實變函數(shù)第一章答案

1、習(xí)題1.11證明下列集合等式(1) ；(2) ；(3) 證明 (1) . (2) =.(3) .2證明下列命題(1) 的充分必要條件是：；(2) 的充分必要條件是：Ø；(3) 的充分必要條件是：Ø證明 (1) 的充要條是：(2) 必要性. 設(shè)成立，則, 于是有, 可得 反之若 取, 則, 那么與矛盾.充分性. 假設(shè)成立, 則, 于是有, 即(3) 必要性. 假設(shè), 即 若 取 則 于是 但 與矛盾.充分性. 假設(shè)成立, 顯然成立, 即.3證明定理1.1.6定理1.1.6 (1) 如果是漸張集列, 即 則收斂且(2) 如果是漸縮集列, 即 則收斂且證明 (1) 設(shè) 則對任意

2、存在使得 從而 所以 則 又因為 由此可見收斂且(2) 當時, 對于存在使得 于是對于任意的 存在使得, 從而 可見 又因為 所以可知收斂且4設(shè)是定義于集合上的實值函數(shù)，為任意實數(shù)，證明：(1) ；(2) ；(3) 若，則對任意實數(shù)有證明 (1) 對任意的 有 則存在使得成立. 即 那么 故 另一方面, 若 則存在使得 于是, 故. 則有(2) 設(shè), 則, 從而對任意的, 都有, 于是, 故有 另一方面, 設(shè), 則對于任意的, 有, 由的任意性, 可知, 即, 故.(3) 設(shè), 則. 由 可得對于任意的, 存在使得, 即, 即, 故, 所以, 故；另一方面, 設(shè), 則對任意有. 由下極限的定義

3、知：存在使得當時, 有, 即對任意有; 又由 知 即對任意的, 存在使得當時, 有. 取, 則有與同時成立, 于是有, 從而, 由的任意性知：, 即, 故有;綜上所述：5證明集列極限的下列性質(zhì)(1) ；(2) ；(3) ；(4) 證明 (1) .(2) .(3) .(4) .6如果都收斂，則都收斂且(1) ；(2) ；(3) 習(xí)題1.21建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)解 令, ,則,.定義為: 則為之間的一個一一對應(yīng).2建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)，其中解 定義: 為:可以驗證: 為一個一一對應(yīng).3建立區(qū)間與之間的一一對應(yīng)，其中解 令，. 定義為: 可以驗證: 為一個一一對應(yīng).4試問：是否存在連續(xù)函數(shù)，

4、把區(qū)間一一映射為區(qū)間?是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為?答 不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為; 因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間存在最大、最小值.也不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為; 因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在介值性定理, 而區(qū)間不能保證介值性定理永遠成立.5證明：區(qū)間且證明 記,則.任取, 設(shè) 為實數(shù)正規(guī)無窮十進小數(shù)表示, 并令, 則得到單射. 因此由定理1.2.2知.若令, 則. 從而由定理1.2.2知: .最后, 根據(jù)定理知: .對于,定義為:,則為的一個一一對應(yīng),即. 又因為: , 則由對等的傳遞性知: 且.6證明：與對等并求它們的基數(shù)證明 令, ,.則. 定義: 為:可以驗證: 為一一對應(yīng), 即.

5、 又因為, 所以 .7證明：直線上任意兩個區(qū)間都是對等且具有基數(shù)證明 對任意的 取有限區(qū)間則, 則由定理知, 同理. 故.習(xí)題1.31證明：平面上頂點坐標為有理點的一切三角形之集是可數(shù)集證明 因為有理數(shù)集是可數(shù)集，平面上的三角形由三個頂點所確定，而每個頂點由兩個數(shù)決定，故六個數(shù)可確定一個三角形，所以中的每個元素由中的六個相互獨立的數(shù)所確定，即 所以為可數(shù)集.2證明：由平面上某些兩兩不交的閉圓盤之集最多是可數(shù)集證明 對于任意的, 使得. 因此可得：. 因為與不相交，所以. 故為單射，從而. 3證明：（1）任何可數(shù)集都可表示成兩個不交的可數(shù)集之并；（2）任何無限集都可表成可數(shù)個兩兩不交的無限集之并

6、證明 (2) 當可數(shù)時，存在雙射. 因為所以 .其中：.又因為且可數(shù)，所以可表示成可數(shù)個兩兩不交的無限集之并當不可數(shù)時，由于無限，所以存在可數(shù)集, 且不可數(shù)且無限，從而存在可數(shù)集，且無限不可數(shù). 如此下去，可得都可數(shù)且不相交，從而. 其中無限且不交.4證明：可數(shù)個不交的非空有限集之并是可數(shù)集5證明：有限或可數(shù)個互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集證明 有限個互不相交的有限集之并是有限集；而可數(shù)個互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集.6證明：單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點之集至多是可數(shù)集證明 不妨設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，則在間斷當且僅當.于是，每個間斷點對應(yīng)一個開區(qū)間.下面證明：若為的兩個不連續(xù)點，則有.事實上，任取一點

7、，使，于是，從而對應(yīng)的開區(qū)間與對應(yīng)的開區(qū)間不相交，即不同的不連續(xù)點對應(yīng)的開區(qū)間互不相交，又因為直線上互不相交的開區(qū)間所構(gòu)成的集合至多是可數(shù)集，所以可知單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點之集至多是可數(shù)集.7證明：若存在某正數(shù)使得平面點集中任意兩點之間的距離都大于，則至多是可數(shù)集證明 定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤. 顯然當時，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.習(xí)題1.41直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答 直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是. 這是因為：為單射，而為滿射，所以. 區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因為：.2用表示上的一切連續(xù)實值函數(shù)之集，證明：

8、(1) 設(shè)，則；(2) 公式定義了單射；(3) 證明 (1) 必要性. 顯然.充分性. 假設(shè)成立. 因為，存在有理數(shù)列，使得，由，可得及.又因為為有理點列，所以有，故，都有.(2) ，設(shè)，即.由(1)知：. 故為單射. (3) 由(2)知：；又由，可得. 故.3設(shè)為閉區(qū)間上的一切實值函數(shù)之集，證明：(1) 定義了一個單射；(2) ，定義了單射；(3) 的基數(shù)是證明 (1) ，設(shè)，即.從而，故為單射. (2) ，設(shè)，則，故為單射. (3) 由(1)知：；又由(2)知：，故.4證明：證明 因為，而，故；又由定理1.4.5知：.5證明：若為任一平面點集且至少有一內(nèi)點，則證明 顯然. 設(shè)，則使得，可知

9、，故.第一章總練習(xí)題 證明下列集合等式(1) ；(2) 證明 (1) 因為 ,.所以.(2) 因為所以. 證明下列集合等式(1) ；(2) 證明 (1) .(2) .3證明：，其中為定義在的兩個實值函數(shù)，為任一常數(shù)證明 若, 則有且, 于是,故. 所以.4證明：中的一切有理點之集與全體自然數(shù)之集對等證明 因為,所以(推論1.3.1). 又因為, 所以, 故.5有理數(shù)的一切可能的序列所成之集具有什么基數(shù)？6證明：一切有理系數(shù)的多項式之集是可數(shù)集證明 設(shè)于是顯然 所以 因此由定理1.3.5知：7證明：一切實系數(shù)的多項式之集的基數(shù)為證明 記于是顯然 所以 因此由定理1.4.3知：8證明：全體代數(shù)數(shù)(即可作為有理系數(shù)多項式之根的數(shù))之集是可數(shù)集，并由此說明超越數(shù)(即不是代數(shù)數(shù)的實數(shù))存在，而且全體超越數(shù)之集的基數(shù)是證明 由于有理系數(shù)多項式的全體是可數(shù)集，設(shè)其元素為 記多項式的全體實根之集為 由于次多項式根的個數(shù)為有限個，故為有限集，從而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個有限集的并，故為可數(shù)集，即設(shè)超越