概率論第一章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的？第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布多維隨機(jī)變量及其概率分布第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章第五章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)主要內(nèi)容主要內(nèi)容第一章 概率論的基本概念1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.2 概率的定義及其性質(zhì)1.3 古典概型與幾何概型1.4 條件概率1.5 獨(dú)立性1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)

2、算隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象 自然界的現(xiàn)象按照發(fā)生的可能性（或者必然性）分為兩類： 一類是確定性現(xiàn)象，特點(diǎn)是條件完全決定結(jié)果 一類是隨機(jī)現(xiàn)象，特點(diǎn)是條件不能完全決定結(jié)果 在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，我們預(yù)先無法斷言，這類現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象。 1.1.2 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2: 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3: 記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)；E4: 在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命；E5: 記錄某物理量的測(cè)量誤差；E6:0 1，在區(qū)間 上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。例例1-1： 上述試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：

3、上述試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：1.試驗(yàn)的可重復(fù)性試驗(yàn)的可重復(fù)性在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行； 2.一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性一次試驗(yàn)的可能結(jié)果不一次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)；止一個(gè)，且試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)；3.全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性所有可能的結(jié)果是預(yù)先所有可能的結(jié)果是預(yù)先可知可知 的，且每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。的，且每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。 在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)成為在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)成為隨機(jī)試隨機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)常用。隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示。表

4、示。 v樣本空間樣本空間: 試驗(yàn)的試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所有可能結(jié)果所組成的所組成的集合集合稱為稱為試驗(yàn)試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間, 記為記為.v樣本點(diǎn)樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果（樣本（樣本空間中的元素）空間中的元素）稱為稱為試驗(yàn)試驗(yàn)E的的一個(gè)一個(gè)樣本點(diǎn)樣本點(diǎn), 記為記為. 1.1.3 隨機(jī)事件與樣本空間隨機(jī)事件與樣本空間1H,T； kE 分別寫出例分別寫出例1-1各試驗(yàn)各試驗(yàn) 所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間21 2 3 4 5 6， ， ， ， ，； 301 2 3， ， ， ， ； 4 |0；t t 5|，；t t 6|01 ， .t t 例例1-2： 例

5、如在試驗(yàn)E2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，A就是一個(gè)隨機(jī)事件。A還可以用樣本點(diǎn)的集合形式表示，即A=1，3，5.它是樣本空間的一個(gè)子集。事件發(fā)生事件發(fā)生：例如，在試驗(yàn)E2中，無論擲得1點(diǎn)、3點(diǎn)還是5點(diǎn)，都稱這一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了。基本事件基本事件：隨機(jī)事件僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)，單點(diǎn)子集。如如，在試驗(yàn)E1中H表示“正面朝上”，就是個(gè)基本事件基本事件。v隨機(jī)事件：隨機(jī)事件：樣本空間的任意一個(gè)子集子集稱為隨機(jī)事隨機(jī)事件件, 簡(jiǎn)稱“事件”， 記作A、B、C等。復(fù)合事件復(fù)合事件：包含兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件。兩個(gè)特殊的事件兩個(gè)特殊的事件必然事件：；不可能事件：.既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)

6、算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。 1. 包含關(guān)系與相等包含關(guān)系與相等： “事件事件 A A發(fā)生必有事件發(fā)生必有事件B B發(fā)生發(fā)生” ” 記為記為A B。 AB A B且且B A.1.1.4 事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件間的關(guān)系與運(yùn)算A BAB2. 和（并）事件：和（并）事件： “事件事件A與事件與事件B至少有一個(gè)至少有一個(gè)發(fā)生發(fā)生”，記作，記作A B或或A+B。推廣推廣：n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，至少有一個(gè)發(fā)生， 記作記作 或或iniA1niiA13. 積（交）事件積（交）事件 : 事件事件A與事件與事件B同時(shí)發(fā)生，記同時(shí)發(fā)生，記作作 A B 或或AB。

7、推廣推廣：n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2An或或 或或iniA1iniA14. 差事件差事件： AB稱為稱為A與與B的差事件的差事件, 表示事件表示事件 A發(fā)生而事件發(fā)生而事件B不發(fā)生不發(fā)生5. 互不相容事件（也稱互斥的事件）：互不相容事件（也稱互斥的事件）： 即事件即事件A與事件與事件B不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生。AB 。ABAB= 推廣推廣：n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An任意兩個(gè)都互不相任意兩個(gè)都互不相容，則稱容，則稱n個(gè)事件個(gè)事件兩兩互不相容兩兩互不相容。若若n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An 兩兩互不相容，且兩兩互不相容，且則稱則稱n個(gè)事件個(gè)

8、事件A1, A2, An 構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)。iniA16. 對(duì)立（逆）對(duì)立（逆）事件事件 A B , 且且AB ，稱稱為為A A的的對(duì)對(duì)立立事事件件 A A記記作作B B 思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容與事件互不相容與事件A和事件和事件B互互為對(duì)立事件的區(qū)別為對(duì)立事件的區(qū)別. 對(duì)立事件一定是互不相容事件對(duì)立事件一定是互不相容事件，互不相互不相容事件不一定是對(duì)立事件容事件不一定是對(duì)立事件交換律：交換律：ABBA，ABBA。.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣結(jié)合律結(jié)合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)

9、C(AC)(BC)。對(duì)偶對(duì)偶(De Morgan)律律： 7.事件的運(yùn)算性質(zhì)1123123123；BA A AA A AA A A 0123；BA A A 2123123123；BA A AA A AA A A 例例1-3： 某射手向一目標(biāo)射擊3次,Ai表示“第i次射擊命中目標(biāo)”, i=1,2,3.Bj表示“三次射擊恰命中目標(biāo)j次”,j=0,1,2,3.試用 A1,A2,A3的運(yùn)算表示Bj,j=0,1,2,3.3123.BA A A 解解例例1-1-4 4：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A A、B B、C C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用分別表

10、示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A A、B B、C C的運(yùn)算關(guān)系表示的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：下列事件：:654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA 本節(jié)課主要講授：本節(jié)課主要講授： 1.隨機(jī)現(xiàn)象；隨機(jī)現(xiàn)象； 2.隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間；隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間； 3.隨機(jī)事件的概念；隨機(jī)事件的概念； 4.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算（隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算（重點(diǎn)重點(diǎn)）。）。小小 結(jié)結(jié)).(A.,)(,).(,. , ,AfAfnAfAnnAnAnnnnAA

11、的概率就是事件其實(shí)這個(gè)值的穩(wěn)定值我們稱這個(gè)常數(shù)為頻率數(shù)越來越穩(wěn)定于某一個(gè)常會(huì)頻率的大量增加著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)通過實(shí)踐人們發(fā)現(xiàn)，隨成并記發(fā)生的稱為事件比值發(fā)生的稱為事件的次數(shù)發(fā)生事件次試驗(yàn)中在這次試驗(yàn)進(jìn)行了在相同的條件下頻率頻率頻數(shù)頻數(shù)定義1：定義1：1.2 概率的定義及其性質(zhì)概率的定義及其性質(zhì)1.2.1 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義nAn)(Afn試驗(yàn)者德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005頻率的性質(zhì)：頻率的性質(zhì)：111 012013.（ ）（ ）；（

12、） （ ）， （）；（ ）若與互不相容，有（）（ ）（）同理可有： （）（）nnnnnnnnnknkkkfAffABfABfAfBfAfA 一口袋中有6個(gè)乒乓球，其中4個(gè)白的，2個(gè)紅的有放回地進(jìn)行重復(fù)抽球，觀察抽出紅色球的次數(shù)。 nAn( )nfA2001390.6954002010.6536004010.668111 012013.（ ）（ ）；（ ） （ ）， （）；（ ）若 與互不相容，有（）（ ） （ ）同理可有：（）mmkkkkP APPABP ABP AP BPAP A 頻率是概率的近似值，概率頻率是概率的近似值，概率P(A)也應(yīng)有類似特征：也應(yīng)有類似特征：定義定義2：在相同的條件

13、下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率 穩(wěn)定于某個(gè)確定的常數(shù)p，稱此常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率，記作 （ ）nf A( )=P Ap概率的統(tǒng)計(jì)定義不僅提供了一種定義概率的方法，更重要概率的統(tǒng)計(jì)定義不僅提供了一種定義概率的方法，更重要的是給了一種估算概率的方法在實(shí)際問題中，事件發(fā)生的概率往的是給了一種估算概率的方法在實(shí)際問題中，事件發(fā)生的概率往往是未知的，由于頻率具有穩(wěn)定性，我們就用大量試驗(yàn)中得到的頻往是未知的，由于頻率具有穩(wěn)定性，我們就用大量試驗(yàn)中得到的頻率值作為概率的近似值率值作為概率的近似值但上述定義存在著明顯的不足，首先，人們無法把一個(gè)試但上述定義存在著明顯的不足，首先，人

14、們無法把一個(gè)試驗(yàn)無限次的重復(fù)下去，因此要精確獲得頻率的穩(wěn)定值是困難的其驗(yàn)無限次的重復(fù)下去，因此要精確獲得頻率的穩(wěn)定值是困難的其次，定義中對(duì)頻率與概率關(guān)系的描述是定性的、非數(shù)學(xué)化的，從而次，定義中對(duì)頻率與概率關(guān)系的描述是定性的、非數(shù)學(xué)化的，從而容易造成誤解容易造成誤解 定義定義2 2中的敘述易使人想到概率是頻率的極限，概率是否為中的敘述易使人想到概率是頻率的極限，概率是否為頻率的極限，以什么方式趨于概率呢？頻率的極限，以什么方式趨于概率呢？ 1.2.2 概率的公理化定義概率的公理化定義定義定義3：若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)：若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間 中的每一事件中的每一事件A，均賦予一實(shí)

15、數(shù)，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：滿足條件：(1) 非負(fù)性公理：非負(fù)性公理：P(A) 0；(2) 規(guī)范性公理：規(guī)范性公理：P( )1 ，P( )0 ； (3) 可列可加性公理可列可加性公理：設(shè)設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容是一列兩兩互不相容的事件，即的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱則稱P(A)為事件為事件A的的。性質(zhì)性質(zhì) 1v概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)0( )1,( )0.P AP 性質(zhì)性質(zhì) 2（有限可加性有限可加性）設(shè)設(shè)A1，A2，, An是一列兩兩是一列兩兩互不相容互不相容

16、的事件，即的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n， 有有 P( A1 A2 An ) P(A1) P(A2)+.P(An) 性質(zhì)性質(zhì) 3 （互補(bǔ)性互補(bǔ)性） ( )=1( )P AP A 性質(zhì)性質(zhì)4 P(A-B)=P(A)-P(AB). 性質(zhì)性質(zhì) 5（加法公式）（加法公式）對(duì)于任意事件對(duì)于任意事件A,B，有，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).推廣：推廣：2） 設(shè)設(shè)A1，A2，An 是是 n 個(gè)隨機(jī)事件，個(gè)隨機(jī)事件， 則則nnjinnkjijniiniikjiiAAAPAApAPAP1111)()()()(112( 1)().nnP A AA 1)()(

17、)( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC性質(zhì)性質(zhì) 6 （可分性可分性） 對(duì)任意兩事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB ) , P(B)P(AB)P(AB )例例1-5 設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求求P(B).解解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解解 由性質(zhì)6可知，例例1-6 設(shè)A,B兩個(gè)隨機(jī)事件, P(A)=0.8, P(AB)=0.5, 求P(AB). P(AB)=P(A)-P

18、(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-7 設(shè)設(shè)A與與B互不相容互不相容, P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求求P(AB).AB 解解 P(AB)=P( )=1-P(AB)=1-P(A)+P(B) =1-(0.5+0.3)=0.2 例 1-8某地一年內(nèi)發(fā)生k起交通事故的概率為!kke， 其中0是常數(shù)，求當(dāng)?shù)匾荒陜?nèi)至少發(fā)生一起交通事故的概率 本節(jié)課主要講授：本節(jié)課主要講授： 1.概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義； 2.概率的公理化定義概率的公理化定義； 3.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)（重點(diǎn)重點(diǎn)）。）。 小小 結(jié)結(jié)1.3 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型1.3.1 古典概型古典概型2.2.等可能

19、性等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同. 理論上理論上,具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型,稱為稱為古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）：1.1.有限性：有限性：基本事件的總數(shù)是有限的, 換句話說樣本空間僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn); 設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r , 樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為n,則有( )( ).rAP AnrAP An中樣本點(diǎn)數(shù)中樣本點(diǎn)總數(shù)也即所包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)古典概型的概率計(jì)算公式古典概型的概率計(jì)算公式:例例1-9 從從1,2,9這這9個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù),取后放回取后放回,而而后再取一數(shù)后再取一數(shù),

20、試求取出的兩個(gè)數(shù)字不同的概率試求取出的兩個(gè)數(shù)字不同的概率. 解解 基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)n=92,因?yàn)榈谝淮稳?shù)有因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法中可能取法,這這時(shí)可重復(fù)排列問題時(shí)可重復(fù)排列問題. 設(shè)設(shè)A表示表示“取出的兩個(gè)數(shù)字不同取出的兩個(gè)數(shù)字不同”. A包含的基本事件包含的基本事件數(shù)數(shù)9*8因?yàn)榈谝淮稳?shù)有因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法中可能取法,為保證兩個(gè)數(shù)不同為保證兩個(gè)數(shù)不同,第二第二次取數(shù)應(yīng)從另外的次取數(shù)應(yīng)從另外的8個(gè)數(shù)中選取個(gè)數(shù)中選取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8, 故故 P(A)=rn= 9*892=89 22532813.28CCrP AnC 例例1-10 袋中有袋中有5

21、個(gè)白球個(gè)白球3個(gè)黑球個(gè)黑球,從中任取兩個(gè)從中任取兩個(gè),試求取到的試求取到的兩個(gè)球顏色相同的概率。兩個(gè)球顏色相同的概率。解解 從從8個(gè)球中任意取兩個(gè)個(gè)球中任意取兩個(gè),共有共有 種取法種取法,即基本事件總即基本事件總 數(shù)數(shù) . 記記A表示表示“取到的兩個(gè)球顏色相同取到的兩個(gè)球顏色相同”,A包含兩種可包含兩種可能能: 全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球. 全是白球有全是白球有 種取法種取法,全是黑球有全是黑球有 種取法種取法,由加法原理由加法原理 知知, A的取法共的取法共 中中, 即即A包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù) r = 28C28nC 25C23C2253CC 2253CC 故故 解：解

22、：(1)例例1-11 將將r個(gè)人隨機(jī)地分配到個(gè)人隨機(jī)地分配到n(r n)個(gè)房間里，設(shè)個(gè)房間里，設(shè) A=“某指定的某指定的r個(gè)房間中各有一人個(gè)房間中各有一人”， B=“恰有恰有r個(gè)房間中各有一人個(gè)房間中各有一人”， C=“某指定房間恰有某指定房間恰有k(k r)人人”， 求求A、B、C的概率的概率.rnrAP!)(2)rrnnrCBP!)(3)rkrkrnnCCP) 1()(例 1-12（摸球模型） 袋中有ab個(gè)大小形狀相同的球， 其中a個(gè)白球，b個(gè)黑球 現(xiàn)依次從中任取一球， (1)作放回抽樣，求第()kab次取出的球是白球的概率(2)作不放回抽樣，求第()kab次取出的球是白球的概率說明：不管

23、是放回抽樣還是不放回抽樣，也不管取球的先后順序如何，每次取到白球的概率都是一樣的 我們?nèi)粘Ｉ钪械淖ヴb，就是不放回抽樣，可見不管第幾個(gè)去抽，每人抽中白球的機(jī)會(huì)相等，同抽簽次序無關(guān) 把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)合合,人們引入了人們引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了確定概率由此形成了確定概率的另一方法的另一方法 幾何方法幾何方法. 概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn)概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn), ,但它也有明顯的局但它也有明顯的局限性限性. .要求樣本要求樣本點(diǎn)有限點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè)如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè), 概率的古典定義

24、就不適用了概率的古典定義就不適用了. .1.3.2 幾何概型幾何概型.,)(0,驗(yàn)是一幾何概型的則稱這一隨機(jī)試即有限的幾何度量的且具有非零窮多個(gè)所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為無本空間樣能的每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)是等可若對(duì)于一隨機(jī)試驗(yàn)m當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一并且任意一點(diǎn)落在度量點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度長(zhǎng)度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)域是相同的子區(qū)域是等可能的等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為)()()(mAmAP 說明說明：當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí)：當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為就歸結(jié)為幾何概率幾何概率.)(,)

25、(幾何概率幾何概率規(guī)定的概率稱為規(guī)定的概率稱為量來合理量來合理這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度的子區(qū)域的度量的子區(qū)域的度量是構(gòu)成事件是構(gòu)成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中AAmm 例例1-13（約會(huì)問題）甲乙兩人約定在下午（約會(huì)問題）甲乙兩人約定在下午6 6點(diǎn)到點(diǎn)到7 7點(diǎn)點(diǎn)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人2020分分鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率解：以解：以x x和和y y分別表示甲乙兩人到分別表示甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間（以分鐘為達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間（以分鐘為單位），在平面上建立單位

26、），在平面上建立xOyxOy直直角坐標(biāo)系，見圖角坐標(biāo)系，見圖1-11-1因?yàn)榧滓乙驗(yàn)榧滓叶际窃诙际窃? 0到到6060分鐘內(nèi)等可能到達(dá)，分鐘內(nèi)等可能到達(dá)，所以由等可能性知這是一個(gè)幾何概型問題所以由等可能性知這是一個(gè)幾何概型問題 會(huì)面問題會(huì)面問題 樣本空間 = (x，y)：0 x，y 60 事件A =“甲乙將會(huì)面” = (x，y) ：| x y | 20 因此例 1-14 如果在一個(gè) 5 萬平方公里的海域里有表面積達(dá) 40平方公里的大陸架貯藏著石油，假如在海域里隨意選取一點(diǎn)鉆探，問鉆到石油的概率是多少?解 在該題中由于選點(diǎn)是隨機(jī)的，可以認(rèn)為該海域中各點(diǎn)被選中的可能性是一樣的，因而所求概率自然認(rèn)為

27、貯油海域的面積與整個(gè)海域面積之比，即5000040p 本節(jié)課的重點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)：小小 結(jié)結(jié) （1）古典概型事件概率的計(jì)算； （2）幾何概型事件概率的計(jì)算.1.4.1 條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式例例1-15 一家庭有兩個(gè)孩子，考慮：(1)求兩個(gè)都是男孩的概率；(2)已知其中一個(gè)是男孩，求另一個(gè)也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率1.4 條件概率條件概率 定義定義1 ：已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率,記作P(B|A).解：用g表示女孩，b表示男孩，則樣本空間為(b,b)，(b,g)，(g,b)，(g,g)，其中括號(hào)中第一個(gè)位置表示

28、老大，第二個(gè)位置表示老二。（2）事件B1=“其中一個(gè)是男孩”，B2=“另一個(gè)也是男孩”，顯然此時(shí)的樣本空間為 B1=(b,b), (b,g), (g,b)。則事件B1發(fā)生的條件下，B2發(fā)生的條件概率為P(B2|B1)=1/3.（1）事件A=“兩個(gè)都是男孩”，顯然 P(A)=1/4.（3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男孩”，顯然此時(shí)的樣本空間為 C1=(b,b), (b,g)。則事件C1發(fā)生的條件下，C2發(fā)生的條件概率為P(C2|C1)=1/2.例如： 某班有30名學(xué)生，其中20名男生，10名女生，身高1.70米以上的有15名，其中12名男生，3名女生。 （1）任選一名學(xué)生，問該學(xué)

29、生的身高在1.70米以上的概率是多少？ （2）任選一名學(xué)生，選出來后發(fā)現(xiàn)是個(gè)男生，問該同學(xué)的身高在1.70米以上的概率是多少？定義定義2 設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)0,稱 ()|()P ABPA BP B 為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率.顯然，P(A)0時(shí)， ()|()P ABP B AP A 計(jì)算條件概率有兩個(gè)基本的方法：計(jì)算條件概率有兩個(gè)基本的方法：n 用定義計(jì)算，即在原樣本空間中計(jì)算P(AB)與P(B)之比；n 在古典概型中利用古典概型的計(jì)算方法直接計(jì)算，即在新樣本空間B中直接計(jì)算A發(fā)生的概率.例例1-11-16 6 在全部產(chǎn)品中有在全部產(chǎn)品中有4%4%是廢品是廢品, ,有有7

30、2%72%為一等品為一等品. .現(xiàn)從現(xiàn)從中任取一件為合格品中任取一件為合格品, ,求它是一等品的概率求它是一等品的概率. .解解 設(shè)A表示“任取一件為合格品”,B表示“任取一件為一等品”, 顯然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 則所求概率為.75. 09672)()()(%BPABPABP解解 設(shè)A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率為P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球時(shí)盒中有5個(gè)黑球2個(gè)白球,由古典概型的概率計(jì)算方法得5().7P B A 例例1-17 盒中有盒中有5個(gè)黑球個(gè)黑球3個(gè)白球個(gè)白球,連續(xù)不放

31、回的從中取兩連續(xù)不放回的從中取兩次球次球,每次取一個(gè)每次取一個(gè),若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率. 例例1-18 盒中有黃白兩色的乒乓球盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球黃色球7個(gè)個(gè),其中其中3個(gè)是新個(gè)是新球球;白色球白色球5個(gè)個(gè),其中其中4個(gè)是新球個(gè)是新球.現(xiàn)從中任取一球是新球現(xiàn)從中任取一球是新球,求它求它是白球的概率是白球的概率.解解1 設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉? 由古典概型的等可能性可知,所求概率為4().7P B A 解解2 設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉? 754( )

32、,( ), (),121212P AP BP AB由條件概率公式可得4()412().7( )712P ABP B AP B性質(zhì)2 若A與B互不相容，則 (|)(|)(|).P ABCP A CP BC 性質(zhì)3 (|)1(|).PABPAB 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)0(|)1,(|)1,( |)0.P A BPBPB 性質(zhì)112,nA AA若事件 ，兩兩互不相容，且P(B)0，則11|iiiiPA BP A B 概率的乘法公式概率的乘法公式l 當(dāng)當(dāng) P(A)0 時(shí)，有時(shí)，有 P(AB)=P(A)P(B|A).l 當(dāng)當(dāng) P(B)0 時(shí)，有時(shí)，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式還可

33、以推廣到n個(gè)事件的情況：l 設(shè)設(shè) P(AB)0 時(shí)，則時(shí)，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).l 設(shè) P(A1A2An-1)0, 則P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例例1-1-1919 在在1010個(gè)產(chǎn)品中個(gè)產(chǎn)品中, ,有有2 2件次品件次品, , 不放回的抽取不放回的抽取2 2次產(chǎn)品次產(chǎn)品, , 每次取一個(gè)每次取一個(gè), , 求取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率求取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率. .解解 設(shè)A表示“第一次取產(chǎn)品取到次品”,B表示“第二次取產(chǎn)品取到次品”,則 故 211( ),(|),1059P AP B A111()( ) (

34、|).5945P ABP A P B A例例1-1-20 20 袋中有a只白球，b只黑球，從中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。解：設(shè)B第二次取到白球,則要求P（B）令A(yù)第一次取到白球，則 第一次取到黑球ABBAABBAAABBBAA且)(,)()()()()()()()(ABPAPABPAPABPBAPABBAPBPbaabaababbaabaa111A例例1-21 盒中有盒中有5個(gè)白球個(gè)白球2個(gè)黑球個(gè)黑球,連續(xù)不放回的在其中取連續(xù)不放回的在其中取3次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率.解解 設(shè)設(shè)Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑

35、球次取到黑球”,于是所求概率為于是所求概率為1231213125424()() (|) (|).76521P A A AP A P AA P AA A 例例1-22 設(shè)設(shè) P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25, 求求 P(A|B).()() (|)0.80.250.2,P ABP A P B A ()0.21(|).( )0.42P ABP A BP B解解1.4.2 全概率公式與貝葉斯全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式公式全概率公式全概率公式 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間為,設(shè)A1,A2,An是樣本空間的一個(gè)完備事件組（或劃分），且P(Ai)0, i=1,2,n，B是

36、任意一個(gè)事件,則1( )() (|).niiiP BP A P B A 注：全概率公式求的是注：全概率公式求的是無條件概率無條件概率例例1-21-23 3 盒中有盒中有5 5個(gè)白球個(gè)白球3 3個(gè)黑球個(gè)黑球, , 連續(xù)不放回地從中取兩連續(xù)不放回地從中取兩次球次球, , 每次取一個(gè)每次取一個(gè), , 求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率. .5345( ),( ),( | ),( | ),8877P AP AP B AP B A 解解 設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得.8575837485)|()()|()()(ABPAPABPAPBP

37、例例1-21-24 4 在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品號(hào)的產(chǎn)品, ,它們的產(chǎn)量各占它們的產(chǎn)量各占30%, 35%, 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為產(chǎn)品中廢品率分別為5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求從該廠的這種產(chǎn)品中求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率任取一件是廢品的概率. .解解 設(shè)A1表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為甲所生產(chǎn)”, A2表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為乙所生產(chǎn)”, A3表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為丙所生產(chǎn)”,B表示“從該廠的這種產(chǎn)

38、品中任取一件為次品”,則P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%,P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.由全概率公式得31( )() (|)30% 5% 35% 4% 35% 3%3.95%.iiiP BP A P B A 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式 設(shè)設(shè)A1,A2,An是樣本空間的一個(gè)完備事件組（或劃分）是樣本空間的一個(gè)完備事件組（或劃分）, B是任一事件是任一事件, 且且P(B)0, 則則1() (|)() (|)(|),1,2,., .( )() (|)iiiiinkkkP A P B AP A P B AP ABinP BP

39、 A P B A 注：注：Bayes公式求的是公式求的是條件概率條件概率.例例1-21-25 5 在例1-23的假設(shè)下,若任取一件是廢品,分別求它是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率.解解 由貝葉斯公式，111() (|)30% 5%30(|)37.97%;( )3.95%79P A P B AP ABP B 222() (|)35% 4%28(|)35.44%;( )3.95%79P A P B AP ABP B 333() (|)35% 3%21(|)26.58%.( )3.95%79P A P B AP ABP B 【在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同

40、一型號(hào)的產(chǎn)品, ,它們的產(chǎn)量各占它們的產(chǎn)量各占30%, 35%, 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的產(chǎn)品中廢品并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為率分別為5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率廢品的概率. .】設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)過試射校正，5支已經(jīng)試射校正。一射擊手用校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8。而用未校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3。今假定從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊 ，結(jié)果中靶，求所用這支槍是已校正過的概率練習(xí)：練習(xí)：例例1-21-26 6玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假設(shè)

41、各箱含只，假設(shè)各箱含0 0，1 1，2 2只殘次品只殘次品的概率分別是的概率分別是0.80.8，0.10.1和和0.10.1，某顧客欲購一箱玻璃杯，在，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱隨機(jī)地查看四只，購買時(shí)，售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱隨機(jī)地查看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：(1) (1) 顧客買下該箱的概率顧客買下該箱的概率 ；(2) (2) 在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率 解：設(shè)解：設(shè)B B =“=“顧客買下該箱玻璃杯顧客買下該箱玻璃杯”，A A

42、i i =“=“抽到的一箱中有抽到的一箱中有i i件殘次件殘次品品”，i i = 0 = 0，1 1，2 2(1) (1) 事件事件B B在下面三種情況下均會(huì)發(fā)生：抽到的一箱中沒有殘次品、有在下面三種情況下均會(huì)發(fā)生：抽到的一箱中沒有殘次品、有1 1件殘次品或有件殘次品或有2 2件殘次品。顯然件殘次品。顯然A A0 0，A A1 1，A A2 2是完備事件組由題意知是完備事件組由題意知由全概率公式由全概率公式由貝葉斯公式由貝葉斯公式玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是0.8，0.1和0.1，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱隨機(jī)地查看四只

43、，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：(1) 顧客買下該箱的概率；(2) 在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率2、全概率公式及其應(yīng)用、全概率公式及其應(yīng)用(求無條件概率求無條件概率)小小 結(jié)結(jié)3、貝葉斯公式及其應(yīng)用、貝葉斯公式及其應(yīng)用(求條件概率求條件概率)1() (|)() (|)(|),1,2,., .( )() (|)iiiiinkkkP A P B AP A P B AP ABinP BP A P B A 1( )() (|).niiiP BP A P B A 1、條件概率及乘法公式；、條件概率及乘法公式； ()|()P ABP A BP B ()( )|P ABP B P

44、 A B 定義定義1 若P(AB)=P(A)P(B) ,則稱A與B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立獨(dú)立.性質(zhì)性質(zhì)2 若A與B相互獨(dú)立, 則A與B, A與B, A與B都相互獨(dú)立.1.5.1 兩事件獨(dú)立兩事件獨(dú)立性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)P(A)0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B)=P(B|A).設(shè)P(B)0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A)=P(A|B).1.5 獨(dú)立性 ()( )|P ABPBP A B 回憶：回憶：以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。由性質(zhì)由性質(zhì)2知知，事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是

45、指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān).v 獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件獨(dú)立是事件間的概率屬間的概率屬性性互斥是事件間互斥是事件間本身的關(guān)系本身的關(guān)系11ABAB由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩事件兩事件互斥互斥.AB)(21)(,21)

46、(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.兩事件兩事件互斥互斥例例1-1-2727 兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊, ,設(shè)甲射設(shè)甲射中目標(biāo)的概率為中目標(biāo)的概率為0.9,0.9,乙射中目標(biāo)的概率為乙射中目標(biāo)的概率為0.8,0.8,求目求目標(biāo)被擊中的概率標(biāo)被擊中的概率. . 解解 設(shè)A表示“甲射中目標(biāo)”, B表示“乙射中目標(biāo)”, C表示“目標(biāo)被擊中”,則C=AB,A與B相互獨(dú)立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，

47、故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用對(duì)偶律對(duì)偶律亦可.注注：A，B相互獨(dú)立時(shí),概率加法公式可以簡(jiǎn)化,即當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)P(AB)=1-P(A)P(B)例例1-1-2828 袋中有袋中有5 5個(gè)白球個(gè)白球3 3個(gè)黑球個(gè)黑球, , 從中有放回地連續(xù)取兩次從中有放回地連續(xù)取兩次, , 每次每次取取 一個(gè)球一個(gè)球, , 求兩次取出的都是白球的概率求兩次取出的都是白球的概率. . 5525()( ) ( )8864P ABP A P B 解解 設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A與B是相互獨(dú)立的,所求概率為例例1-1-2929 設(shè)設(shè)A A與與B B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,A,A發(fā)生發(fā)生B B不發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率與B B發(fā)生發(fā)生A A不發(fā)生的概率相等不發(fā)生的概率相等, ,且且P(A)=1/3P(A)=1/3