數(shù)學(xué)物理方法總結(jié)(改)

1、數(shù)學(xué)物理方法總結(jié)第一章 復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)的代數(shù)式:z=x+iy復(fù)數(shù)的三角式和指數(shù)式:和歐拉公式:柯西-黎曼方程(或稱為柯西-黎曼條件): (其中f(z)=u+iv)函數(shù)f(z)=u+iv在點(diǎn)及其領(lǐng)域上處處可導(dǎo),則稱f(z)在點(diǎn)解析.在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析,則稱f(z)是在區(qū)域B上的解析函數(shù).解析函數(shù)的性質(zhì):1.若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析,則 (為常數(shù))是B上的兩組正交曲線族. 2.若函數(shù)在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調(diào)和函數(shù),即 例題: 已知某解析函數(shù)f(z)的實(shí)部,求虛部和這個(gè)解析函數(shù).解答: 由于=2;=-2;則曲線積分法 =2x;=-2y.根據(jù)C-R條件有:=2y;=2x.

2、于是 ;湊全微分顯式法 由上式可知 則易得 則顯然 不定積分法 上面已有 =2y;=2x 則第一式對(duì)y積分,x視為參數(shù),有 . 上式對(duì)x求導(dǎo)有 ,而由C-R條件可知 , 從而 .故 v=2xy+C. 第二章 復(fù)變函數(shù)的積分單連通區(qū)域柯西定理 如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域上解析,則沿上任意一分段光滑閉合閉合曲線l(也可以是的邊界),有.復(fù)連通區(qū)域柯西定理 如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù),則 .式中l(wèi)為區(qū)域外邊界線,諸為區(qū)域內(nèi)邊界線,積分均沿邊界線的正方向進(jìn)行.即 .柯西公式 n次求導(dǎo)后的柯西公式 第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù) 其中,都是復(fù)常數(shù).比值判別法(達(dá)朗貝爾判別法) 1.若有則

3、收斂,絕對(duì)收斂.若極限存在,則可引入記號(hào)R,于是,若,則絕對(duì)收斂.2.若,則后項(xiàng)與前項(xiàng)的模之比的極限 ,即說(shuō)明 發(fā)散.例題: 求冪級(jí)數(shù)的收斂圓,z為復(fù)變數(shù).解答: 由題意可得 故 ().泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi) 設(shè)f(z)在以為圓心的圓內(nèi)解析,則對(duì)圓內(nèi)的任意z點(diǎn),f(z)可展為冪級(jí)數(shù),其中,為圓內(nèi)包含z且與同心的圓. 例題: 在的領(lǐng)域上將展開(kāi) 解答: 函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),而. 則在的領(lǐng)域上的泰勒展開(kāi) . 雙邊冪級(jí)數(shù) 洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi) 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析,則對(duì)環(huán)域上的任一點(diǎn)z,f(z)可展為冪級(jí)數(shù).其中 ,積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線. 例題1: 在的環(huán)域上將展為洛朗級(jí)

4、數(shù). 解答: 例題2: 在的領(lǐng)域上將展為洛朗級(jí)數(shù). 解答: 由題意得 則有z-1的-1次項(xiàng),而 () 故 .第四章 留數(shù)定理留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn),解析,在閉區(qū)域上除, 外連續(xù),則 . 其中,.推論1: 單極點(diǎn)的留數(shù)為.推論2: 若f(z)可以表示為P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在點(diǎn)解析,是Q(z)的一階零點(diǎn)().,則 . 上式最后一步應(yīng)用了羅畢達(dá)法則.留數(shù)定理的應(yīng)用類型一 .作自變量代換 .則式子變?yōu)? 例題: 計(jì)算 . 解答: , Z的單極點(diǎn)為. 則, 由于不在圓內(nèi).故 . 類型二 .積分區(qū)間是;復(fù)變函數(shù)f(z)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)

5、,在上半平面除了有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的;當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上時(shí),zf(z)一致地.則式子可以變?yōu)?f(z)在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和. 例題: 計(jì)算 . 解答: 的單極點(diǎn)為. ,故. 類型三 ,積分區(qū)間是;偶函數(shù)F(x)和奇函數(shù)G(x)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn),在上半平面除了有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的;當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上,F(z)及G(z)一致地.則式子可以變?yōu)?; . 若類型二,類型三的實(shí)軸上有有限個(gè)奇點(diǎn),則有 . 其中,在類型三中f(x)應(yīng)理解為或.第五章 Fourier變換傅里葉級(jí)數(shù) 周期為2l的函數(shù)f(x)可以展開(kāi)為級(jí)數(shù) . 其中, =.注: 積分上下限只要滿足 上-下=2l 即可.復(fù)數(shù)形式的

6、傅里葉級(jí)數(shù) 其中 .傅里葉積分 傅里葉變換式 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 傅里葉變換的性質(zhì)(1) 導(dǎo)數(shù)定理 Ff(x)=iwF(w)(2) 積分定理 F=(3) 相似性定理 Ff(ax)=(4) 延遲定理 F=(5) 位移定理 F=(6) 卷積定理 若F=,F=,則 F*=. 其中稱為和的卷積.函數(shù).函數(shù)的一些性質(zhì)1. 是偶函數(shù).2. .3.第六章 Laplace變換拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的一些性質(zhì)(1) 線性定理 若,則 .(2) 導(dǎo)數(shù)定理 .(3) 積分定理 L.(4) 相似性定理 .(5) 位移定理 .(6) 延遲定理 .(7) 卷積定理 若,則 , 其中稱為和的卷積.第七章 數(shù)學(xué)物理定解

7、問(wèn)題(1) 均勻弦的微小振動(dòng),均勻桿的縱振動(dòng),傳輸線方程,均勻薄膜的微小橫振動(dòng),流體力學(xué)與聲學(xué)方程,電磁波方程的形式為或或.(2) 擴(kuò)散方程,熱傳導(dǎo)方程的形式為或.(3) 穩(wěn)定濃度分布,穩(wěn)定溫度分布,靜電場(chǎng),穩(wěn)定電流場(chǎng)方程的形式為(拉普拉斯方程).(4) 以上方程中意為,意為.若以上各方程均為有源,則方程為 各方程=f(x,y,z,t).定解條件初始條件 初始”位移” , 初始”速度” .邊界條件 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 銜接條件 .(T為張力)達(dá)朗貝爾公式 定界問(wèn)題達(dá)朗貝爾公式 . 其中,.第八章 分離變數(shù)法泛定方程 (若該方程可以使用分離變量法,則可以化成).在不同

8、的邊界條件下解不同.邊界條件(1) , X(x)的解為 其中 n=1,2,3(2) , X(x)的解為 其中 k=0,1,2(3) , X(x)的解為 其中 k=0,1,2(4) , X(x)的解為 其中 n=0,1,2T(t)的方程在有n且n=0時(shí)的解為 ;在時(shí)的解為;在有k的情況下為.初始條件 將u(x,t)=T(t)X(x)帶入初始條件,確定u(x,t)中的常數(shù)項(xiàng).歐拉型常微分方程 . 解法為做代換.第九章 二階常微分方程級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題拉普拉斯方程 (1) 球坐標(biāo)系下 .分解為 其解為 .和 (球方程,)球方程又可以分離為 其中有 ,其方程解為 其中 m=0,1,2和 (連帶勒讓德方程).(2) 柱坐標(biāo)系下 .分解為 其中有 ,其方程解為 其中 m=0,1,2和 和 .當(dāng)時(shí),Z=C+Dz,;當(dāng)時(shí),方程R轉(zhuǎn)換為(,m階貝塞爾方程). 當(dāng)時(shí),方程R轉(zhuǎn)換為 (,m階虛宗量貝塞爾方程). 亥姆霍茲方程 . 在的領(lǐng)域上l階勒讓德方程的解為 其中 第十章 球函數(shù)高次項(xiàng)的系數(shù) (在乘以適當(dāng)?shù)某?shù)之后),用遞推公式改寫后為,則 .則勒讓德多項(xiàng)式為 .=.勒讓德多項(xiàng)式是正交的例