2009年重慶市高考數學試卷(理科)答案與解析(共15頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2009年重慶市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2009重慶）直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為（）A相切B相交但直線不過圓心C直線過圓心D相離【考點】直線與圓的位置關系菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關系，同時判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案【解答】解：由圓的方程得到圓心坐標（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d=r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的

2、位置關系是相交但直線不過圓心故選B【點評】此題考查學生掌握判斷直線與圓位置關系的方法是比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題2（5分）（2009重慶）已知復數z的實部為1，虛部為2，則=（）A2iB2+iC2iD2+i【考點】復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】由題意求出復數z，代入，復數分子、分母同乘分母的共軛復數，化簡為a+bi（a，bR）的形式，可得選項【解答】解：因為由條件知z=1+2i，則=，故選A【點評】本題考查復數的基本概念，復數代數形式的乘除運算，考查計算能力，是基礎題3（5分）（2009重慶

3、）（x+2）6的展開式中x3的系數是（）A20B40C80D160【考點】二項式定理菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為3求出展開式中x3的系數【解答】解：設含x3的為第r+1，則Tr+1=C6rx6r2r，令6r=3，得r=3，故展開式中x3的系數為C6323=160故選D【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具4（5分）（2009重慶）已知，則向量與向量的夾角是（）ABCD【考點】平面向量數量積的運算；數量積表示兩個向量的夾角菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】利用向量的運算法則及向量模的平方即是向量的平方求出，再

4、利用向量的數量積公式求出向量的夾角余弦，求出向量夾角【解答】解：=2又，=3即cosa，b=3=1×6cosa，b，得cosa，b=，a與b的夾角為，故選項為C【點評】本題考查向量的運算律；向量模的性質；利用向量的數量積公式求向量的夾角5（5分）（2009重慶）不等式|x+3|x1|a23a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為（）A（，14，+）B（，25，+）C1，2D（，12，+）【考點】絕對值不等式的解法菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；轉化思想【分析】利用絕對值的幾何意義，求出|x+3|x1|的最大值不大于a23a，求出a的范圍【解答】解：因為|x+3|x1|4對|x+3|x

5、1|a23a對任意x恒成立，所以a23a4即a23a40，解得a4或a1故選A【點評】本題考查絕對值不等式的解法，絕對值的幾何意義，以及恒成立問題，是中檔題6（5分）（2009重慶）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（）ABCD【考點】等可能事件的概率；組合及組合數公式菁優(yōu)網版權所有【分析】本題考查的知識點是古典概型，我們計算出總的滔法種類，再計算滿足條件“從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個”所包含的基本事件個數，然后代入古典概型公式計算，即可得到答案【解答】解：因為總的滔法C1

6、54，而所求事件的取法分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓、豆沙餡湯圓，取得個數分別按1，1，2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率P=故選C【點評】古典概型要求所有結果出現的可能性都相等，強調所有結果中每一結果出現的概率都相同弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關系是解決問題的關鍵解決問題的步驟是：計算滿足條件的基本事件個數，及基本事件的總個數，然后代入古典概型計算公式進行求解7（5分）（2009重慶）設ABC的三個內角A，B，C，向量，若=1+cos（A+B），則C=（）ABCD【考點】三角函數的化簡求值菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】利用

7、向量的坐標表示可求=1+cos（A+B），結合條件C=（A+B）可得sin（C+=，由0C可求C【解答】解：因為=又因為所以又C=（B+A）所以因為0C，所以故選C【點評】本題主要以向量的坐標表示為載體考查三角函數，向量與三角的綜合問題作為高考的熱點，把握它的關鍵是掌握好三角與向量的基本知識，掌握一些基本技巧，還要具備一些運算的基本技能8（5分）（2009重慶）已知，其中a，bR，則ab的值為（）A6B2C2D6【考點】極限及其運算菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】先通分得，然后由極限的性質知，由此可以求出ab的值【解答】解：已知=2，a=2，b=4；ab=6故選D【點評】本題考查函數的極限

8、，解題時注意函數極限的逆運算9（5分）（2009重慶）三個互不重合的平面把空間分成六個部份時，它們的交線有 （）條A1B2C3D1或2【考點】空間中直線與平面之間的位置關系菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題；分類討論【分析】三個互不重合的平面把空間分成六個部份有兩種情形：一是其中兩個平面平行，第三個平面都與它們相交；二是三個平面交于一條直線，考慮到兩類即可解決【解答】解：分兩類：當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線；當三個平面交于一條直線時，有一條交線，故選D【點評】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎題10（5分）（2009重慶）已知

9、三角函數f（x）=sin2xcos2x，其中x為任意的實數求此函數的周期為（）A2BC4D【考點】函數的周期性；分段函數的解析式求法及其圖象的作法；函數與方程的綜合運用菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】首先由題目中已知三角函數f（x）=sin2xcos2x求周期，需要把函數化為標準型，然后根據周期公式求解即可得到答案【解答】解：因為f（x）=sin2xcos2x=，所以函數的周期T=，故答案選擇B【點評】此題主要考查三角函數周期性的求法，其中涉及到三角函數標準型的化法，涵蓋知識點少，屬于基礎題目二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）（2009重慶）若A=xR|x|

10、3，B=xR|2x1，則AB=x|0x3【考點】交集及其運算菁優(yōu)網版權所有【專題】集合【分析】要求A與B的交集，先要求出兩個集合的區(qū)間，解出絕對值不等式得到集合A，根據指數函數的增減性得到集合B，然后取兩集合的公共部分即可得到交集【解答】解：由|x|3解得3x3；由2x1=20，根據指數函數y=2x為增函數得到x0A=x|3x3，B=x|x0，則AB=x|0x3故答案為：x|0x3【點評】此題考查學生會利用指數函數的增減性解不等式，理解交集的定義并會進行交集的運算12（5分）（2009重慶）若f（x）=a+是奇函數，則a=【考點】奇函數；函數奇偶性的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】常規(guī)題型【分析】充

11、分不必要條件：若奇函數定義域為R（即x=0有意義），則f（0）=0或用定義：f（x）=f（x）直接求a【解答】解：函數的定義域為R，且為奇函數，則 f（0）=a+=0，得a+=0，得 a=，檢驗：若a=，則f（x）=+=，又f（x）=f（x） 為奇函數，符合題意故答案為【點評】若定義域中包括0在內函數f（x）為奇函數f（0）=0，注意是充分不必要條件，所以此類問題求解后需要檢驗，此題也可以直接采用奇偶性的定義f（x）=f（x）求解13（5分）（2009重慶）將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 36種（用數字作答）【考點】排列、組合及簡單計數問題菁優(yōu)網版權所

12、有【專題】計算題【分析】由題意知將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，需要先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，再把它同另外兩個元素在三個位置全排列排列，根據分步乘法原理得到結果【解答】解：將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，再把它同另外兩個元素在三個位置全排列排列，共有C24A33=36故答案為：36【點評】本題考查排列組合及簡單的計數問題，是一個基礎題，本題又是一個易錯題，排列容易重復，注意做到不重不漏14（5分）（2009重慶）設a1=2，bn=，nN+，則數列bn的通項公式bn=2n+1【考點】數列遞推式菁

13、優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題；創(chuàng)新題型【分析】由題設條件得=，由此能夠導出數列bn的通項公式bn【解答】解：由條件得=且b1=4所以數列bn是首項為4，公比為2的等比數列，則bn=42n1=2n+1故答案為：2n+1【點評】本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的合理運用15（5分）（2009重慶）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1（c，0），F2（c，0），若雙曲線上存在一點P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，）【考點】雙曲線的應用；雙曲線的簡單性質菁優(yōu)網版權所有【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】不防設點P（xo，yo）在右支曲線上并注意到xoa利用正弦

14、定理求得，進而根據雙曲線定義表示出|PF1|和|PF2|代入求得e的范圍【解答】解：不防設點P（xo，yo）在右支曲線上并注意到xoa由正弦定理有，由雙曲線第二定義得：|PF1|=a+exo，|PF2|=exoa，則有=，得xo=a，分子分母同時除以a2，易得：1，解得1e+1故答案為（1，）【點評】本題主要考查了雙曲線的應用考查了學生綜合運用所學知識解決問題能力三、解答題（共6小題，滿分75分）16（13分）（2009重慶）設函數（）求f（x）的最小正周期（）若y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求當時y=g（x）的最大值【考點】三角函數的最值；三角函數中的恒等變換應用；三角

15、函數的周期性及其求法菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及二倍角公式及化簡三角函數；再利用三角函數的周期公式求出周期（2）在y=g（x）上任取一點，據對稱行求出其對稱點，利用對稱點在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整體角的范圍，據三角函數的有界性求出最值【解答】解：（1）f（x）=故f（x）的最小正周期為T=8（2）在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x），它關于x=1的對稱點（2x，g（x）由題設條件，點（2x，g（x）在y=f（x）的圖象上，從而=當時，時，因此y=g（x）在區(qū)間上的最大值為【點評】本題考查常利用三角函數的二倍角公式及公式化簡三角函數

16、、利用軸對稱性求函數的解析式、利用整體角處理的思想求出最值17（13分）（2009重慶）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響求移栽的4株大樹中：（1）兩種大樹各成活1株的概率；（2）成活的株數的分布列與期望【考點】離散型隨機變量及其分布列；n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】（1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相乘即可（2）的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可【解答】解：設Ak表示甲種大樹成活k株，k=0，1

17、，2Bl表示乙種大樹成活1株，1=0，1，2則Ak，Bl獨立由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2k，P（Bl）=C21（）l（）2l據此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=（1）所求概率為P（A1B1）=P（A1）P（B1）=×=（2）解法一：的所有可能值為0，1，2，3，4，且P（=0）=P（A0B0）=P（A0）P（B0）=×=，P（=1）=P（A0B1）+P（A1B0）=×+×=，P（=2）=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）=×+×+&#

18、215;=，P（=3）=P（A1B2）+P（A2B1）=×+×=P（=4）=P（A2B2）=×=綜上知有分布列01234P從而，的期望為E=0×+1×+2×+3×+4×=（株）解法二：分布列的求法同上，令1，2分別表示甲乙兩種樹成活的株數，則1：B（2，），2：B（2，）故有E1=2×=，E2=2×=1從而知E=E1+E2=【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、期望、獨立重復試驗的概率等知識，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力18（13分）（2009重慶）設函數f（x）=ax2+bx+k

19、（k0）在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線垂直于直線x+2y+1=0（）求a，b的值；（）若函數，討論g（x）的單調性【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】（）因為”函數在x=0處取得極值“，則有f'（0）=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1）處的切線與直線x2y+1=0相互垂直”，則有f'（1）=2，從而求解（）由（）可得到：，令g'（x）=0，有x22x+k=0，因為還有參數k，由一元二次方程，分三種情況討論，（1）當=44k0，函數g（x）在R上為增函數，（2）當=4

20、4k=0，g（x）在R上為增函數（3）=44k0，方程x22x+k=0有兩個不相等實根，則由其兩根來構建單調區(qū)間【解答】解：（）因f（x）=ax2+bx+k（k0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0處取得極值，故f'（x）=0，從而b=0，由曲線y=f（x）在（1，f（1）處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2，即f'（1）=2，有2a=2，從而a=1（6分）（）由（）知：、令g'（x）=0，有x22x+k=0（8分）（1）當=44k0，即當k1時，g'（x）0在R上恒成立，故函數g（x）在R上為增函數（10分）（2）當=44

21、k=0，即當k=1時，K=1時，g（x）在R上為增函數（12分）（3）=44k0，即當0k1時，方程x22x+k=0有兩個不相等實根當是g'（x）0，故g（x）在上為增函數當時，g'（x）0，故g（x）在上為減函數當時，g'（x）0，故g（x）在上為增函數（14分）【點評】本題主要考查導數的幾何意義，函數的極值及函數的單調性綜合性較強，充分考查了函數方程不等式三者的內在聯(lián)系與轉化19（12分）（2009重慶）如圖，在四棱錐SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2；E為BS的中點，CE=，求：（）點A到平面BCS的距離；（）二面

22、角ECDA的大小【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】（）根據線面平行的判定定理可知AD平面BCS，則從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離，從而DS為點A到平面BCS的距離，在RtADS中求出DS即可；（）過E點作EGCD，交CD于點G，又過G點作GHCD，交AB于H，根據二面角平面角的定義可知EGH為二面角ECDA的平面角，過E點作EFBC，交CS于點F，連接GF，在RtFEG中，求出此角即可【解答】解：（）因為ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離因為平面

23、CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，從而ADSD，由ADBC，得BCDS，又由CSDS知DS平面BCS，從而DS為點A到平面BCS的距離，因此在RtADS中（）如圖，過E電作EGCD，交CD于點G，又過G點作GHCD，交AB于H，故EGH為二面角ECDA的平面角，記為，過E點作EFBC，交CS于點F，連接GF，因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF，故由于E為BS邊中點，故，在RtCFE中，因EF平面CSD，又EGCD故由三垂線定理的逆定理得FGCD，從而又可得CGFCSD，因此而在RtCSD中，在RtFEG中，可得，故所求二面角的大小為【點評】本題主要考查了點到平面的距

24、離，以及二面角的度量等有關知識，同時考查了計算能力、推理能力、以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題20（12分）（2009重慶）已知以原點O為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，M是橢圓上的動點（）若C，D的坐標分別是，求|MC|MD|的最大值；（）如題（20）圖，點A的坐標為（1，0），B是圓x2+y2=1上的點，N是點M在x軸上的射影，點Q滿足條件：，、求線段QB的中點P的軌跡方程【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】（）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（ab0）設，由準線方程由此能夠求出橢圓方程從而得到點M的坐標為（±1，0）

25、時上式取等號，|MC|MD|的最大值為4（）設M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）因為，故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+yy=4因為，（1xQyQ）（1xNyn）=（1xQ）（1xN）+yQyN=0，所以xQxN+yQyN=xN+xQ1由此可導出動點P的軌跡方程為【解答】解：（）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（ab0）設，由準線方程得由得，解得a=2，c=，從而b=1，橢圓方程為又易知C，D兩點是橢圓的焦點，所以，|MC|+|MD|=2a=4從而|MC|MD|，當且僅當|MC|=|MD|，即點M的坐標為（±1，0）時上式取等號，|MC

26、|MD|的最大值為4（II）如圖（20）圖，設M（xm，ym），B（xB，yB）Q（xQ，yQ）因為，故xQ=2xN，yQ=yM，xQ2+yQ2=（2xM）2+（yM）2=4 因為，（1xQyQ）（1xNyN）=（1xQ）（1xN）+yQyN=0，所以xQxN+yQyN=xN+xQ1記P點的坐標為（xP，yP），因為P是BQ的中點所以2xP=xQ+xP，2yP=yQ+yP由因為xN2+yN2=1，結合，得=故動點P的軌跡方程為【點評】本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細求解，知識方面注意橢圓的標準方程與焦點位置的關系以及向量與解析幾何問題的綜合運用21（12分）（2009重慶）設m個不全相等的正數a1，a2，am（m7）依次圍成一個圓圈，（）若m=2009，且a1，a2，a1005是公差為d的等差數列，而a1，a2009，a2008，a1006是公比為q=d的等比數列；數列a1，a2，am的前n項和Sn（nm）滿足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通項an