!種種設(shè)事件設(shè)事件A =其中指定的三本書(shū)放在一起其中指定的三本書(shū)放在一起 ，則，則A 可分可分兩步完成：兩步完成：先將三本書(shū)看作一個(gè)整體與其余的先將三本書(shū)看作一個(gè)整體與其余的7 7本書(shū)放在一起，本書(shū)放在一起，所有可能的排列方法為所有可能的排列方法為再將三本書(shū)進(jìn)行全排列，所有可能的排列數(shù)為再將三本書(shū)進(jìn)行全排列，所有可能的排列數(shù)為所以所以Ak 8!種種3!n10! 3!8

11、! ,3! 8!3! 8!p=p=10!10!種種35A解：解：從從5 5個(gè)數(shù)中任取三個(gè)進(jìn)行排數(shù)，共有排法個(gè)數(shù)中任取三個(gè)進(jìn)行排數(shù)，共有排法例例6. 把把1,2,3,4,5諸數(shù)各寫(xiě)在一張紙片上，任取其中諸數(shù)各寫(xiě)在一張紙片上，任取其中三張排成自左而右的次序，問(wèn)：三張排成自左而右的次序，問(wèn)：（1）所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？（2）所得三位數(shù)不小于所得三位數(shù)不小于200的概率是多少？的概率是多少？1 1）以）以A表示事件表示事件“所得三位數(shù)是偶數(shù)所得三位數(shù)是偶數(shù)”，則，則A可分可分兩步進(jìn)行兩步進(jìn)行先取個(gè)位數(shù)，共有取法：先取個(gè)位數(shù)，共有取法：種種212 A再在剩下的再在剩

12、下的4 4個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)中取2 2個(gè)排十位和百位數(shù)，共有排法：個(gè)排十位和百位數(shù)，共有排法：24A 種種所以所以2 24 43 35 52A2AP(A)=P(A)=A AAk 35nA 2 2= =5 5242A再在剩下的再在剩下的4 4個(gè)數(shù)中取個(gè)數(shù)中取2 2個(gè)排十位和個(gè)位數(shù)，共有排法：個(gè)排十位和個(gè)位數(shù)，共有排法：24A 種種所以所以2 24 43 35 54A4AP(B)=P(B)=A ABk 35nA 4 4= =5 52 2）以）以B表示事件表示事件“所得三位數(shù)不小于所得三位數(shù)不小于200”200”，則，則B也分也分為兩步進(jìn)行為兩步進(jìn)行先取百位數(shù)，共有取法：先取百位數(shù)，共有取法：14A4 種

13、種244A例例7.從從0，1，2，.，9這十個(gè)整數(shù)中任取這十個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)，求能排成一個(gè)求能排成一個(gè)4位偶數(shù)的概率。位偶數(shù)的概率。從從10個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)數(shù)進(jìn)行排數(shù)，每一種排法對(duì)個(gè)數(shù)進(jìn)行排數(shù)，每一種排法對(duì)應(yīng)一個(gè)樣本點(diǎn)，所有的可能排法共有：應(yīng)一個(gè)樣本點(diǎn)，所有的可能排法共有：解：解：410A種種即樣本空間所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為即樣本空間所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為410nA 設(shè)設(shè)A=A=排成一個(gè)排成一個(gè)4 4位偶數(shù)位偶數(shù) ，完成事件，完成事件A有兩種方法有兩種方法方法一方法一: :2 2）若個(gè)位數(shù)?。┤魝€(gè)位數(shù)取2,4,6,82,4,6,8中的一個(gè)，千位數(shù)必須從除去中的一個(gè)，千位數(shù)必須從除去

14、0 0的的8 8個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，十位數(shù)和百位數(shù)再?gòu)氖Ｏ碌膫€(gè)數(shù)中任取一個(gè)，十位數(shù)和百位數(shù)再?gòu)氖Ｏ碌? 8個(gè)個(gè)數(shù)（包括數(shù)（包括0 0）中任取兩個(gè)進(jìn)行排列，所有可能的排法共）中任取兩個(gè)進(jìn)行排列，所有可能的排法共有有1 1）若個(gè)位數(shù)上?。┤魝€(gè)位數(shù)上取0 0，則前三位數(shù)可從剩下的，則前三位數(shù)可從剩下的9 9個(gè)數(shù)中任個(gè)數(shù)中任取三個(gè)進(jìn)行排列，所有可能的排法共有取三個(gè)進(jìn)行排列，所有可能的排法共有112488A A A 種種39A 種種從而得從而得Ak 56 41A可分兩類方法完成：可分兩類方法完成：39A112488A A A 41056 41A 4190 410nA 由由得得Ak56 41,P(A) 方法二

15、方法二: :從而得從而得Ak 4190 又又所以所以1 1）從）從0 09 9這十個(gè)整數(shù)中任取這十個(gè)整數(shù)中任取4 4個(gè)數(shù)先排成一個(gè)偶數(shù)，個(gè)數(shù)先排成一個(gè)偶數(shù)，共有偶數(shù)的個(gè)數(shù)是共有偶數(shù)的個(gè)數(shù)是2 2）這些偶數(shù)有兩類：）這些偶數(shù)有兩類：3 3位偶數(shù)和位偶數(shù)和4 4位偶數(shù)，其中位偶數(shù)，其中3 3位位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)的個(gè)數(shù) AC AA P(A)=P(A)=1359A A410nA 1248A AA A可分兩步完成：可分兩步完成：1359A A1248A A 例例8. 一座樓房有一座樓房有N 間房間，今有間房間，今有n 個(gè)人個(gè)人( n 小于等于小于等于N ),每個(gè)人等可能地被分配

16、到任一房間中，求下列各事件的每個(gè)人等可能地被分配到任一房間中，求下列各事件的概率。概率。（1）A:某指定的某指定的n 間房中各有間房中各有1人人.（2）B：恰有：恰有n 間房，其中各有間房，其中各有1人人.（3）C：某指定的一間房中恰有：某指定的一間房中恰有k 個(gè)人（個(gè)人（k小于等于小于等于n）.（4）D:至少有兩個(gè)人在同一間房中至少有兩個(gè)人在同一間房中.解：解： 將將n 個(gè)人等可能地被分配到個(gè)人等可能地被分配到N 間房中去，由于沒(méi)限間房中去，由于沒(méi)限定每間房中的人數(shù)，所以是可重復(fù)排列，共有分法定每間房中的人數(shù)，所以是可重復(fù)排列，共有分法Nn n種種（1 1）事件）事件A（某指定的（某指定的n

17、 間房中各有間房中各有1 1人）相當(dāng)于人）相當(dāng)于n個(gè)人作全排列，共有分法個(gè)人作全排列，共有分法n! n!種種P(A)=P(A)=從而得從而得Nn nn! n!P(B ) （2）事件）事件B（恰有（恰有n 間房，其中各有間房，其中各有1人）因?yàn)闆](méi)有指人）因?yàn)闆](méi)有指定房間，須分兩步進(jìn)行：先選出定房間，須分兩步進(jìn)行：先選出 n 間房，再將間房，再將n個(gè)人個(gè)人分進(jìn)去，共有分法分進(jìn)去，共有分法 n nN NC Cn! n!種種從而得從而得N n nN Nn nCn!Cn!（3 3）事件）事件C（某指定的一間房中恰有（某指定的一間房中恰有k 個(gè)人）也須分個(gè)人）也須分兩步進(jìn)行：兩步進(jìn)行： k kn nC C

18、先從先從 n 個(gè)人中選出個(gè)人中選出k 個(gè)人分到指定的房間中，再將個(gè)人分到指定的房間中，再將剩下的剩下的 n-k 個(gè)人任意分到其余的個(gè)人任意分到其余的 N1 間房中去，間房中去，共有分法共有分法n-kn-k(N-1)(N-1)種種從而得從而得( )P C N kn-kkn-kn nn nC(N -1)C(N -1)()P D （4）事件）事件D（至少有兩個(gè)人在同一間房中）的逆事（至少有兩個(gè)人在同一間房中）的逆事件恰好是事件件恰好是事件B，所以，所以1N n nN Nn nC Cn n! !1()P B 小概率事件小概率事件 小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不可能小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不可能發(fā)生的發(fā)生的. . 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了, ,則可懷疑該事則可懷疑該事件并非小概率事件件并非小概率事件. .小概率原理小概率原理 ( ( 即實(shí)際推斷原理即實(shí)際推斷原理 ) )概率很小的事件稱為小概率事件概率很小的事件稱為