簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃型例題

1、標(biāo)簽:標(biāo)題篇一：典型例題：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題典型例題【例1求不等式I X1丨+丨V-1 I W2表示的平面區(qū)域的面積.【例2某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有 9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙 型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本 費(fèi)為160元.問(wèn)每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低？ 參考答案例1：【分析】依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積.【解】lx1 l + ly-1 I W2可化為或其平面區(qū)域如圖：或或面枳 S=X4

2、X4=8【點(diǎn)撥】畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界.例2：【分析】弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件， 列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.【解】設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為z元，那么 z=252x+160y,作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖作出直線10： 252x+160v=0,把直線1向右上方平移，使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn)，且使在y 軸上的截距最小.觀察圖形，可見(jiàn)當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 5）時(shí)，滿足上述要求.此時(shí)，z=252x+160y取得最小值,即x=2, y=5時(shí)， zmm=252 X 2+160

3、 X 5=1304.答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低.【點(diǎn)撥】用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行 直線系f（x, y） =t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可 行域中的各整點(diǎn).篇二：不等式線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典例題及解析線性規(guī)劃講義【考綱說(shuō)明】（1）了解線性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義：（2）掌握簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題的解 法.（3）鞏固圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最人、最小值的方法；（4）會(huì)用畫網(wǎng)格的方法求解整 數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題.（5）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力.【知識(shí)梳理】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一、知識(shí)

4、點(diǎn)1. 目標(biāo)函數(shù)：P =2 x + y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù).2. 可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3.整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).4. 線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最人值或最小值的問(wèn)題，通常稱為線 性規(guī)劃問(wèn)題.只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決.5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、 經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專門學(xué)科主要在以卞兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái) 務(wù)等資源一定的條件卞，如何使用它們來(lái)完成最多的

5、任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排 和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù) 1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要 將邊界畫成虛線.2. 確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選 一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即 為不等式所表示的平面區(qū)域：否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.若直線不過(guò)原 點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)代入檢驗(yàn).3.平移直線y=-kx +P時(shí)，直線必須經(jīng)過(guò)可 行域.4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一彖限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形 區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn).5.簡(jiǎn)單

6、線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件卞的最優(yōu)解，無(wú)論此類題目是以 什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù);(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 積儲(chǔ)知識(shí)：一. 1.點(diǎn)P(xO,yO)在直線Ax+Bv+C=O上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，即AxO+ByO+C=O2.點(diǎn) P(xO,yO)在直線 Ax+Ey+C=O 上方(左上或右上)，則當(dāng) B>O 時(shí)，AxO+ByO+C>O; 當(dāng) B<O 時(shí)，AxO+ByO+C<0 3.點(diǎn) P(xO,yO)在直線 A

7、x+Ey+C=0 下方(左卞或右卞)，當(dāng) B>O 時(shí)，AxO+ByO+C<0;當(dāng) E<O 時(shí)，AxO+EyO+C>O 注意：(1)在直線 Ax+By+C=0 同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+Ey+C,所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，(2)在直線Ax+Ey+C=0的兩側(cè)的兩點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)相 反，即：1.點(diǎn) P(xl,yl)和點(diǎn) Q(x2,y2)在直線 Ax+Ey+C=O 的同側(cè)，則有(Axl+Bvl+C ) (Ax2+By2+C)>O2.點(diǎn) P(xl,yl)和點(diǎn) Q(x2,v2)在直線

8、Ax+Ey+C=0 的兩側(cè)，則有(Axl+Eyl+C ) (Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面區(qū)域： 二元一次不等式Ax+By+C>O (或<0)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.不.包拾邊界； 二元一次不等式Ax+By+CO (或W0)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+Ey+C=0某一 側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域且包拾邊界；注意：作圖時(shí)，不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實(shí)線.三、判斷二元一次不等式表示哪一 側(cè)平面區(qū)域的方法：方法一:取特殊點(diǎn)檢驗(yàn)；“直線定界、特殊點(diǎn)定域原因:由于對(duì)在直線Ax+By+C=

9、0的同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+Ey+C,所 得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特姝點(diǎn)(xO,yO),從AxO+ByO+C 的正負(fù)即可判斷Ax+Ey+C>O表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地，當(dāng)CH0時(shí)，常把原點(diǎn) 作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，可用(0, 1)或(1, 0)當(dāng)特殊點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)代入適合不等式則 此點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾璁嫷膮^(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域?yàn)樾璁媴^(qū)域。方法二：利用規(guī)律：1.Ax+Bv+C>O,當(dāng)E>O時(shí)表示直線Ax+Ey+C=0上方(左上或右上)，當(dāng)E<O時(shí)表示直線Ax+Ey+C=O下方

10、(左下或右下)；2Ax+Ey+C<0,當(dāng)E>O時(shí)表示直線Ax+By+C=O下方(左下或右下) 當(dāng)B<O時(shí)表示直線Ax+By+C=O上方(左上或右上)。四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：線性目標(biāo)函數(shù)： 線性規(guī)劃問(wèn)題：可行解、可行域和最優(yōu)解：【經(jīng)典例題】一.建構(gòu)數(shù)學(xué)?4x?y?10?4x?3y?20?1 問(wèn)題：在約束條件?下，如何求目標(biāo)函數(shù)P4x?y的最人值?x?(P?v?O首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖(1)所示.其次，將目標(biāo)函數(shù)P"2x?y變形為y?2xP的形式，它表示一條直線，斜率為，且在y軸上 的截距為P

11、.平移直線y?2x?P,當(dāng)它經(jīng)過(guò)兩直線4x?y?10與4x?3y?20的交點(diǎn)A(,5)時(shí)，直線在y 軸上的截距最54大,如圖(2)所示. 因此，當(dāng)X?555,y?5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最人值2?5?7.5,即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)t和5t時(shí)，可44454獲得最大利潤(rùn)7.5萬(wàn)元.這類求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件卞的最大值或最小值問(wèn)題，通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題其 中(,5)使目標(biāo)函數(shù)取得最人值，它叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.對(duì)于只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性 規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決.說(shuō)明：平移直線y2x"時(shí)，要始終保持直線經(jīng)過(guò)可行域(即 直線與可行域有公共點(diǎn)).二. 數(shù)學(xué)運(yùn)用?x?4y?3?例1.設(shè)z?

12、2x?y,式中變量x,y滿足條件?3x5y?25,求z的最人值和最小值.?x?l?解：由題意，變量x,y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平 面區(qū)域的公共區(qū)域.由圖知，原點(diǎn)(0.0)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)x”,y?0時(shí)，z?2x?v?0,即點(diǎn)(0,0) 在直線10： 2x?y?0上，作一組平行于10的直線1： 2x?y?t, t?R,可知：當(dāng)1在10的右上 方時(shí)，直線1上的點(diǎn)(x,y)滿足2x0,即t?0,而且，直線1往右平移時(shí)，t隨之增大.由圖象可知，當(dāng)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的t最人，當(dāng)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的t最小，所 以，zniax?2?5?2?12, zniu

13、i?2?l?l?3.yx?lcAx?4y?3?0O3x?5y?25?0?x?4y?3?例2.設(shè)z?6x?10y,式中x,y滿足條件?3x?5y?25,求z的最人值和最小值.?x?l?解：由引例可知：直線10與AC所在直線平行，則由引例的解題過(guò)程知，當(dāng)1與AC所在直線3x?5y?25?0重合時(shí)z最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，當(dāng)1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(l,l)時(shí),對(duì)應(yīng)z最小，zinax?6x? 10v°50, zmin?6?l?10?l?16.J?2x?y?3?0?例3.已知x,y滿足不等式組?2x?3y%M,求使x?y取最大值的整數(shù)x,y.?3x?5v?15?0?J解:不等式組的解集為三

14、直線11： 2x?y?3?0, 12： 2x?3y?6?0, 13： 3x?5v?15?0所圍成的三 角形內(nèi)部y (不含邊界)，設(shè)11與12, 11與13, 12與13交點(diǎn)分別為A,B,C,則A,B,C坐標(biāo)分別為 All(8.4), B(0,?3),7512CG?),13A 1919作一組平行線1:x?y?t平行于10： x?y0,當(dāng)1往10右上方移動(dòng)時(shí)，t隨之增大，153OC12X63當(dāng)1過(guò)C點(diǎn)時(shí)x?y最人為，但不是整數(shù)解，1975又由0?x?知x可取1,2,3,19當(dāng)x?l時(shí)，代入原不等式組得y?2, /.x?y?l；當(dāng)x?2時(shí)，得歹0或?1, /.x?y?2或1； 當(dāng) x?3 時(shí),y?l

15、,Ax?y?2,?x?2?x?3故Py的最大整數(shù)解為?或?.?y?0?y?l例4.投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200平方米，可獲利 潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)E產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100米需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100平方米， 可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元，場(chǎng)地900平方米，問(wèn)：應(yīng)作怎樣的組 合投資，可使獲利最大？解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)E產(chǎn)品y米，利潤(rùn)為S百萬(wàn)元，?2x?3v?14?2xQv°99JJ則約束條件為?，目標(biāo)函數(shù)為S?3x"2y.?x?0?v?0作出可行域(如圖)，3S3S3Sx。，它表示斜率為?，在y軸上截距為

16、的直線，平移直線y?W,當(dāng)它經(jīng)222222135S135過(guò)直線與2x?y?9和2x?3y?14的交點(diǎn)(,)時(shí),最大,也即S最大.此時(shí)，S?3?2?14.75.42242將目標(biāo)函數(shù)變形為y?因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)E產(chǎn)品2.5米，利潤(rùn)最大為1475萬(wàn)元.說(shuō)明：(1)解 線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件(要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不 等式的實(shí)際含義及計(jì)量單位的統(tǒng)一)；建立目標(biāo)函數(shù)；求最優(yōu)解.一、對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一彖限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域, 此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn).三、畫區(qū)域1.用不等式表示以A(l,4), B(?3,

17、0), C(?2,?2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域.分析：首先要將三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線方程寫出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部 區(qū)域應(yīng)怎樣表示。解：直線AB的斜率為：kAE"4?0",其方程為y?x?3.1?(?3)可求得直線BC的方程為y?2x?6.直線AC的方程為v?2x?2. ?ABC的內(nèi)部在不等 式x?y?3?0所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式同時(shí)又在不等式2x?y?2M所表示2x?y?6M所表示的平面區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)(如圖).Wy?30,所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組?2x?y?6M,表示. ?2x?v?2?0?的平面說(shuō)明：用不等式組可以用來(lái)平面內(nèi)的一

18、定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線.2畫 出2x?3?y?3表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解(x,y).?y?2x?3,解：原不等式等價(jià)于?而求正整數(shù)解則意味著x, y還有限制條件，即求y?3.?x?0,y?0,?x?z?v?z,?？?y?2x?3,?y?3.依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知2x?3?y?3表示的區(qū)域如卞圖：對(duì)于2x?3?y?3 的正整數(shù)解，容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為(1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,2)、 (2,3).3 設(shè) x?0, y?0, z?0： p?3x?y?2z, q?x?2v?4z, x?v?z?l,用圖表示出點(diǎn)(p,q)的范圍.分析:

19、題目中的p, q與x, y, z是線性關(guān)系.可借助于x, y, z的范|制確定(p,q)的范|制.l?x ?(8?q?6p),?3x?v?2z?p,?27?解：由?得 l?x?2y?4z?q,?(14?5q?3p),?y?x?y?z?l,27?l?z?(5?4p?3q),?27?篇三：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃典型例題精析(二)典例剖析?5x?3y?15?例1求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件?y?x?l?x?5y?3?5x?3v?15?【解】由不等式組?y?x?l?x?5y?3?作出可行區(qū)域，如圖7-26所示的陰影部分.目標(biāo)函數(shù)為z=3x+5y,作直線 l:3x+5y=t(t&

20、#163;R).當(dāng)直線1在10的右上方時(shí)，1上的點(diǎn)(x,y)滿足3x+5y>0,即t>0,而且，直線1向右平移 時(shí)，t隨之增大，在可行域內(nèi)以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(35,)的直線11所對(duì)應(yīng)的t最大.22類似地，在可行域內(nèi)，以經(jīng)過(guò)B( - 2, - 1)的直線12所對(duì)應(yīng)的t最小. zniax35?3?5?17,znun?3?(?2)?5?(?l)?U.22【點(diǎn)評(píng)】正確地作出不等式組表示的平面區(qū)域(可行域)，再由線性目標(biāo)函數(shù)作出一組平行 線考查最值，是解線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟.例2某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級(jí)子棉2噸、二級(jí) 子棉1噸;生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級(jí)子棉1噸、二級(jí)子棉

21、2噸，每1噸甲種棉紗的利潤(rùn)是600 元，每1噸乙種棉紗的利潤(rùn)是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計(jì)劃中要求消耗一級(jí)子棉不 超過(guò)300噸、二級(jí)子棉不超過(guò)250噸.甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到噸)，能使利潤(rùn) 總額最大？【分析】將已知數(shù)據(jù)列成下表：?2x?y?300.?x?2y?250,解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z元，那 么？?x?0,?v?0;z=600x+900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖7-27),即可行域.作直線l:600x+900y=0,即直線上2x+3y=0,把直線1向右上方平移至11的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M,且與原點(diǎn)距離最人，此時(shí)z=600x+900v取最大值.解方程組?2x?v?300350200,得 M 的坐標(biāo)為 x=,y=. ?33?x