數(shù)學(xué)建模初等模型

1、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)黑龍江科技學(xué)院理學(xué)院黑龍江科技學(xué)院理學(xué)院工程數(shù)學(xué)教研室工程數(shù)學(xué)教研室第二章第二章 初等模型初等模型 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院線性代數(shù)模型線性代數(shù)模型初等模型初等模型第二章極限、最值、積分問題的初等模型極限、最值、積分問題的初等模型經(jīng)濟問題中的初等模型經(jīng)濟問題中的初等模型重點重點:各種簡單的初等模型各種簡單的初等模型難點難點:簡單初等模型的建立和求解簡單初等模型的建立和求解生活中的問題生活中的問題 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院建模舉例建模舉例2.1 生活中的問題生活中的問題2.1.1

2、 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。只腳同時著地。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子

3、位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離xBADCOD C B A 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的

4、關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，

5、對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因為因為f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評注和思考評注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子 和和 f( ),

6、 g( )的確定的確定 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 2.1.2 分蛋糕問題分蛋糕問題妹妹過生日，媽媽做了一塊邊界形狀任意的妹妹過生日，媽媽做了一塊邊界形狀任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指著蛋糕上的一點蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指著蛋糕上的一點對哥哥說，你能過這一點切一刀，使得切下對哥哥說，你能過這一點切一刀，使得切下的兩塊蛋糕面積相等，就把其中的一塊送給的兩塊蛋糕面積相等，就把其中的一塊送給你。哥哥利用高等數(shù)學(xué)知識解決了這個問題，你。哥哥利用高等數(shù)學(xué)知識解決了這個問題，你知道他用的是什么辦法嗎？你知道他用的是什么辦法嗎？問題歸結(jié)為如下一道證明題：問題歸結(jié)為如下一道證明題：

7、已知平面上一條已知平面上一條沒有交叉點沒有交叉點的的封閉曲線，封閉曲線，P是曲線所圍圖形上是曲線所圍圖形上任一點，求證：一定存在一條過任一點，求證：一定存在一條過P的直線，將這圖形的面積二等的直線，將這圖形的面積二等分。分。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院只證明了直線的存在性，只證明了直線的存在性，你能找到它么？你能找到它么？P?PS1S2l若若S1 S2 不妨設(shè)不妨設(shè)S1S2(此時此時l與與x軸正向的夾角記為軸正向的夾角記為 ) 0以點以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將為旋轉(zhuǎn)中心，將l按逆時按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，面積針方向旋轉(zhuǎn)，面積S1，S2就就連連續(xù)依賴于續(xù)依賴于角角 的變化，記為的變

8、化，記為 21,SS 21SSf令：令：而而 在在 上連續(xù)，且上連續(xù)，且 f00,010200fSS010200fSS由零點定理得證由零點定理得證。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 2.1.3出租車收費問題出租車收費問題某城市出租汽車收費情況如下：起價某城市出租汽車收費情況如下：起價10元元（4km以內(nèi)），行以內(nèi)），行程不足程不足15km，大于等于，大于等于4km部分，每公里車費部分，每公里車費1.6元元；行程；行程大于等于大于等于15km部分，每公里車費部分，每公里車費2.4元元。計程器每。計程器每0.5km記記一次價。一次價。 例如，當(dāng)行駛路程例如，當(dāng)行駛路程x（km

9、）滿足）滿足12x12.5時，按時，按12.5km計價；當(dāng)計價；當(dāng)12.5 x13時，按時，按13km計價；計價； 例如，等候時間例如，等候時間t(min)滿足滿足 2.5t5時，按時，按2.5min計價收費計價收費0.8元；元；當(dāng)當(dāng)5t0為比例常數(shù)為比例常數(shù))。1.建立細菌繁殖的數(shù)學(xué)模型。建立細菌繁殖的數(shù)學(xué)模型。2.假設(shè)一種細菌的個數(shù)按指數(shù)方式增長，下表是收集到的假設(shè)一種細菌的個數(shù)按指數(shù)方式增長，下表是收集到的近似數(shù)據(jù)。近似數(shù)據(jù)。天數(shù)天數(shù)細菌個數(shù)細菌個數(shù)5936102190 由于細菌的繁殖時連續(xù)變化的，由于細菌的繁殖時連續(xù)變化的，在很短的時間內(nèi)數(shù)量變化得很小，在很短的時間內(nèi)數(shù)量變化得很小，繁

10、殖速度可近似看做不變。繁殖速度可近似看做不變。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院解解:建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型將時間間隔將時間間隔t分成分成n等分，在第一段時間等分，在第一段時間 內(nèi)，細菌繁殖的數(shù)內(nèi)，細菌繁殖的數(shù)量為量為 ，在第一段時間末細菌的數(shù)量為，在第一段時間末細菌的數(shù)量為 ，同樣，同樣，第二段時間末細菌的數(shù)量為第二段時間末細菌的數(shù)量為 ；以此類推，最后一段；以此類推，最后一段時間末細菌的數(shù)量為時間末細菌的數(shù)量為 ，經(jīng)過時間，經(jīng)過時間t后，細菌的總數(shù)是后，細菌的總數(shù)是nt，0ntkA0ntkA 10201ntkAnntkA10ktnneAntkA001limkteAy0

11、設(shè)細菌的總數(shù)為設(shè)細菌的總數(shù)為y,則所求的數(shù)學(xué)模型為：則所求的數(shù)學(xué)模型為： 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院現(xiàn)在要求設(shè)計一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為現(xiàn)在要求設(shè)計一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為128平方分米，上下空白個平方分米，上下空白個2分米，兩邊空白個分米，兩邊空白個1分米，如何分米，如何確定海報尺寸可使四周空白面積為最?。看_定海報尺寸可使四周空白面積為最??？8128422442xxyxs最小最小令此式對令此式對x的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為0，解得：，解得：x=16,此時此時y=8,可使空白面積可使空白面積最小。最小。其中其中0 s這個問題可用求一元函數(shù)最值的方

12、法解決這個問題可用求一元函數(shù)最值的方法解決x21y 思考思考：若海報改為左右兩欄，橫：若海報改為左右兩欄，橫向粘貼，印刷面積為向粘貼，印刷面積為180平方分米，平方分米，要求四周留下空白寬要求四周留下空白寬2分米，留分米，留1分米分米寬豎直中縫。如何設(shè)計它的尺寸使總寬豎直中縫。如何設(shè)計它的尺寸使總空白面積最小空白面積最小? 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上等水平的工人早上8：00開始工作，在開始工作，在t小時之后，生產(chǎn)出小時之后，生產(chǎn)出 Q(t)=-t3+9t2

13、+12t 個晶體管收音機。個晶體管收音機。問：在早上幾點鐘這個工人的工作效率最高？問：在早上幾點鐘這個工人的工作效率最高？工人上班效率問題工人上班效率問題工作效率最高，即生產(chǎn)率最大，工作效率最高，即生產(chǎn)率最大，此題中，工人在此題中，工人在t t時刻的生產(chǎn)率時刻的生產(chǎn)率為產(chǎn)量為產(chǎn)量Q Q關(guān)于時間關(guān)于時間t t的變化率：的變化率：Q(tQ(t) )，則問題轉(zhuǎn)化為求，則問題轉(zhuǎn)化為求Q(tQ(t) )的最大值的最大值解：工人的生產(chǎn)率為解：工人的生產(chǎn)率為 0186 ttQtR 121832tttQtR比較比較R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知知t=3時，即上午時，即上午11：00，工人的

14、工作效率最高。工人的工作效率最高。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 一個小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當(dāng)?shù)嘏埔粋€小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當(dāng)?shù)嘏谱舆M價每聽子進價每聽30美分，外地牌子的進價每聽美分，外地牌子的進價每聽40美分。店主估計，美分。店主估計，如果當(dāng)?shù)嘏谱拥拿柯犢u如果當(dāng)?shù)嘏谱拥拿柯犢ux美分，外地牌子賣美分，外地牌子賣y美分，則每天可美分，則每天可賣出賣出70-5x+4y聽當(dāng)?shù)嘏谱拥墓?，聽?dāng)?shù)嘏谱拥墓?0+6x-7y聽外地牌子的果聽外地牌子的果汁。汁。問：問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取

15、得最大收益？收益？最大利潤問題最大利潤問題想一想高等數(shù)學(xué)中二想一想高等數(shù)學(xué)中二元函數(shù)求最值的方法元函數(shù)求最值的方法解：解：每天的總收益為二元函數(shù)：每天的總收益為二元函數(shù)： yxyyxxyxf768040457030,0 xf令令 ， ，則有駐點，則有駐點x=53,y=55判斷可知判斷可知（53，55）為最大值點。為最大值點。0yf 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院一零售商收到一船共一零售商收到一船共10000公斤大米，這批大米以常量每月公斤大米，這批大米以常量每月2000公斤運走，要用公斤運走，要用5個月個月 時間，如果貯存費是每月每公斤時間，如果貯存費是每月每公斤0.01

16、元，元，5個月之后這位零售商需支付貯存費多少元？個月之后這位零售商需支付貯存費多少元？商品的貯存費問題商品的貯存費問題將區(qū)間將區(qū)間0t5分為分為n個等距的小區(qū)間，任取第個等距的小區(qū)間，任取第j個小區(qū)間個小區(qū)間【tj,tj+1】，區(qū)間長度為】，區(qū)間長度為tj+1-tj=t，在這個小區(qū)間中，在這個小區(qū)間中， 每公斤貯存費用每公斤貯存費用=0.01 t 第第j個小區(qū)間的貯存費個小區(qū)間的貯存費=0.01 Q(tj)t 總的貯存費總的貯存費= njjttQ101.0由定積分定義：由定積分定義： 總貯存費總貯存費= 元25020001000001. 001. 01050dttdttQ解解 ：令令Q(t)表

17、示表示t個月后貯存大米的公斤數(shù)，則個月后貯存大米的公斤數(shù)，則 Q(t)=10000-2000t 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內(nèi)平某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內(nèi)平均車連行駛速度，數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明：一個普通工作日的下午均車連行駛速度，數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明：一個普通工作日的下午1：00至至6：00之間，次口在之間，次口在t時刻的平均車輛行駛速度為：時刻的平均車輛行駛速度為： S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，試計算下午左右，試計算下午1：00至至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？內(nèi)的平均車輛行駛速度？

18、車輛平均行駛速度問題車輛平均行駛速度問題解解 ：平均車輛行駛速度為平均車輛行駛速度為 hkmdttttdtts/5 .784060212161161612361此題是求函數(shù)此題是求函數(shù)s(ts(t) )在區(qū)間在區(qū)間【1 1，6 6】內(nèi)的平均值】內(nèi)的平均值 一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，等于函數(shù)在此區(qū)的平均值，等于函數(shù)在此區(qū)間上的定積分除以區(qū)間長度。間上的定積分除以區(qū)間長度。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為q,產(chǎn)品價格為產(chǎn)品價格為p,固定成本固定成本c0，可變成，可變成本為本為c1.2.5 經(jīng)濟問題中的初等模型經(jīng)濟問題中

19、的初等模型（1） 總成本函數(shù)總成本函數(shù)：（2） 供給函數(shù)供給函數(shù)：（3） 需求函數(shù)需求函數(shù)：（4） 價格函數(shù)價格函數(shù)： qccqcc10 pfsQ pg0Q qpQfp01 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 qCqRqL qCCm qRRm mmmCRqCqRL（5） 收益函數(shù)收益函數(shù)：（6） 利潤函數(shù)利潤函數(shù)：（7） 邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)：（8） 邊際收益函數(shù)：邊際收益函數(shù)：（9） 邊際利潤函數(shù)：邊際利潤函數(shù)： qqpqRR 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院例例1 某品牌收音機每臺售價某品牌收音機每臺售價90元，成本為元，成本為60元，廠家為鼓勵元

20、，廠家為鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多臺以上的，每多訂購一臺，售價就降低訂購一臺，售價就降低1分（例如某商行訂購分（例如某商行訂購300臺，訂購量臺，訂購量比比100臺多臺多200臺，于是每臺就降價臺，于是每臺就降價0.01200=2元，商行可元，商行可按每臺按每臺88元的價格購進元的價格購進300臺）。但最低價格為臺）。但最低價格為75元元/臺。臺。（1）建立訂購量）建立訂購量x與每臺的實際售價與每臺的實際售價p的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。（2）建立利潤）建立利潤L與訂購量與訂購量x的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。（3）當(dāng)一商行訂購了）當(dāng)一商

21、行訂購了1000臺時，廠家可獲利潤多少？臺時，廠家可獲利潤多少？據(jù)此不難將售價與訂購量歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：據(jù)此不難將售價與訂購量歸納為如下的數(shù)學(xué)模型： 160075160010001.01009010090 xxxxp 當(dāng)當(dāng)x100時，每臺售價時，每臺售價90元；當(dāng)訂元；當(dāng)訂購量超過購量超過1600臺時，每臺售價臺時，每臺售價75元；元；當(dāng)訂購量在當(dāng)訂購量在100到到1600臺之間時，每臺之間時，每臺售價為臺售價為90-(x-100) 0.01每臺利潤是實際售價每臺利潤是實際售價p與成本與成本60元之差，所以元之差，所以 L=(p-60)x 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)

22、院例例2 2 一房地產(chǎn)公司有一房地產(chǎn)公司有5050套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180180元時，公寓會全部租出去，當(dāng)租金每月增加元時，公寓會全部租出去，當(dāng)租金每月增加1010元時，就有一元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費2020元的整修維元的整修維護費。護費。（1 1）建立總收入）建立總收入R與租金與租金x之間的數(shù)學(xué)模型。之間的數(shù)學(xué)模型。（2 2）當(dāng)房租定為多少時可獲得最大收入？）當(dāng)房租定為多少時可獲得最大收入？解解：（1）建立數(shù)學(xué)模型：建立數(shù)學(xué)模型：106820101805020 xxxxR （2）求求R的

23、最大值。的最大值。 0101201068xxxR得得x=350(元元/月月) 總收入總收入R等于租出的公寓數(shù)等于租出的公寓數(shù)50-(x-180) /10)乘以每套公寓的純利乘以每套公寓的純利潤潤x-20 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院例例3 某不動產(chǎn)商行能以某不動產(chǎn)商行能以5%的年利率借得貸款，然后它又把的年利率借得貸款，然后它又把此款貸給顧客。若他能貸出的款額與他貸出的利率的平方成此款貸給顧客。若他能貸出的款額與他貸出的利率的平方成反比（利率太高無人借貸）。反比（利率太高無人借貸）。(1)建立年利率建立年利率x與利潤與利潤p間的數(shù)學(xué)模型。間的數(shù)學(xué)模型。(2)當(dāng)以多大的年

24、利率貸出時，能使商行獲得利潤最大？當(dāng)以多大的年利率貸出時，能使商行獲得利潤最大？解解 (1) 貸出的款額為貸出的款額為k/x2,k0為常數(shù)，商行可獲得利潤：為常數(shù)，商行可獲得利潤：205. 0 xkxp(2)下面求當(dāng)下面求當(dāng)x取何值時，取何值時，p最大。最大。 0 xp得得x=0.1,即貸出年利率為即貸出年利率為10%時，商行獲得利潤最大。時，商行獲得利潤最大。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 例例1 人、狗、雞、米過河問題人、狗、雞、米過河問題 這是一個人所共知而又十分簡單的智力游戲。某人要帶狗、這是一個人所共知而又十分簡單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過河，但小船除需

25、要人劃外，最多只能載一物過河，雞、米過河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過河，而當(dāng)人不在場時，狗要咬雞、雞要吃米，問此人應(yīng)如何過河。而當(dāng)人不在場時，狗要咬雞、雞要吃米，問此人應(yīng)如何過河。在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時相應(yīng)分量為在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時相應(yīng)分量為1，而在彼岸時則取而在彼岸時則取 為為0，例如，例如（1,0,1,0）表示人和雞在此岸，表示人和雞在此岸，而狗和米則在對岸。而狗和米則在對岸。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院（i）可取狀態(tài)可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如（0,1,1

26、,0）就是一個不可取的狀態(tài)。本題中可取狀態(tài)（即系）就是一個不可取的狀態(tài)。本題中可取狀態(tài)（即系統(tǒng)允許的狀態(tài)）可以用窮舉法列出來，它們是：統(tǒng)允許的狀態(tài)）可以用窮舉法列出來，它們是：（ii）可取運算可取運算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運算來實現(xiàn)。在實際問：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運算來實現(xiàn)。在實際問題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個四維題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個四維向量（轉(zhuǎn)移向量），用它來反映擺渡情況。例如向量（轉(zhuǎn)移向量），用它來反映擺渡情況。例如 （1，1，0，0）表示人帶狗擺渡過河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量）表示人帶狗擺渡過河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有（只能有（1，0

27、，0，0，）、（，）、（1，1，0，0）、）、（1，0，1，0）、（）、（1，0，0，1）四個。）四個。人在此岸人在此岸 人在對岸人在對岸(1，1，1，1) (0，0，0，0)(1，1，1，0) (0，0，0，1)(1，1，0，1) (0，0，1，0)(1，0，1，1) (0，1，0，0)(1，0，1，0) (0，1，0，1) 總共有十個可取總共有十個可取狀態(tài)，對一般情況，狀態(tài)，對一般情況，應(yīng)找出狀態(tài)為可取應(yīng)找出狀態(tài)為可取的充要條件。的充要條件。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 在具體轉(zhuǎn)移時，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問題在具體轉(zhuǎn)移時，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的

28、轉(zhuǎn)移。問題化為：化為： 由初始狀態(tài)（由初始狀態(tài)（1，1，1，1）出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運算轉(zhuǎn)化為）出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運算轉(zhuǎn)化為（0，0，0，0）的轉(zhuǎn)移過程。）的轉(zhuǎn)移過程。我們可以如下進行分析我們可以如下進行分析 ：（第一次渡河）（第一次渡河）( (不不可可取取) )( (不不可可取取) )( (可可取取) )( (不不可可取取) ) ( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (0 0, ,0 0, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0)

29、)( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) ) 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院（第二次渡河）（第二次渡河）( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (可可取取) )( (不不

30、可可取取) ) )回回到到原原先先出出現(xiàn)現(xiàn)過過的的狀狀態(tài)態(tài)( (循循環(huán)環(huán), ,( (不不可可取取) ) ( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )以下可繼續(xù)進行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實現(xiàn)。上述分析實際以下可繼續(xù)進行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實現(xiàn)。上述分析實際上采用的是窮舉法，對于規(guī)模較大的問題是不宜采用的。上采用的是窮舉法，對于規(guī)模較大的問題是不宜采用的。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院這是一個古老的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)問

31、題。有三對夫妻要這是一個古老的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)問題。有三對夫妻要過河，船最多可載兩人，約束條件是根據(jù)阿拉伯過河，船最多可載兩人，約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不場的情況下與其法律，任一女子不得在其丈夫不場的情況下與其他男子在一起，問此時這三對夫妻能否過河？他男子在一起，問此時這三對夫妻能否過河？這一問題的狀態(tài)和運算與這一問題的狀態(tài)和運算與前一問題有所不同，根據(jù)前一問題有所不同，根據(jù)題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩岸的男女人數(shù)，過河也同岸的男女人數(shù)，過河也同 樣要反映出性別樣要反映出性別 故可如下定義：故可如下定義： （i）可取狀態(tài)可取狀態(tài)： 用用H和和W分別表示此岸的男子

32、和女子分別表示此岸的男子和女子數(shù)，狀態(tài)可用矢量數(shù)，狀態(tài)可用矢量 （H，W）表示，其中表示，其中0H、W3?？扇顟B(tài)為（。可取狀態(tài)為（0,i），），(i,i)，(3,i)，0i3。(i,i)為可取狀態(tài)，這是因為總可以適當(dāng)安排而使他為可取狀態(tài)，這是因為總可以適當(dāng)安排而使他們是們是 i對夫妻。對夫妻。 （ii）可取運算可取運算：過河方式可以是一對夫妻、兩個男人或兩個女人，過河方式可以是一對夫妻、兩個男人或兩個女人，當(dāng)然也可以是一人過河。轉(zhuǎn)移向量可取成當(dāng)然也可以是一人過河。轉(zhuǎn)移向量可取成 (1)im,(1)in)，其中其中m、n可取可取0、1、2，但必須，但必須滿足滿足1m+n2。當(dāng)。當(dāng)j為奇數(shù)時表示

33、過河。為奇數(shù)時表示過河。 當(dāng)當(dāng)j為偶為偶數(shù)時表示由對岸回來，運算規(guī)則同普通向量的加數(shù)時表示由對岸回來，運算規(guī)則同普通向量的加法。法。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 問題歸結(jié)為由狀態(tài)問題歸結(jié)為由狀態(tài) (3,3)經(jīng)經(jīng)奇數(shù)次奇數(shù)次可取運算，即由可取狀可取運算，即由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化 為為(0,0)的轉(zhuǎn)移問題。和上題一樣，的轉(zhuǎn)移問題。和上題一樣，我們既可以用計算機求解，也可以分析求解，此外，本題還我們既可以用計算機求解，也可以分析求解，此外，本題還可用可用作圖作圖方法來求解。方法來求解。在在HW平面坐標(biāo)中，以平面坐標(biāo)中，以 “”表示可取狀態(tài)，

34、表示可取狀態(tài)， 從從A(3,3)經(jīng)奇數(shù)經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到次轉(zhuǎn)移到 達達O(0,0)。奇數(shù)次。奇數(shù)次轉(zhuǎn)移時向左或下移轉(zhuǎn)移時向左或下移 動動1-2格而落格而落在一個可取狀態(tài)上，在一個可取狀態(tài)上，偶數(shù)次偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時向右或上移轉(zhuǎn)移時向右或上移 動動1-2格而落在格而落在一個可取狀態(tài)上。為了區(qū)分起見一個可取狀態(tài)上。為了區(qū)分起見 ,用用紅紅箭線表示箭線表示奇奇數(shù)次轉(zhuǎn)移，數(shù)次轉(zhuǎn)移，用用藍藍箭線表示第箭線表示第偶偶數(shù)數(shù) 次轉(zhuǎn)移次轉(zhuǎn)移,下圖給出了一種可實現(xiàn)的方案下圖給出了一種可實現(xiàn)的方案 , 故故 A(3,3)O(0,0)HW這這三三對夫妻是可以過河的對夫妻是可以過河的 。假如按。假如按這樣的方案過這樣的方案過 河

35、河,共需經(jīng)過共需經(jīng)過十一十一次擺次擺渡。渡。 不難看出不難看出 ,在上述規(guī)則下在上述規(guī)則下,4對夫妻就無法過對夫妻就無法過河了河了,讀者可以自行證明之讀者可以自行證明之.類似可以討論船類似可以討論船每次可載三人的情況每次可載三人的情況,其結(jié)果其結(jié)果 是是5對夫妻是對夫妻是可以過河的可以過河的,而而六六對以上時就對以上時就 無法過河無法過河了。了。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如每種基因型的概率，如 表所示。表所示。 在常染色體遺傳中，后代從每個親體

36、的基因?qū)χ懈骼^承一在常染色體遺傳中，后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因時，基因?qū)σ卜Q為基因型。如果個基因，形成自己的基因時，基因?qū)σ卜Q為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基我們所考慮的遺傳特征是由兩個基 因因A和和a控制的，（控制的，（A、a為表示兩類基因的符號）那么就有三種基因?qū)?，記為為表示兩類基因的符號）那么就有三種基因?qū)?，記為AA，Aa，aa。 1000aa010Aa0001AA后后代代基基因因型型aaaaAaaaAaAaAAaaAAAaAAAA父體父體母體的基因型母體的基因型雙親隨機結(jié)合的較一般模型相對比較復(fù)雜，這些我們僅研究雙親隨機結(jié)合的較一般模型相對比較復(fù)

37、雜，這些我們僅研究一個較簡單的特例一個較簡單的特例 。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院例例4.8 農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型 為為AA,Aa和和aa。農(nóng)場計劃采用。農(nóng)場計劃采用 AA型的植物與每種基因型植物型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？（a）假設(shè)假設(shè)：令：令n=0,1,2,。（i）設(shè)設(shè)an,bn和和cn分別表示第分別表示第n代植物中，基因型代植物中，基因型 為為AA,Aa和和

38、aa的植物占植物總數(shù)的百分比的植物占植物總數(shù)的百分比 。令。令x (n)為第為第n代植物的基因型分代植物的基因型分布：布： nnnncbax)(當(dāng)當(dāng)n=0時時 000)0(cbax表示植物基因型的表示植物基因型的初始分布（即培育初始分布（即培育開始時的分布）開始時的分布）例例3 農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型 為為AA,Aa和和aa。農(nóng)場計劃采用。農(nóng)場計劃采用 AA型的植物與每種基因型植物相型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后， 這這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？種植物的任一代的三種

39、基因型分布情況如何？ 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院（b）建模建模根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第先考慮第n代中的代中的AA型。由于第型。由于第n1代的代的AA型與型與AA型結(jié)合。后代全部是型結(jié)合。后代全部是AA型；第型；第n1代的代的Aa型與型與AA型結(jié)合，后代是型結(jié)合，后代是AA型的可能性為型的可能性為 1/2，而，而 第第n1代的代的aa型與型與AA型結(jié)合，后代不可能型結(jié)合，后代不可能 是是AA型。因此當(dāng)型。因此當(dāng)n=1,2時時1110211 nnnncbaa1121 nnnbaa即即類似可推出類似可推出1121 nnncbbcn=0 顯然有顯然有（ii）第第n代

40、的分布與代的分布與 第第n1代的分布之間的關(guān)系是通過表確代的分布之間的關(guān)系是通過表確定的。定的。1000 cba(2)(3)(4) 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院(1)將將（2）、（）、（3）、（）、（4）式相加，得式相加，得111 nnnnnncbacba根據(jù)根據(jù)假設(shè)假設(shè)(I)，可遞推得出：可遞推得出：1000 cbacbannn對于對于(2)式式.(3)式和式和(4)式，我們采用矩陣形式簡記為式，我們采用矩陣形式簡記為, 2 , 1,)1()( nMxxnn其中其中 nnnncbaxM)(,00012100211（注：這里注：這里M為轉(zhuǎn)移矩陣的位置）為轉(zhuǎn)移矩陣的位置）

41、 (5) 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院由由（5）式遞推，得式遞推，得)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn (6)（6）式給出第式給出第n代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。為了計算出為了計算出Mn，我們將，我們將M對角化，即求出可逆矩對角化，即求出可逆矩 陣陣P和對角和對角庫庫D，使，使 M=PDP-1因而有因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,其中其中 nnnnD321321000 這里這里 ， ， 是矩是矩 陣陣M的三個特征值。對于的三個特征值。對于 (5)式中式中的的M，易求得它的特征值和特征向量：，易求得它的特征值和特征

42、向量： =1， =1/2， =01 2 3 1 2 3 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院因此因此 121 011 001,0000210001321eeeD所以所以 100210111321eeeP通過計算，通過計算，P-1=P，因此有，因此有)0(1)(xPPDxnn 000 100210111 0000210001 100210111cban 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院即即 00011)( 000212102112111cbacbaxnnnnnnnn 021212121010010000cbcbcbannnn 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建

43、模模 理學(xué)院理學(xué)院所以有所以有 0212121211010010nnnnnnnccbbcba當(dāng)當(dāng) n時，時，021 n，所以從（，所以從（7）式得到）式得到0, 0, 1nnncba即在極限的情況下，培育的植物都即在極限的情況下，培育的植物都 是是AA型。型。若在上述問題中，不選用基若在上述問題中，不選用基 因因AA型的植物與每一植物結(jié)合，型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如因型的概率如 表所示。表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后后代代基基因因型型aaaaAaAaAAAA父體父

44、體母體的基因型母體的基因型 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院（7）并且并且)0()(xMxnn ，其中，其中 141002100411MM的特征值為的特征值為21, 1, 1321 通過計算，可以解出與通過計算，可以解出與 、 相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量征向量e1和和e2，及與相對應(yīng)的特征內(nèi)，及與相對應(yīng)的特征內(nèi) 量量e3：1 2 121,100,101321eee因此因此 02101110211,1112001011PP 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院)0(1)(xPPDxnn 000 02101110211 2100010

45、001 111200101cban解得：解得： 01000102121212121bccbbbaannnnnn當(dāng)當(dāng) n 時，時，021 n，所以，所以000021, 0,21bccbbaannn 因此，如果用基因因此，如果用基因 型相同的植物培育型相同的植物培育 后代，在極限情況后代，在極限情況 下，后代僅具有基下，后代僅具有基 因因AA和和aa。 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院 2.7 建模舉例建模舉例（人員疏散問題）（人員疏散問題） 考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間相同的教考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間相同的教室，學(xué)生們可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口。試建室，學(xué)生們可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口。試建立數(shù)學(xué)模型來分析人員疏散所用的時間。立數(shù)學(xué)模型來分析人員疏散所用的時間。想一想疏散撤離所用的時間依賴于想一想疏散撤離所用的時間依賴于哪些因素？哪些因素？DL3L4L2L1n4+1n1+1n2+1n3+1因此我們因此我們假設(shè)假設(shè) (1) 疏散時人們排成單行有序撤離；疏散時人們排成單行有序撤離；(2)撤離人員間距均勻且行進速度