線性代數(shù)行列式答案

1、第一章行列式第一節(jié)數(shù)域與排列第二節(jié)行列式定義一、填空n（n 1）/ 、 n（n1），、 八1. （1） 0； （2） 5； （3）; （4）' （5） n（n1）2 23. aiia23a34d2 和-auazsasid?;（由 n 階行列式的定義）4正（-1）6，注意將行標(biāo)寫為標(biāo)準(zhǔn)次序）5.（-1嚴(yán)；6. i =2, j =1 （將行標(biāo)寫為標(biāo)準(zhǔn)次序列標(biāo)排列的逆序數(shù)應(yīng)為奇數(shù)）8.n(n -1)210.n(n -1) t1. 0 （直接利用對角線法則，也可用性質(zhì)計算）2. -abed （按n階行列式的定義，只有一項不為 序數(shù)為奇數(shù)，故為 -abed ）。0，乘積abed的列標(biāo)排列為132

2、4,逆第三節(jié)行列式的性質(zhì)第四節(jié)行列式按行（列）展開37. -2 （只有主對角線上的元素相乘為x ）；29. 0 ；（提示：一元n次方程n個根之和為n-1次項的系數(shù)，本題n-1次項為x，其系數(shù)為0,也即a b 0，利用行列式的性質(zhì)可得結(jié)果為0,超綱題）；1. A （ B,C,D為充分條件）；2 . C （由教材P23定理可得）；3. C；eee1114. A ( A21 + A22 + A23 * A24 =亠亠亠1、0 （各列都加到第一列則第一列兀素全為0)；/八n2、(-1) a ；a“ill a1n-anill-玄佃(det(aij)=+i+ri，而 det(Qj)=+Ki+r-i，每行提

3、公因子-1 ）；an 1川 ann一為川ann3、0 （由n階行列式的定義）4、15( D =a12A2 a22A>2 a32A32 a42A4 (T) (-5) 2 3 0 7 1 4 = 15)；5、 m n，ana12+ &13ana12+ ana)3ana12a13ana21a22*a23a21a22a21a23a21a22a23a21）；(6.8 1 2，(A12二(廠1)5第五節(jié)克拉默法則（A,B,C充分非必要）c9=2, X2,2提示：所需計算的5個行列式恰好都是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式計算可得,X310,18X" 一牙系數(shù)行列式 D =川=120

4、，另 D, =240, D2 =-540, D -12,D4 = 43291所以，X"i = 2, x2 - - , x3,21018XZ ,x4 _59 -1 且4提示：齊次線性方程組有唯一解即只有零解,需系數(shù)行列式D =0,九一1-122-(4 -13 ，9) =0，解得 =1或四、4x y 3z-8 =0解法一：（高數(shù)）點法式方程法向量n二i2-1j3-1k一1 一1=n = 4, 1, 33-1一1一1一1 一1解法二：設(shè)平面方程為Ax Ay Cz - 0，且平面過點（x, y,z）則有：2A 3B-C D = 03A-B -C D =0xA yB zC D = 0系數(shù)行列式

5、等于零11111111A刖23-1112-201即=23-1-112-2-20x 1xyz1x-1y 1z-102_21-21 2一（X1），*(y T)(z 1) 2-22-22 -2方程組有非零解2-2yT-2= 2 4x y z-8 = 0故得，平面方程為 4x y z _8 = 0綜合題1、C、（ B應(yīng)為正，D應(yīng)為負(fù)）2,第三列提公因子 3；2、B、（第二列加第一列，再第三列加第二列；第二列提公因子交換一、三行）1113、B、（即abc=0)bccaab4、A （元素-3的代數(shù)余子式為（-1）1* 12）-2 6a11a23a35a44a52-印尼24&35&43&am

6、p;52 ；（由n階行列式的定義）2、 0 ， 0 ；提示：第一、三行,2 AI1A12I. A|3 ' A14A15= 0A11 A 2 A3A145=0n（n 4）n（n 1）3、 u h1 h D ；（將D1做逐行互換得到 D，共做 廠 次相鄰的行互換）4、-=1 ；（提示：齊次線性方程組有唯一解即只有零解，需系數(shù)行列式D = 0）5、 -28 ；（將D的最后一行換為-1,1, -1,1 ;注意余子式與代數(shù)余子式的關(guān)系）6、-1 ;（出現(xiàn)x3的項有兩個，系數(shù)分別是1和-2）7、k （提出第二列公因子 k）； 8 （每行提公因子2）；1-12 （拆分第二列；或 C2G ;第一列提公

7、因子 4，第二列提公因子 -3。）；22 28、 a = 0, b=0（展開有 a b =0）、1、（-1）nJ n!；（提示：n階行列式定義）2、（-1） 2 n!；（提示：n階行列式定義）3、漲-丫山乂2丫4-細(xì)2 ；（提示：（1）Laplace定理D =為y3y1X2y2X3y4X4X10y10X1y100Xy100(2)0 yaX200y200ys0X3X20y20兀暨y30X300X20y20X40y400X4y400X4y4)4、2000 ；（提示：先按第一列拆分、再按第三列拆分或Ci -C2, C3 -C2 ）103100204q上23142七30-84199 200 395匚臨

8、100-12-5卩購10005-5= 2000301300 600130130注：由于技術(shù)原因，本章出現(xiàn)的符號I應(yīng)為請注意!X1y1X2y2Xy3X3y4X4=(X1X3 - y3)(X2y4 - X4y2)1 22 33 44 1r2 2i341210101231000旦1 11 20-40411112 3 4 1 103 4 124 12 31毋10001-10-411001 121= 160 -400-46、abed ；（展開降階）a 3 00 b 02 7c0 0 0=dc3= abcd b7、0；412 412 0 210 5 2 00117-70-151-5-723-1525116

9、5、 160；817 =068 0罠聖-17 01 18、（ -1 產(chǎn)乳耳心川耳丄2am ； （由n階行列式的定義）9、 lx - （n-1） x -a n ；（參考教材 P19 例 ）10、 （1）當(dāng) n = 2 時，D2 二x2 y2y2x2%（2）當(dāng)n2時，由2 -1，3-1得第二行與第三行對應(yīng)成比例，所以Dn =0.2 211、ab(-b -a -ab)（利用性質(zhì)和按行（列）展開直接計算可得1-a a00-11 -aa012、0一11 aa0023450=1 -a a - -a a - - a00-11 - a a四、錯。正確答案為000 一11a-a0001-11 -aa00*十2十

10、3七他、=-a D4 +(_1)4D5T0-11 -aa000-11-aa000-11-a（提示：類 比例,例1.6.3）（按第一行展開）31a22a33a44 ' a14a23a32a41 - a11 a23a32a44 - a14a22a33a41五、x =7 ；（第一行元素與第三行元素的代數(shù)余子式乘積之和為0）3六、 提示：系數(shù)行列式D ha2，1 =0 ,得只有零解。七、1、提示：利用加邊法，得到范德蒙德行列式D5a2b2c2x2a3b3c3d3x3a4b4c4x4方面，D A15XA5 X2As5 x3A45 X4A55，而所求四階行列式為元x'的余子式。另一方面，由范德蒙行列式知， D，整理成x的多項式。比較x3的系數(shù)即得所求四階行列式。2. （課本 P26 例 ）八、解:1(1由)*1書)(-n a另：法1:按最后一行展開。 方法有很多，自己總結(jié)。九、解:n!1J -kk z20= (a1)a2； ( LPa n_2法二：第一行加最后一行的IIIIIIIIIIII定理）再將第一列加到最后一列。IIIIIIIIIIII11III11|23nCj勺=n!11IIIIII011-卜1卜0'I10卜0III*1倍,-1100nk=2 k或者:111III11-11 1-丄-山-丄11山123n120III01 1 1cJ J Jc103II