0403空間等參數單元的力學分析

1、§4-3 空間等參數單元的力學分析現在來對n個節(jié)點的空間等參數單元進行力學分析，從而建立這種單元的載荷列陣，應力矩陣和剛度矩陣。一、等效節(jié)點載荷計算空間等參數單元的載荷移置，仍遵循靜力等效原則，因而前面幾章介紹的普遍公式仍然適用。1. 集中力當單元在任意點受有集中力時，等效節(jié)點載何為 (4-32)但在這里 (4-33)而矩陣N可用三階單位矩陣I及各個形函數表示成為 (4-34)l 由于其中Ni是由受力點的局部坐標、表示的，為計算方便，單元劃分時應將集中力作用點取為節(jié)點。否則 ，由整體坐標求局部坐標很不方便。2. 體力單元受有分布體力，其強度為，此時有上式中N是局部坐標的顯函數，且單元

2、的真實形狀及邊界描述起來非常困難，一般將上式化成局部坐標積分比較方便。利用(4-24)式，有 (4-35)l 對于變量的分布體力，須將體力分量X、Y、Z表示成局部坐標，的函數，再進行積分。3. 面力當單元在某一邊界上(例如在=±1的面上)，受有分布的面力時，可利用(4-34)式的積分求得等效節(jié)點載荷應用(4-29)式，可以將上式表示成為 (4-36)l 對于變量的分布面力，須將面力分量、表示成局部坐標的函數，再進行積分。l 如果上述分布面力為靜水壓力q，則將(4-31)式代入，然后再代入(4-36)式，得 (4-37)當面力作用在±的面上或±1的面上時，只須將(4

3、-37)中的，輪換，即可得出各種狀況下的載荷列陣表達式。二、應變、應力矩陣1應變將位移函數表達式(4-17)代入空間問題的幾何方程，可得單元內的應變表達式 (4-38)其中是單元的節(jié)點位移列陣，即 (4-39)而 (i=1,2,，n) (4-40)2應力和以前一樣，單元內的應力可以表示成 (4-41)將其中應力矩陣S寫成分塊形式 (4-42)則有 (i=1,2,，n) (4-43)三、剛度矩陣將單元上的節(jié)點力表示成為則由虛功方程可以得出和以前一樣的公式其中單元剛度矩陣為 (4-44)單元剛度矩陣是一個3n×3n的矩陣，可以寫成分塊形式： (4-45)其中每一個子矩陣是3×3

4、方陣（3個自由度時），為 (i=1,2,n;j=1,2,n) (4-46)有了單元的載荷列陣和剛度矩陣之后，即可利用以前多次用過的方法，建立那些求解節(jié)點位移所需的節(jié)點平衡方程，在求出節(jié)點位移之后，再按(4-41)式求單元的應力。四、幾點說明1坐標變換l 對于等參單元中的任一點，由它的局部坐標求出它的整體坐標時，只須直接應用(4-18)式；l 要由整體坐標算出局部坐標，則須利用(4-18)式，求解三元非線性聯立方程組，這是非常繁瑣的，甚至不可能。2參數計算方法l 在計算單元中的應力等參數時，一般是先設定一組局部坐標（一般是節(jié)點或積分點），代入應力矩陣以求出應力；并根據這組局部坐標算出相應的整體坐標，從而可知所求應力是單元(構件)那一點處的應力。對于單元中以整體坐標標定的一點（除非是節(jié)點或積分點等特殊點），要計算應力則是非常復雜和不現實的。² 計算節(jié)點處的應力，則比較方便。因為其局部坐標是已知的，且非常簡單，不外乎0，±1以及簡單的分數±，±等等。² 因此，在整理應力等計算結果時，一般宜采用繞點平均法。3精度問題l 對于等參數單元，單元內點的應力精度優(yōu)于邊界點的精度，角節(jié)點的應力精度最差。l 如果單元的形態(tài)比較差，則