弦振動研究試驗(教材)

1、弦振動研究試驗傳統(tǒng)的教學實驗多采用音叉計來研究弦的振動與外界條件的關(guān)系。采用柔性或半柔性的弦線，能用眼睛觀察到弦線的振動情況，一般聽不到與振動對應的聲音。本實驗在傳統(tǒng)的弦振動實驗的基礎(chǔ)上增加了實驗內(nèi)容，由于采用了鋼質(zhì)弦線，所以能夠聽到振動產(chǎn)生的聲音，從而可研究振動與聲音的關(guān)系；不僅能做標準的弦振動實驗，還能配合示波器進行駐波波形的觀察和研究，因為在很多情況下，駐波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛觀察是無法分辨的。結(jié)合示波器，更可深入研究弦線的非線性振動以及混沌現(xiàn)象?！緦嶒災康摹?1. 了解波在弦上的傳播及弦波形成的條件。2. 測量拉緊弦不同弦長的共振頻率。3. 測量弦線的線密度。4. 測量弦

2、振動時波的傳播速度?！緦嶒炘怼繌埦o的弦線4在驅(qū)動器3產(chǎn)生的交變磁場中受力。移動劈尖6改變弦長或改變驅(qū)動頻率，當弦長是駐波半波長的整倍數(shù)時，弦線上便會形成駐波。仔細調(diào)整，可使弦線形成明顯的駐波。此時我們認為驅(qū)動器所在處對應的弦為振源，振動向兩邊傳播，在劈尖6處反射后又沿各自相反的方向傳播，最終形成穩(wěn)定的駐波。圖 1為了研究問題的方便，當弦線上最終形成穩(wěn)定的駐波時，我們可以認為波動是從左端劈尖發(fā)出的，沿弦線朝右端劈尖方向傳播，稱為入射波，再由右端劈尖端反射沿弦線朝左端劈尖傳播，稱為反射波。入射波與反射波在同一條弦線上沿相反方向傳播時將相互干涉，在適當?shù)臈l件下，弦線上就會形成駐波。這時，弦線上的波

3、被分成幾段形成波節(jié)和波腹。如圖1所示。設(shè)圖中的兩列波是沿X軸相向方向傳播的振幅相等、頻率相同、振動方向一致的簡諧波。向右傳播的用細實線表示，向左傳播的用細虛線表示，當傳至弦線上相應點時，相位差為恒定時，它們就合成駐波用粗實線表示。由圖1可見，兩個波腹或波節(jié)間的距離都是等于半個波長，這可從波動方程推導出來。下面用簡諧波表達式對駐波進行定量描述。設(shè)沿X軸正方向傳播的波為入射波，沿X軸負方向傳播的波為反射波，取它們振動相位始終相同的點作坐標原點 “O”，且在X0處，振動質(zhì)點向上達最大位移時開始計時，則它們的波動方程分別為：Y1Acos2p(ftx/ l)Y2Acos2p(ftx/ l)式中A為簡諧波

4、的振幅，f為頻率，l為波長，X為弦線上質(zhì)點的坐標位置。兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：Y1Y22Acos2p（x/ l）cos2pft ······ 由此可見，入射波與反射波合成后，弦上各點都在以同一頻率作簡諧振動，它們的振幅為2Acos2p(x / l) |，只與質(zhì)點的位置X有關(guān)，與時間無關(guān)。由于波節(jié)處振幅為零，即cos2p(x / l) |02px / l(2k+1) p / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波節(jié)的位置為： X（2K1）l /4

5、······ 而相鄰兩波節(jié)之間的距離為： XK1XK 2（K1）1 l/4（2K1）l / 4）l / 2 ····· 又因為波腹處的質(zhì)點振幅為最大，即cos2p(X / l) | =12pX / l Kp ( K=0. 1. 2. 3. ······) 可得波腹的位置為： XKl / 2 2kl / 4 ····· 這樣相鄰的波腹間的距離也是半個波長。因此，在駐波實驗中，只要

6、測得相鄰兩波節(jié)（或相鄰兩波腹）間的距離，就能確定該波的波長。在本實驗中，由于弦的兩端是固定的，故兩端點為波節(jié)，所以，只有當均勻弦線的兩個固定端之間的距離（弦長）L等于半波長的整數(shù)倍時，才能形成駐波，其數(shù)學表達式為： Lnl / 2 ( n=1. 2. 3. ···)由此可得沿弦線傳播的橫波波長為： l2L / n ······式中n為弦線上駐波的段數(shù)，即半波數(shù)，L為弦長。根據(jù)波動理論，弦線橫波的傳播速度為： V(T/)1/2 ······即： 式

7、中T為弦線中張力，為弦線單位長度的質(zhì)量，即線密度。根據(jù)波速、頻率與波長的普遍關(guān)系式Vf l，和式可得橫波波速為：V2Lf/n ······如果已知張力和頻率f，則由式可得線密度為： =T(n/2Lf)2 ( n=1. 2. 3. ······) ······如果已知線密度和頻率f，則由式可得張力為：T=(2Lf/n) 2 ( n=1. 2. 3. ······

8、;) ······如果已知線密度和張力，則由式可得頻率f為： ······以上的分析是根據(jù)經(jīng)典物理學得到的，實際的弦振動的情況是復雜的。我們在實驗中可以看到，接收波形很多時候并不是正弦波，或者帶有變形，或者沒有規(guī)律振動，或者帶有不穩(wěn)定性振動，這就要求我們引入更新的非線性科學的分析方法?？梢詤⒁娪嘘P(guān)的資料，例如參考文獻?！緲防矸治觥砍Ｒ姷囊綦A由7個基本的音組成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7個音以及比它們高一個或幾個八度的音、低一個或幾個八度的音構(gòu)

9、成各種組合就成為各種樂器的“曲調(diào)”。每高一個八度的音的頻率升高一倍。振動的強弱（能量的大小）體現(xiàn)為聲音的大小，不同物體的振動體現(xiàn)的聲音音色是不同的，而振動的頻率f則體現(xiàn)音調(diào)的高低。f = 261.6Hz的音在音樂里用字母c1表示。其相應的音階表示為：c，d，e，f，g，a，b，在將c音唱成“do”時定為c調(diào)。人聲及器樂中最富有表現(xiàn)力的頻率范圍約為60Hz1000Hz。c調(diào)中7個基本音的頻率，以“do”音的頻率f = 261.6Hz為基準，按十二平均律*的分法，其它各音的頻率為其倍數(shù)，其倍數(shù)值如表1所示：表 1音名cdefgabc頻率倍數(shù)12頻率Hz261.6293.7329.6349.2392

10、.0440.0493.9523.2*注：常用的音樂律制有五度相生律、純律（自然律）和十二平均律三種，所對應的頻率是不同的。五度相生律是根據(jù)純五度定律的，因此在音的先后結(jié)合上自然協(xié)調(diào)，適用于單音音樂。純律是根據(jù)自然三和弦來定律的，因此在和弦音的同時結(jié)合上純正而和諧，適用于多聲音樂。十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后結(jié)合和同時結(jié)合上都不是那么純正自然，但由于它轉(zhuǎn)調(diào)方便，在樂器的演奏和制造上有著許多優(yōu)點，在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用。常見的樂器都是參照上述表格確定的值制造的，例如鋼琴，豎琴，吉它等。金屬弦線形成駐波后，產(chǎn)生一定的振幅，從而發(fā)出對應頻率的聲音。如果將驅(qū)動頻率設(shè)置為表1

11、所定的值，由弦振動的理論可知，通過調(diào)節(jié)弦線的張力或長度，形成駐波，就能聽到與音階對應的頻率了（當然，這時候的環(huán)境噪音要小些）。這樣做的特點是能產(chǎn)生準確的音調(diào)，有助于我們對音階的判斷和理解。【實驗儀器】1. DH4618型弦振動研究實驗儀2. 雙蹤示波器實驗儀器由測試架和信號源組成，測試架的結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖 2 1調(diào)節(jié)螺桿 2圓柱螺母 3驅(qū)動傳感器 4弦線 5接收傳感器 6支撐板 7張力桿 8砝碼 9信號源 10示波器【實驗內(nèi)容】一、實驗前準備 1. 選擇一條弦，將弦的帶有銅圓柱的一端固定在張力桿的U型槽中，把帶孔的一端套到調(diào)整螺桿上圓柱螺母上。2. 把兩塊劈尖（支撐板）放在弦下相距為L的兩點

12、上（它們決定弦的長度），注意窄的一端朝標尺，彎腳朝外，如圖；放置好驅(qū)動線圈和接收線圈，按圖連接好導線。3. 掛上質(zhì)量可選砝碼到張力桿上，然后旋動調(diào)節(jié)螺桿，使張力桿水平（這樣才能從掛的物塊質(zhì)量精確地確定弦的張力），見圖。因為杠桿的原理，通過在不同位置懸掛質(zhì)量已知的物塊，從而獲得成比例的、已知的張力，該比例是由杠桿的尺寸決定的。如圖3（a），掛質(zhì)量為“M”的重物在張力桿的掛鉤槽3處，弦的拉緊度等于3M；如圖3（b），掛質(zhì)量為“M”的重物在張力桿的掛鉤槽4處，弦緊度為4M，。注意：由于張力不同，弦線的伸長也不同，故需重新調(diào)節(jié)張力桿的水平。（a）張力3M （b）張力4M圖 3 張力大小的示意二、實驗內(nèi)

13、容1. 張力、線密度和弦長一定，改變驅(qū)動頻率，觀察駐波現(xiàn)象和駐波波形，測量共振頻率。1) 放置兩個劈尖至合適的間距，例如60cm，裝上一條弦。在張力杠桿上掛上一定質(zhì)量的砝碼（注意，總質(zhì)量還應加上掛鉤的質(zhì)量），旋動調(diào)節(jié)螺桿，使張力杠桿處于水平狀態(tài)，把驅(qū)動線圈放在離劈尖大約510cm處，把接收線圈放在弦的中心位置。提示：為了避免接收傳感器和驅(qū)動傳感器之間的電磁干擾，在實驗過程中要保證兩者之間的距離至少有10cm。2) 驅(qū)動信號的頻率調(diào)至最小，合適調(diào)節(jié)信號幅度，同時調(diào)節(jié)示波器的通道增益為10mV/格。3) 慢慢升高驅(qū)動信號的頻率，觀察示波器接收到的波形的改變。注意：頻率調(diào)節(jié)過程不能太快，因為弦線形成

14、駐波需要一定的能量積累時間，太快則來不及形成駐波。如果不能觀察到波形，則調(diào)大信號源的輸出幅度；如果弦線的振幅太大，造成弦線敲擊傳感器，則應減小信號源輸出幅度；適當調(diào)節(jié)示波器的通道增益，以觀察到合適的波形大小。一般一個波腹時，信號源輸出為23V(峰-峰值)，即可觀察到明顯的駐波波形，同時觀察弦線，應當有明顯的振幅。當弦的振動幅度最大時，示波器接收到的波形振幅最大，這時的頻率就是共振頻率。4) 記下這個共振頻率，以及線密度、弦長和張力，弦線的波腹波節(jié)的位置和個數(shù)等參數(shù)。如果弦線只有一個波腹，這時的共振頻率為最低，波節(jié)就是弦線的兩個固定端（兩個劈尖處）。5) 再增加輸出頻率，連續(xù)找出幾個共振頻率（3

15、5個）并記錄。注意，接收線圈如果位于波節(jié)處，則示波器上無法測量到波形，所以驅(qū)動線圈和接收線圈此時應適當移動位置，以觀察到最大的波形幅度。當駐波的頻率較高，弦線上形成幾個波腹、波節(jié)時，弦線的振幅會較小，眼睛不易觀察到。這時把接收線圈移向右邊劈尖，再逐步向左移動，同時觀察示波器（注意波形是如何變化的），找出并記下波腹和波節(jié)的個數(shù)，及每個波腹和波節(jié)的位置。2. 張力和線密度一定，改變弦長，測量共振頻率。1) 選擇一根弦線和合適的張力，放置兩個劈尖至一定的間距，例如60cm，調(diào)節(jié)驅(qū)動頻率，使弦線產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波。2) 記錄相關(guān)的線密度，弦長，張力，波腹數(shù)等參數(shù)。3) 移動劈尖至不同的位置改變弦長，調(diào)節(jié)驅(qū)

16、動頻率，使弦線產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波。記錄相關(guān)的參數(shù)。3. 弦長和線密度一定，改變張力，測量共振頻率和橫波在弦上的傳播速度。1) 放置兩個劈尖至合適的間距，例如60cm，選擇一定的張力，改變驅(qū)動頻率，使弦線產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波。2) 記錄相關(guān)的線密度，弦長，張力等參數(shù)。3) 改變砝碼的質(zhì)量和掛鉤的位置，調(diào)節(jié)驅(qū)動頻率，使弦線產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波。記錄相關(guān)的參數(shù)。4. 張力和弦長一定，改變線密度，測量共振頻率和弦線的線密度。1) 放置兩個劈尖至合適的間距，選擇一定的張力，調(diào)節(jié)驅(qū)動頻率，使弦線產(chǎn)生穩(wěn)定的駐波。2) 記錄相關(guān)的弦長，張力等參數(shù)。3) 換用不同的弦線，改變驅(qū)動頻率，使弦線產(chǎn)生同樣波腹數(shù)的穩(wěn)定駐波。記錄相關(guān)的

17、參數(shù)。5. 聆聽音階高低及與頻率的關(guān)系1) 對照表1，選定一個頻率，選擇合適的張力，通過移動劈尖的位置，改變弦長，在弦線上形成駐波，聆聽聲音的音調(diào)和音色。2) 依次選擇其他頻率，聆聽聲音的變化。3) 換用不同的弦線，重復以上步驟。*6. 探究弦線的非線性振動1) 設(shè)定一定的張力、線密度、弦長和驅(qū)動頻率，張力不要過大，頻率不宜過高，在示波器上觀察到駐波波形。2) 移動接收傳感器的位置，注意駐波波形有無變化。3) 移動接收傳感器的位置，注意駐波頻率有無變化?！緮?shù)據(jù)處理】1. 張力和弦長一定，測量弦線的共振頻率和橫波的傳播速度。根據(jù)公式10求得的共振頻率計算值，與實驗得到的共振頻率相比較，分析這兩者

18、存在差異的原因。弦長 (cm) 張力 （kg.m/S2） 線密度 (kg/m)波腹位置（cm）波節(jié)位置(cm)波腹數(shù)波長(cm)共振頻率（Hz）頻率計算值傳播速度V=2Lf/n (m/s)2. 張力和線密度一定，改變弦長，測量弦線的共振頻率和橫波的傳播速度 張力 （kg.m/S2） 線密度 (kg/m)弦線長度（cm）波腹位置（cm）波節(jié)位置(cm)波腹數(shù)波長(cm)共振頻率（Hz）傳播速度V=2Lf/n (m/s)作弦長與共振頻率的關(guān)系圖3. 弦長和線密度一定，改變張力，測量弦線的共振頻率和橫波的傳播速度 弦長 (cm) 線密度 (kg/m)張力（kg.m/S2）波腹位置（cm）波節(jié)位置(c

19、m)波腹數(shù)波長(cm)共振頻率（Hz）傳播速度V=2Lf/n (m/s)作張力與共振頻率的關(guān)系圖。根據(jù) 算出波速，這一波速與=2Lf/n（f是共振頻率，是波長）作比較，分析存在差別的原因。作張力與波速的關(guān)系圖。4. 弦長和張力一定，改變線密度，測量弦線的共振頻率和線密度。已知弦線的靜態(tài)線密度（由天平秤稱出單位長度的弦線的質(zhì)量）為：弦線1：0.562g/m；弦線2：1.030g/m；弦線3：1.515g/m。 弦長 (cm) 張力 （kg.m/S2）弦線波腹位置（cm）波節(jié)位置(cm)波腹數(shù)波長(cm)共振頻率（Hz）線密度=T(n/2Lf)2(kg/m)弦線1（0.3）弦線2（0.4）弦線3（

20、0.5）比較測量所得的線密度與上述靜態(tài)線密度有無差別，試說明原因?！咀⒁馐马棥?. 儀器應可靠放置，張力掛鉤應置于實驗桌外側(cè)，并注意不要讓儀器滑落。2. 弦線應可靠掛放，砝碼的懸掛的取放應動作輕小，以免使弦線崩斷而發(fā)生事故?！舅伎碱}】1. 通過實驗，說明弦線的共振頻率和波速與哪些條件有關(guān)？2. 換用不同弦線后，共振頻率有何變化？存在什么關(guān)系？3. 如果弦線有彎曲或者不是均勻的，對共振頻率和駐波有何影響？4. 相同的駐波頻率時，不同的弦線產(chǎn)生的聲音是否相同？5. 試用本實驗的內(nèi)容闡述吉它的工作原理。*6. 移動接收傳感器至不同位置時，弦線的振動波形有何變化？是否依然為正弦波？試分析原因。 附錄1 DH4618型弦振動實驗儀信號源使用說明一、概述 在研究弦振動實驗時，需要功率信號源對弦線進行激勵驅(qū)動，使其產(chǎn)生駐波。本信號源可配合DH4618型弦振動研究實驗儀進行弦振動實驗。儀器的特點是輸出阻抗低，激振信號不易失真，同時頻率穩(wěn)定性好，頻率的調(diào)節(jié)細度和分辨率也足夠小，能很好地找到弦線的共振頻率。 本儀器也可在其它合適的場合作正弦波信號源用。二、主要技術(shù)指標1、環(huán)境條件 使用溫度范圍：535，相對濕度范圍：25%85% 2、電源：交流220V±10%，50Hz。 3、頻率：頻率信號為正弦波，失真度1%。 頻率范圍：頻段I為1