實(shí)變函數(shù)論文00257

1、實(shí)變函數(shù)論文(設(shè)計)題目： 各角度討論逼近思想在實(shí)變 課程中的應(yīng)用 學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院 班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)五班 姓名： 王 凱 指導(dǎo)教師： 崔亞瓊 完成日期： 2015 年 1 月 3 日各角度談?wù)摫平枷朐趯?shí)變課程中的應(yīng)用一、 逼近思想在函數(shù)中的形成從18世紀(jì)到19世紀(jì)初期，在L.歐拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里葉、J.-V.彭賽列等數(shù)學(xué)家的研究工作中已涉及一些個別的具體函數(shù)的最佳逼近問題。這些問題是從諸如繪圖學(xué)、測地學(xué)、機(jī)械設(shè)計等方面的實(shí)際需要中提出的。在當(dāng)時沒有可能形成深刻的概念和統(tǒng)一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函數(shù)類是n次多項(xiàng)式時最佳逼近元

2、的性質(zhì)，建立了能夠據(jù)以判斷多項(xiàng)式為最佳逼近元定理的特征。他和他的學(xué)生們研究了與零的偏差最小的多項(xiàng)式的問題,得到了許多重要結(jié)果。已知【,b】區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)(x),假,(n0),叫做(x)的n階最佳一致逼近值,也簡稱為最佳逼近值，簡記為En()。能使極小值實(shí)現(xiàn)的多項(xiàng)叫做 (x)的n階最佳逼近多項(xiàng)式。切比雪夫證明了,在區(qū)間【-1,1】上函數(shù)xn+1的n階最佳逼近多項(xiàng)式必滿足關(guān)系式。多項(xiàng)就是著名的切比雪夫多項(xiàng)式。切比雪夫還證明了,+是(x)在【,b】上的n 階最佳逼近多項(xiàng)式的充分必要條件是：在【，b】上存在著n+2個點(diǎn):x1<x2<xn+2b,在這些點(diǎn)上依照i=1,2,n+2的次序交錯變

3、號，。點(diǎn)組x1,x2,xn+2 便是著名的切比雪夫交錯組。1885年德國數(shù)學(xué)家K.（T.W.）外爾斯特拉斯在研究用多項(xiàng)式來一致逼近連續(xù)函數(shù)的問題時證明了一條定理，這條定理在原則上肯定了任何連續(xù)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式以任何預(yù)先指定的精確度在函數(shù)的定義區(qū)間上一致地近似表示，但是沒有指出應(yīng)該如何選擇多項(xiàng)式才能逼近得最好。如果考慮后一個問題，那么自然就需要考慮在次數(shù)不超過某個固定整數(shù) n的一切多項(xiàng)式中如何來選擇一個與(x)的一致誤差最小的多項(xiàng)式的問題，而這正好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以說切比雪夫和外爾斯特拉斯是逼近論的現(xiàn)代發(fā)展的奠基者。20世紀(jì)初在一批杰出的數(shù)學(xué)家，包括.伯恩斯坦、D杰克森、 瓦萊

4、普桑、H.L.勒貝格等人的積極參加下，開創(chuàng)了最佳逼近理論蓬勃發(fā)展的階段。這一理論主要在以下幾個方面取得了很大進(jìn)展：二、 逼近思想在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用1、佳逼近的定量理論在逼近論中系統(tǒng)地闡明函數(shù)的最佳逼近值En()（借助于代數(shù)多項(xiàng)式來逼近,或者對2周期函數(shù)借助于三角多項(xiàng)式來逼近，或借助于有理函數(shù)來逼近等等）的數(shù)列當(dāng)n時的性態(tài)和函數(shù)（x）的構(gòu)造性質(zhì)（可微性、光滑性、解析性等等）之間內(nèi)在聯(lián)系的理論統(tǒng)稱為定量理論。 杰克森、伯恩斯坦等人的工作對逼近論的發(fā)展所產(chǎn)生的影響是深遠(yuǎn)的。沿著他們開辟的方向繼續(xù)深入，到20世紀(jì)30年代中期出現(xiàn)了J.A.法瓦爾、.柯爾莫哥洛夫關(guān)于周期函數(shù)函數(shù)類借助于三角多項(xiàng)式的最佳逼

5、近的精確估計以及借助于傅里葉級數(shù)部分和的一致逼近的漸近精確估計的工作。這兩個工作把從杰克森開始的逼近論的定量研究提高到一個新的水平。從那時起，直到60年代,以.尼科利斯基、.阿希耶澤爾等人為代表的很多逼近論學(xué)者在定量研究方面繼續(xù)有許多精深的研究工作。2、逼近論的定性理論切比雪夫發(fā)現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式的特征，提出了以切比雪夫交錯點(diǎn)組著稱的特征定理。最佳逼近多項(xiàng)式是唯一存在的。最佳逼近多項(xiàng)式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的結(jié)果，對這些問題的深入研究構(gòu)成了逼近論定性研究的基本內(nèi)容。匈牙利數(shù)學(xué)家A.哈爾在1918年首先研究了用廣義多項(xiàng)式在【,b】上對任意連續(xù)函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性問

6、題。在【,b】上給定n+1個線性無關(guān)的連續(xù)函 公式。作為逼近函數(shù)類 公式，式中0,1,n是任意參數(shù)。這樣的P(x)稱為廣義多項(xiàng)式。是存在的。哈爾證明,為了對每一連續(xù)函數(shù)唯一,必須而且只須任一不恒等于零的廣義多項(xiàng)式P(x,0,1,n)在【, b】內(nèi)至多有n個不同的根。在20世紀(jì)2030年代,伯恩斯坦、.克列因等人對滿足哈爾條件的函 公式做過很多深入的研究。它在逼近論、插值論、樣條分析、矩量論、數(shù)理統(tǒng)計中有著比較廣泛的應(yīng)用。關(guān)于最佳逼近多項(xiàng)式的切比雪夫特征定理也有很多進(jìn)一步的研究和推廣。其中最重要的一個推廣是柯爾莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及復(fù)平面的閉集上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)借助于復(fù)值廣義多項(xiàng)式的一

7、致逼近問題。對于lp【，b】（1p<+）內(nèi)的函數(shù)借助于廣義多項(xiàng)式在p 次冪尺度下的逼近問題也建立了類似的一套定性定理。到5060年代，經(jīng)過一些學(xué)者的努力，抽象逼近的定性理論建立起來。3、線性算子的逼近理論最佳逼近多項(xiàng)式和被逼近函數(shù)間的關(guān)系除了平方逼近的情形外一般都不是線性關(guān)系。線性關(guān)系比較簡單，線性算子比較容易構(gòu)造。所以在逼近論發(fā)展中人們一直非常重視對線性逼近方法的研究，形成了逼近論中一個很重要的分支線性算子的逼近理論。針對特定的函數(shù)類、特定的逼近問題設(shè)計出構(gòu)造簡便、逼近性能良好的線性逼近方法與研究各種類型的線性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是線性算子逼近理論的中心研究課題。在這一方面

8、，幾十年來取得了十分豐富的成果。比較著名的經(jīng)典結(jié)果有E.B.沃羅諾夫斯卡婭、G.G.洛倫茨等對經(jīng)典的伯恩斯坦多項(xiàng)式公式的研究；柯爾莫哥洛夫、尼科利斯基等對周期可微函數(shù)的傅里葉級數(shù)部分和的逼近階的漸近精確估計；4060年代許多逼近論學(xué)者對作為逼近方法的傅里葉級數(shù)的線性求和過程逼近性能的研究（包括對傅里葉級數(shù)的費(fèi)耶爾平均、泊松平均、瓦萊·普桑平均等經(jīng)典的線性平均方法的研究）。50年代初期.科羅夫金深入研究了線性正算子作為逼近方法的特征，開辟了單調(diào)算子逼近理論的新方向（見線性正算子逼近）。40年代中期法瓦爾在概括前人對線性算子逼近的研究成果的基礎(chǔ)上，提出了線性算子的飽和性概念做為刻畫算子的

9、逼近性能的一個基本概念，開辟了算子飽和理論研究的新方向。4、函數(shù)逼近的數(shù)值方法從實(shí)際應(yīng)用的角度來看，要解決一個函數(shù)的最佳逼近問題，需要構(gòu)造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般說要精確解決這兩個問題十分困難。這種情況促使人們?yōu)閷で笞罴驯平慕票硎竞妥罴驯平档慕乒烙嫸O(shè)計出各種數(shù)值方法。一個數(shù)值方法中包含著有限個確定的步驟，借助它對每一個函數(shù)可以在它的逼近函數(shù)類P(x，0,1,n)中求出一個函數(shù)作為最佳逼近元的近似解，并且可以估計出誤差。數(shù)值方法自然不限于函數(shù)的最佳逼近問題。在插值、求積（計算積分的近似值）、函數(shù)的展開理論中也都建立了相應(yīng)的數(shù)值方法。近20年來由于快速電子計算機(jī)的廣泛應(yīng)用,數(shù)

10、值逼近理論和方法的研究發(fā)展很快,成為計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要分支。除了以上列舉的幾個方向外,還發(fā)展了插值逼近、借助于非線性集（如有理函數(shù)）的逼近、聯(lián)合逼近、在抽象空間內(nèi)的逼近等等。5、多元函數(shù)的逼近多元函數(shù)的逼近問題具有很重要的理論和實(shí)踐意義。由于在多元函數(shù)的逼近問題中包含了很多為單變元情形所沒有的新的困難，所以多元函數(shù)的逼近論比單變元情形的發(fā)展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已經(jīng)研究得比較充分的一個基本問題是函數(shù)借助于三角多項(xiàng)式或指數(shù)型整函數(shù)的最佳逼近階和函數(shù)（在一定意義下的）光滑性之間的關(guān)系。這一工作主要是由蘇聯(lián)學(xué)者尼柯利斯基和他的學(xué)生們于5060年代完成的。它除了對函數(shù)逼近論本身有重

11、要意義之外，還有很多重要應(yīng)用。例如，對研究多元函數(shù)在低維子流形上的性質(zhì)，多元函數(shù)在一定要求下的開拓問題等都有重要作用。后一類問題的研究屬于泛函分析中的嵌入定理。近年來，在多元函數(shù)的線性算子逼近、插值逼近、樣條逼近和用單變元函數(shù)的復(fù)合近似表示多元函數(shù)等方面都有所進(jìn)展。現(xiàn)在函數(shù)逼近論已成為函數(shù)理論中最活躍的分支之一?？茖W(xué)技術(shù)的蓬勃發(fā)展和快速電子計算機(jī)的廣泛使用給它的發(fā)展以強(qiáng)大的刺激。線代數(shù)學(xué)的許多分支，包括基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中象拓?fù)?、泛函分析、代?shù)這樣的抽象學(xué)科以及計算數(shù)學(xué)、數(shù)理方程、概率統(tǒng)計、應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一些分支都和逼近論有著這樣那樣的聯(lián)系。函數(shù)逼近論正在從過去基本上屬于古典分析的一個分支發(fā)展成為同許多數(shù)

12、學(xué)分支相互交叉的、密切聯(lián)系實(shí)際的、帶有一定綜合特色的分支學(xué)科。三、 實(shí)變課程學(xué)習(xí)心得在學(xué)習(xí)實(shí)變課程的過程中，逼近思想處處貫穿于實(shí)變函數(shù)的整體，在這個過程中實(shí)變函數(shù)充分的應(yīng)用了逼近思想，有如下特例：例1：設(shè)，則對任何>0，存在多項(xiàng)式,使在上，一致有 證：對于情形，注意到為n次多項(xiàng)式，應(yīng)用推理1即得所需的結(jié)論。對于一般情形，可利用線性變換將區(qū)間將區(qū)間來觀察。 上述例子是著名的魏爾斯特拉斯逼近逼近定理（1885年），利用這一逼近定理，很容易給出空間可分性。（詳見實(shí)變函數(shù)課本P244） 例2:設(shè)是有界可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任意的0，存在閉集，而限制在F上是連續(xù)的。剖析：魯津定理給出了可測函數(shù)的一種逼近，運(yùn)用了閉集對可測集的逼近，也通過函數(shù)的逼近來證明該項(xiàng)定理，這樣充分的使逼近的思想在實(shí)變函數(shù)中得以應(yīng)用，具體的證明可以通過課本查閱（詳見實(shí)變函數(shù)與泛變函數(shù)函數(shù)第一冊P119）例3：設(shè)是上的可積函數(shù)，則對任何正數(shù)，有上的函數(shù)，使 分析：采用連續(xù)函數(shù)來平均逼近可積函數(shù)，使得可積函數(shù)，可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)建立了明確的關(guān)系，使得逼近思想在實(shí)變課程中得到最好