第五章平面向量

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第 1 講 平面向量的概念及線性運(yùn)算【 2013 年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量的線性運(yùn)算2考查平面向量的幾何意義及其共線條件【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講的復(fù)習(xí)， 一是要重視基礎(chǔ)知識(shí)， 對平面向量的基本概念， 加減運(yùn)算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運(yùn)算， 搞清這些運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則的區(qū)別基礎(chǔ)梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度等于0 的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1 個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0 與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(

2、6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則 (或幾何意義 )運(yùn)算律(1) 交換律：求兩個(gè)向量和的運(yùn)abba.加法算三角形法則(2)結(jié)合律：(ab)c a平行四邊形法則(bc)學(xué)習(xí)必備歡迎下載求 a 與 b 的相反向減法量 b 的和的運(yùn)算 b)a b a (叫做 a 與 b 的差三角形法則3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下： |a| |a|；當(dāng) 0 時(shí)，a 與 a 的方向相同； 當(dāng) 0 時(shí)，a 與 a 的方向相反； 當(dāng) 0 時(shí)，a 0.(2)運(yùn)算律：設(shè) ， 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(a

3、) ()a； ()aaa； (a b)ab.4共線向量定理向量 a(a0)與 b 共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 ba.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量兩個(gè)防范(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則 可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合雙基自測)1D 是 ABC 的邊 AB 上的中點(diǎn)，則向量 CD等于 ( 1 1 11A BC2BAB BC2B

4、AC.BC2BAD.BC2BA2判斷下列四個(gè)命題：若 ab，則 ab；若 |a|b|，則 ab；若 |a|b|，則 ab；若 ab，則 |a|b|.正確的個(gè)數(shù)是 ()A 1 B 2 C3 D43若 O，E，F(xiàn) 是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()學(xué)習(xí)必備歡迎下載 A. EFOFOEB.EF OF OE OFOED.EF OF OEC.EF如圖，正六邊形 CD EF()4ABCDEF 中， BAA 0B.BEC.ADD.CF5設(shè) a 與 b 是兩個(gè)不共線向量，且向量a b 與 2ab 共線，則 _.考向一平面向量的概念【例 1】?下列命題中正確的是 ()A a 與 b 共線， b 與 c

5、 共線，則 a 與 c 也共線B任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量D有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【訓(xùn)練 1】 給出下列命題：若 A，B，C，D 是不共線的四點(diǎn)，則 ABDC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件；若 a b， b c，則 ac； ab 的充要條件是 |a| |b|且 ab；若 a 與 b 均為非零向量，則 |a b|與 |a|b|一定相等其中正確命題的序號(hào)是 _考向二平面向量的線性運(yùn)算【例 2】?如圖，D， E， F 分別是 ABC 的邊 AB， BC， CA 的中點(diǎn)，則 ()A. AD B

6、E CF 0 B.BD CF DF 0C.AD CE CF 0D.BD BE FC 0【訓(xùn)練 2】 在 ABC 中，AB c，ACb，若點(diǎn) D 滿足 BD 2DC，則AD ()學(xué)習(xí)必備歡迎下載21522112A. 3b3cB.3c3bC.3b3cD.3b3c考向三共線向量定理及其應(yīng)用【例 3】?設(shè)兩個(gè)非零向量a 與 b 不共線(1)若 ABab，BC2a 8b，CD3(ab)求證： A，B，D 三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù) k，使 ka b 和 akb 共線【訓(xùn)練 3】 已知 a，b 是不共線的向量， AB ab，ACab(， R )，那么 A，B，C 三點(diǎn)共線的充要條件是 ()A 2B 1C

7、1D 1難點(diǎn)突破 11有關(guān)平面向量中新定義問題解題策略從近兩年課改區(qū)高考試題可以看出高考以選擇題形式考查平面向量中新定義的問題，一般難度較大這類問題的特點(diǎn)是背景新穎，信息量大，通過它可考查學(xué)生獲取信息、 分析并解決問題的能力 解答這類問題， 首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，然后應(yīng)用到具體的解題過程之中， 這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在【示例1】定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對任意的a(m， n)，b (p，q)，令 abmqnp，下面說法錯(cuò)誤的是 ()A若 a 與 b 共線，則 ab0B a b b aC對任意的 R，有 2(a·b)2 |a|2

8、|b|2( a)b (a b)D(a b)【示例 2】設(shè) A1，A2，A3，A4 是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若A1A3 A1A2學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 1( R)，A1A4A1A2( R)，且 2，則稱 A3，A4 調(diào)和分割 A1，A2.已知平 面上的點(diǎn) C，D 調(diào)和分割點(diǎn) A，B，則下列說法正確的是 ()A C 可能是線段 AB 的中點(diǎn)BD 可能是線段 AB 的中點(diǎn)C C、 D 可能同時(shí)在線段 AB 上DC、D 不可能同時(shí)在線段 AB 的延長線上第 2 講 平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示【 2013 年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量基本定理的應(yīng)用2考查坐標(biāo)表示下向量共線條件【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)

9、習(xí)時(shí)，應(yīng)理解基本定理，重點(diǎn)運(yùn)用向量的坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘的運(yùn)算以及向量共線的運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a，有且只有一對實(shí)數(shù) 1，2，使 a1e1 2e2，其中不共線的向量 e1，e2 叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a(x1， y1)，b(x2，y2)，則ab(x1 x2，y1 y2)，ab(x1 x2，y1 y2)， a(x1，y1)， |a|(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè) A(x1， y1)，2，y2，則

10、(x2x1，y2y1)， x2x12B(x)AB|AB|3平面向量共線的坐標(biāo)表示22x1 y1 .y2y1 2.設(shè) a(x1， y1)， b(x2，y2)，其中 b0，當(dāng)且僅當(dāng) x1y2x2y10 時(shí)，向量 a，b共線學(xué)習(xí)必備歡迎下載一個(gè)區(qū)別向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中， 以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 OAa，點(diǎn) A 的位置被向量 a 唯一確定，此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)與 a 的坐標(biāo)統(tǒng)一為 (x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn) A(x，y)，向量 a OA(x， y)1的當(dāng)平面向量 OA平行移動(dòng)到 O1A1時(shí)，向量不變，即 O11 OA (x，y)，但 O1AA起點(diǎn) O1 和終點(diǎn) A1的

11、坐標(biāo)都發(fā)生了變化兩個(gè)防范(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息1，y1， 2， y2)，則ab的充要條件不能表示成 x1y1，因?yàn)?x2，(2)若 a(x)b (xx2 y22 有可能等于 0，所以應(yīng)表示為 x12 x2y10.yy雙基自測已知 1 a2 an0，且 an(3,4)，則 a1a2 an 1 的坐標(biāo)為 ()1aA (4,3)B(4，3)C(3， 4) D(3,4)2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則 c ()A 3abB3ab C a3bDa3b3設(shè)向量 a(m,1)，b (1，m)，如果

12、 a 與 b 共線且方向相反， 則 m 的值為 ()A 1B 1C 2D 24設(shè)向量 a (1， 3)， b (2,4)，若表示向量4a、3b2a、 c 的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c ()A(4,6)B(4， 6)C(4， 6)D(4,6)5已知向量 a(2， 1)，b (1，m)，c( 1,2)，若(ab) c，則 m_.考向一平面向量基本定理的應(yīng)用【例 1】如圖所示，在 ABC 中， H 為 BC 上異于 B，C 的任一點(diǎn)， M 為 AH 的學(xué)習(xí)必備歡迎下載中點(diǎn)，若 AM ABAC，則 _.【訓(xùn)練 1】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若ADxAB yAC，則 x_，y

13、_.考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，【例 2】已知 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且 CM3CA，CN 2CB 求M.N 的坐標(biāo)和 MN.【訓(xùn)練 2】 在平行四邊形 ABCD 中，AC 為一條對角線，若 AB(2,4)，AC(1,3)，則BD()A (2， 4)B( 3， 5)C(3,5)D (2,4)考向三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算【例 3】?已知 a (1,2)，b( 3,2)，是否存在實(shí)數(shù) k，使得 kab 與 a 3b 共線，且方向相反？【訓(xùn)練 3】已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 滿足 (ca)b，c (ab)，則 c()A.7，7B. 7，7C.7，7D. 7，

14、793393993學(xué)習(xí)必備歡迎下載閱卷報(bào)告 5 平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤【問題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問題，是高考命題向量試題的常見形式，求解這類問題的常規(guī)思路是： 首先選擇一組基向量， 把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進(jìn)行求解【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線段等【示例】在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，設(shè) BC誤 2BD，CA3CE，則AD·BE _.【試一試】 已知直角梯形 ABCD 中， ADBC， ADC 90°，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的動(dòng)點(diǎn)，則 |PA3PB|的最小值為 _第 3 講

15、 平面向量的數(shù)量積【 2013 年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算2考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模3考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系學(xué)習(xí)必備歡迎下載【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)， 應(yīng)緊扣平面向量數(shù)量積的定義， 理解其運(yùn)算法則和性質(zhì)， 重點(diǎn)解決平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算， 利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、 模，以及兩向量的垂直關(guān)系基礎(chǔ)梳理1兩個(gè)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量° 180°)a 和 b(如圖 )，作 OA a， OB b，則 AOB(0叫做向量 a 與 b 的夾角，當(dāng) 0°時(shí)， a 與 b 同向；當(dāng) 180°時(shí)， a 與 b 反向；如果 a

16、與 b 的夾角是 90°，我們說 a 與 b 垂直，記作 ab.2兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量 a 與 b，它們的夾角為 ，則數(shù)量 |a|b|cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積 (或內(nèi)積 )，記作 a·b，即 a·b |a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0，即 0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積 a·b 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的數(shù)量積4向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè) a、b 都是非零向量， e 是單位向量， 為 a 與 b(或 e)的夾角則(1)e·a a·e

17、 |a|cos ；(2)a b? a·b 0；(3)當(dāng) a 與 b 同向時(shí)， a·b |a| |·b|；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a·b |a|b|，特別的， a·a |a|2 或者 |a| a·a；a·b(4)cos |a|b|；(5)|a·b|a|b|.5向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab) ·c a·c b·c.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量 a (x1，y1)，

18、b(x2， y2)，向量 a 與 b 的夾角為 ，則(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|x21 y21；1 2y1 2(3)cosa， bx xy2222；x1 y1x2 y2(4)a b? a·b 0?1 2y1 2 0.x xy227若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，ABa，則 |a|x1x2 y1y2(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 )一個(gè)條件兩個(gè)向量垂直的充要條件：ab? x1 x2y1y2 0.兩個(gè)探究(1)若 a·b 0，能否說明 a 和 b 的夾角為銳角？(2)若 a·b 0，能否說明 a 和 b 的夾角為鈍角？三個(gè)防范(1)若 a，

19、b，c 是實(shí)數(shù)，則 ab ac? bc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量 a，b， c 若滿足 a·ba·c(a0)，則不一定有 bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2) 數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即 ( a·b) c a( b· c) ，這是由于 ( a·b) c 表示一個(gè)與 c 共線的向量， a( b·c) 表示一個(gè)與 a 共線的向量，而 a 與 c 不一定共線，因此 ( a· b) c 與 a( b· c) 不一定相等 (3) 向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形 ABC中，

20、 AB與 BC的夾角應(yīng)為 120°，而不是 60°.雙基自測1已知 |a|3，|b|2，若 a·b3，則 a 與 b 的夾角為 ()23A. 3B.4C. 3D.4學(xué)習(xí)必備歡迎下載2若 a，b，c 為任意向量， mR，則下列等式不一定成立的是()A (ab)ca (b c)C m(a b)mambB(a b) ·ca·cb·cD(a·b) ·ca·(b·c)3若向量 a，b，c 滿足 ab，且 ac，則 c·(a 2b)()A4B3C2D04已知向量 a (1,2)，向量 b (x，

21、2)，且 a(a b)，則實(shí)數(shù) x 等于 ()A9B4C0D45已知 |a|b|2，(a2b) ·(ab) 2，則 a 與 b 的夾角為 _考向一求兩平面向量的數(shù)量積 【例 1】在 ABC 中， M 是 BC 的中點(diǎn)， |AM ，AP2PM，則 PA·PC)| 1(PB _.【訓(xùn)練 1】 如圖， 在菱形 ABCD 中，若 AC 4，則 CA·AB_.考向二利用平面向量數(shù)量積求夾角與?！纠?2】?已知 |a|4，|b|3，(2a3b) ·(2a b)61.(1)求 a 與 b 的夾角 ；(2)求 |ab|和 |a b|.學(xué)習(xí)必備歡迎下載【訓(xùn)練 2】 已知

22、a 與 b 是兩個(gè)非零向量， 且 |a|b| |ab|，求 a 與 ab 的夾角考向三平面向量的數(shù)量積與垂直問題【例 3】?已知平面向量 a(1，x)， b (2x 3， x)(x R)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求 |ab|.【訓(xùn)練3】 已知平面內(nèi) A，B，C 三點(diǎn)在同一條直線上， OA( 2，m)，OB(n,1)， OC(5， 1)，且 OAOB，求實(shí)數(shù) m，n 的值規(guī)范解答 10如何解決平面向量與解三角形的綜合問題【問題研究】 平面向量與三角的綜合性問題大多是以三角題型為背景的一種向量描述它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角的相關(guān)知識(shí)來解答，三角知識(shí)是考查的主體

23、 考查的要求并不高， 解題時(shí)要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題【解決方案】解決這類問題時(shí)，首先要考慮向量工具性的作用，如利用向量的學(xué)習(xí)必備歡迎下載模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題， 然后注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表達(dá)形式，最后用三角知識(shí)規(guī)范解答【示例】 ABC 的面積是 30，內(nèi)角 A，B，C 所對邊長分別為a，b， c，cos A12 ； (2)若 cb 1，求 a 的值.(1)求 AB·AC13【試一試】 已知 ABC 的面積 S 滿足 3S3，且AB·6，設(shè) AB與BC的夾BC角為 .(1)求 的取值范圍；(2)求函數(shù) f()sin22si

24、n ·cos 3cos2的最小值第 4 講 平面向量的應(yīng)用【 2013 年高考會(huì)這樣考】1考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題2考查利用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)中重點(diǎn)把握好向量平行、 垂直的條件及其數(shù)量積的運(yùn)算，重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗(yàn)向量在解題過程中的工具性特點(diǎn)學(xué)習(xí)必備歡迎下載基礎(chǔ)梳理1向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a b? ab(b0)? x1y2

25、 x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)ab? a·b0? x1x2 y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式1 2y1 2cos a·bx xy222 2(為 a 與 b 的夾角 )|a|b|x1y1x2y22平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來解決(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量， 這是力 F 與位移 s 的數(shù)量積即 WF ·s|F |s|cos (為 F 與 s 的夾角 )一個(gè)手段實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、 平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算

26、兩條主線(1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題雙基自測1某人先位移向量 a：“向東走 3 km”，接著再位移向量b：“向北走 3 km”，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 ab 表示 ()A向東南走 3 2 kmB向東北走 32kmC向東南走 33 kmD向東北走 33km平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知 (DBDC2DA·AC ，則2) (AB) 0ABC 的形狀是 ()A直角三角形B等腰直角

27、三角形C等腰三角形D無法確定3已知向量 a (cos ，sin )，b(3， 1)，則 |2a b|的最大值，最小值分別是()A4,0B16,0C 2,0D 16,41ABACABAC在ABC中，已知向量與AC滿足 0且· ，則4AB·BC2|AB|AC|AB| |AC|ABC 為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D三邊均不相等的三角形 5平面直角坐標(biāo)系xOy 中，若定點(diǎn) A(1,2)與動(dòng)點(diǎn) P(x，y)滿足 OP·OA4，則點(diǎn) P的軌跡方程是考向一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例 1】平面上 O，A，B 三點(diǎn)不共線，設(shè) OAa，OB b，則 OAB 的

28、面積等于()22222212221222A.|a| |b| a·bB.|a| |b| a·b C.2|a| |b| a·bD.2|a| |b| a·b【訓(xùn)練 1】 設(shè) a，b，c 為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿學(xué)習(xí)必備歡迎下載足 a 與 b 不共線， a c， |a|c|，則 |b·c|的值一定等于 ()A以 a，b 為鄰邊的平行四邊形的面積B以 b，c 為鄰邊的平行四邊形的面積C以 a，b 為兩邊的三角形的面積D以 b，c 為兩邊的三角形的面積考向二平面向量與三角函數(shù)的交匯【例 2】?已知 A，B，C 的坐標(biāo)分別為A(3,0

29、)，B(0,3)，C(cos ，sin )， 32，2 .(1)若 |AC|BC|，求角 的值； 2sin2sin 2(2)若 AC·BC 1，求的值1tan 【訓(xùn)練 2】 已知向量 a (sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若 |a| |b|,0，求 的值考向三平面向量與平面解析幾何交匯【例 3】已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線 l：x8，P 為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ學(xué)習(xí)必備歡迎下載 11 l，垂足為 Q，且 (PC 2PQ) ·(PC2PQ)0.(1)求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；若為圓2(y1)2 的最值(2)EFN： x1

30、 的任一條直徑，求 PE·PF【訓(xùn)練 3】 已知點(diǎn) P(0， 3)，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) Q 在 y 軸的正半軸上，點(diǎn)M 3 ，當(dāng)點(diǎn) A 在 x 軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程滿足 PA·0，AM2MQAM難點(diǎn)突破 12高考中平面向量與其他知識(shí)的交匯問題平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)近幾年新課標(biāo)高考對向量知識(shí)的命題， 既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識(shí)交匯的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用， 融會(huì)貫通”的特色，充分彰顯平面向量的交匯價(jià)值一、平面向量與命題的交匯【示例】 設(shè) a，b 是向量，命題“若a b，則 |a

31、|b|”的逆命題是 ()A若 ab，則 |a|b|B若 a b，則 |a|b|C若 |a|b|，則 a bD若 |a|b|，則 a b二、平面向量與函數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載【示例】若 a，b 是非零向量，且a b，|a| |b|，則函數(shù) f(x) (xa b) ·(xba)是()A一次函數(shù)且是奇函數(shù)B一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C二次函數(shù)且是偶函數(shù)D二次函數(shù)但不是偶函數(shù) 平面向量與線性規(guī)劃【示例】 ? (2011 ·福建 )已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A( 1,1)若點(diǎn) M(x，y)為平面區(qū)xy2，域 x1， 的取值范圍是 ()上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 OA·OMy2A1,0B0,1

32、C0,2 D 1,2專題二高考三角函數(shù)與平面向量命題動(dòng)向高考命題分析縱觀近年各省的高考數(shù)學(xué)試題， 出現(xiàn)了一些富有時(shí)代氣息的三角函數(shù)與平面向量考題，它們形式獨(dú)特、背景鮮明、結(jié)構(gòu)新穎，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和處理交匯性問題的能力在新課標(biāo)高考試卷中一般有24 題，分值約占全卷的 14% 20%，因此，加強(qiáng)這些試題的命題動(dòng)向研究，對指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)無疑有十分重要的意義 現(xiàn)聚焦高考三角函數(shù)與平面向量試題，揭秘三角函數(shù)與平面向量高考命題動(dòng)向， 挖掘三角函數(shù)與平面向量常見的考點(diǎn)及其求解策略，希望能給考生帶來幫助和啟示高考命題特點(diǎn)新課標(biāo)高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷，其特

33、點(diǎn)如下：學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)考小題，重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換； 兩域 (定義域、值域 )；四性 (單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性 )；簡單的三角變換 (求值、化簡及比較大小 )有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積等知識(shí)(2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少， 而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加大題中的向量，主要是作為工具來考查的，多與三角、圓錐曲線相結(jié)合(3)考應(yīng)用，融入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行

34、恒等變換的技能， 深受命題者的青睞 主要解法是充分利用三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等(4)考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對知識(shí)性和應(yīng)用性的考查， 故常常在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題， 而三角知識(shí)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何、 解析幾何、 導(dǎo)數(shù)等綜合性問題時(shí)突出三角與向量的工具性作用高考動(dòng)向透視考查三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系高考對本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)， 即利用三角函數(shù)的定義、 誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值、 變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求值、求參數(shù)的值、求

35、值域、求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數(shù)的定義、 圖象、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，在這類問題的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齊次化切”等21【示例 1】若 0， 2 ，且 sin cos 24，則 tan 的值等于 ()23A. 2B. 3C.2D.3考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦 (型)函數(shù)、余弦 (型 )函數(shù)、正切 (型)函數(shù)的學(xué)習(xí)必備歡迎下載單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內(nèi)容，在近年全國各地的高考試卷中都有考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的試題，而且對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題， 還有主

36、觀題， 客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查圖象的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題，難度中等偏下【示例 2】已知函數(shù) f(x)Asinx， ， ，yf(x)的部分圖象如圖所示，3x R A 0,02P，Q 分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 (1， A)(1)求 f(x)的最小正周期及的值；2(2)若點(diǎn) R 的坐標(biāo)為 (1,0)， PRQ 3 ，求 A 的值求單調(diào)區(qū)間高考對三角函數(shù)的單調(diào)性考查， 常以小題形式呈現(xiàn)， 有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題的某一小問中，屬中檔題對于形如 y Asin(x)(或 yAcos(x)，A0 的單調(diào)區(qū)間的求法是：

37、先考慮 A，的符號(hào)，再將 x視為一個(gè)整體，利用 ysin x 的單調(diào)區(qū)間，整體運(yùn)算，解出 x 的范圍即可【示例3】已知函數(shù) f(x)sin(2x )，其中 為實(shí)數(shù)，若 f(x) f 6對 xR 恒成立，且 f2 f( )，則 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A. k 3， k6 (k Z )B. k，k 2 (kZ )2C. k6， k 3 (kZ )D. k2，k(kZ )【訓(xùn)練】 設(shè)函數(shù) f(x)sin(x )cos(x) 0，| 2 的最小正周期為 ，且 f(x)f(x)，則 ()學(xué)習(xí)必備歡迎下載A f(x)在 0， 32單調(diào)遞減 Bf(x)在，4單調(diào)遞減4C f(x)在 0， 32單調(diào)遞

38、增 Df(x)在，4單調(diào)遞增4求最值高考對三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)， 屬中檔題有時(shí)也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔偏難題，高考常考查以下兩種類型：化成yAsin(x )的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值；化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最值【示例4】設(shè)2aR，f(x)cosx(asinxcosx)cos2x滿足f 3 f(0)，求函數(shù) 11f(x)在 4， 24 上的最大值和最小值【訓(xùn)練】 函數(shù) y2sin xcos x 的最大值為 _利用三角恒等變換求三角函數(shù)值三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)， 解三角形的基礎(chǔ)， 在前幾年的高考中單獨(dú)命題的情況很少， 但在今年的高考中加強(qiáng)了

39、對三角恒等變換的考查， 大多是結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)， 解三角形進(jìn)行命題， 但有的省份對三角恒等變換進(jìn)行了單獨(dú)命題， 由此可見，高考加大了對三角恒等變換的考查力度， 高考命題考查的重點(diǎn)性質(zhì)是公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】已知函數(shù) f(x)tan 2x4 .(1)求 f(x)的定義域與最小正周期；(2)設(shè) 0，4 ，若 f 2 2cos 2，求 的大小學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 3【訓(xùn)練】 若 02，20，cos 43，cos 42 3 ，則 cos 233536()A. 3B 3C. 9D 9三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來高考考查

40、的重點(diǎn)、 熱點(diǎn)問題，新課標(biāo)高考更加注重對知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用意識(shí)的考查， 而且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與集合、函數(shù)與方程、不等式等結(jié)合命題，而且還可以結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)命題，給今后的命題提出了新的挑戰(zhàn)【示例 6】 ?設(shè)函數(shù) f() 3sin cos ，其中，角 的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x，y)，且 0.(1)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為12， 23 ，求 f()的值；xy1，(2)若點(diǎn) P(x，y)為平面區(qū)域 x1，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角的取值范y1圍，并求函數(shù) f()的最小值和最大值學(xué)習(xí)必備歡迎下載有關(guān)解三角形的考查新課標(biāo)高考對解三角形的考查， 以正弦定理、 余弦定理的綜合運(yùn)用為主， 在解題時(shí)，要分析清楚題目條件， 利用正弦定理、 余弦