曹廣福版實(shí)變函數(shù)與泛函分析第四章答案

1、第四章習(xí)題參考解答第四章習(xí)題參考解答1設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對于上的任意可測子集，有，試證：， 證明：因?yàn)?，而?由已知， .又因?yàn)椋裕?故,從而.即，.2.設(shè)，都是上的非負(fù)可測函數(shù)，并且對任意常數(shù)，都有，試證：，從而，.證明：我們證，是同一個簡單函數(shù)序列的極限函數(shù).及，令，并且.則是互不相交的可測集，并且，定義簡單函數(shù).下面證明：，.,若，則，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時,.故，存在，.即，.所以，從而，.同理，定義簡單函數(shù)列，其中：，.同上一樣可證明：，.因?yàn)?，?故，.從而，有.即，.因此.3.若，計(jì)算.解：設(shè)為有理數(shù)，則.4.設(shè)是中個可測集，若內(nèi)每一點(diǎn)至少屬于個集中的個集，證明：

2、中至少有一個測度不小于.證：令，其中為上的特征函數(shù)，有，所以.如果每個，則.這與矛盾.從而，使得.5.設(shè)，都是上的可積函數(shù)，試證明：也是上可積函數(shù).證明：（1）先證：設(shè)與都是上的可測函數(shù)且 ，若在可積，則在可積.事實(shí)上，因?yàn)?，故，即，其中：，.從而是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故：.又因?yàn)閱握{(diào)遞增有上界，所以存在，并且，即.所以在可積.（2）再證：在上可積.事實(shí)上，因?yàn)?，在上可積，所以與在上可積，從而+在上可積.又因?yàn)?，由?）。在上可積.6.設(shè)，是上的非負(fù)可測函數(shù)，試證明：.證明：，因?yàn)?，所以，?又因?yàn)?，由積分的絕對連續(xù)性（即，P103，定理4）.,使得對于任何可測集，恒有.對于，由，得，存在

3、，時，有，從而.7.設(shè)為可測集，且，為上的非負(fù)可測函數(shù)，試證: 在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)收斂.證：設(shè)，因?yàn)樵诳煞e，故.即，級數(shù)收斂.,因?yàn)?，又?因?yàn)椋?從而，在上可積.8.設(shè)是上的可積函數(shù)，證明：.證明：（1）先證：，存在時直線上的連續(xù)函數(shù)，使得.對于，記： . 則：. 則 + =.因?yàn)樵谑强煞e的，故，使，時，恒有，又因?yàn)槭菃握{(diào)的集列，并且.從而，.所以，對于，使得.對于，取，由連續(xù)擴(kuò)張定理（第10頁，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得（i）（ii） (iii) 則 ，從而.(2)再證：，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以使得，時，恒有，+.因?yàn)闀r，有，故.所以.故

4、.9.設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù)，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得.證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時，存在，使得，不妨設(shè).先證：在上連續(xù)，因?yàn)?，由積分的絕對連續(xù)性（P85，定理4），有.故，因，故.所以，.同理，對于，用上述完全類似方法可得.故，在上連續(xù).又因?yàn)椋ǜ鶕?jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），使得，有.10.設(shè)是上的可測函數(shù)，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，即.如果對任意，都有，試證.11，試證：（i）.(ii) .證明：（i）時，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時：；當(dāng)時：.令，從而，且在是可積的，故在是可積的.又因?yàn)?由控制收斂定理，.(ii),定義，并且，.,有.

5、下面證明：，.事實(shí)上，令，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，且.故，有，即.故在單調(diào)增加，從而， .所以.因此，.因?yàn)樵谏峡煞e，由控制收斂定理，.12.設(shè)，試證明：在上當(dāng)且僅當(dāng).證明：，因?yàn)?因?yàn)椋ㄔ谏希?，所以?.故在上，.又因?yàn)?，且，由有界收斂定理，?對于，因.故，.從而.即.4.2 積分極限定理一定理（非負(fù)可測函數(shù)序列的積分與極限可交換性）二控制收斂定理.定理4（定理的絕對連續(xù)性定理）若在上可積，則，：，有.證明：因?yàn)榭煞e，所以可積（只需證：，），.,.又因?yàn)?所以，使.要找，使，有.定理5（控制收斂定理）設(shè)（i），是上可測函數(shù)序列. (ii) 存在非負(fù)可積函數(shù)使得， . (ii

6、i) ,.則在上可積，并且.基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)Th（P60，定理4） Th（P61，定理5） 存在子列 控制收斂定理的證明：因?yàn)?，?Th，存在子列 .因此，在上可測.又因?yàn)椋?，所以 ，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.（1）先證：時，有.,記.則.因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對連續(xù)性，使，有.又因?yàn)?，所以，時，有.故.從而.即，.（2）再證：時，也有.,因?yàn)?，所以，?則.因?yàn)椋ㄓ?的證明），所以，有.即，.從而，推論（有界收斂定理）.設(shè)（i）（ii），（常數(shù)）且在上可測（iii）則在上可積，且.定理6. 在上可積在上的間斷點(diǎn)集是一個零測集.三定理.定義1.設(shè)是可測集，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對連續(xù)函數(shù)簇，如果，恒有.基本性質(zhì)：設(shè)是可測集，是上的一簇可積函數(shù)，則在上是積分等度絕對連續(xù)的，恒有.證明：，因?yàn)樵谏鲜欠e分等度絕對連續(xù)，所以，有.記，則且.所以，.直接的.定理7.(定理).設(shè)（i）.（ii）是上積分等度絕對連續(xù)函數(shù)簇.（iii）.則在上可積，且.證明：先證：在上可積.(找一個可積函數(shù)，使得 （1）先證：，使得，恒有.事實(shí)上，取，由在上積分等度絕對連續(xù)性，使得，時， ，.記，則.因?yàn)?，所?所以對于， ，恒有，則時，.所以.即（1）為真.又因?yàn)?，由定理，有子列使?.不失一般性，設(shè)，于是， .令.(2)再證： 且.事實(shí)上， 由基本定理（第82頁，定理2），有.