函數(shù)的單調(diào)性與最值(講義)(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識(shí)要點(diǎn)】1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間（3

2、）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法根據(jù)定義；根據(jù)圖象；利用已知函數(shù)的增減性；利用導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定方法。2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)對(duì)于任意xI，都有f(x)M ；(4)存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M為最大值M為最小值求函數(shù)最值的方法：若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法；利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求最值；基本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子、分母不同次時(shí)常用此法?！緩?fù)習(xí)回顧】一次函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)y隨

3、x的增大而增大(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：(1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；(2)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。?提出問題:如圖所示為一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?這些函數(shù)走勢(shì)是什么？在什么范圍上升，在什么區(qū)間下降？如何理解圖象是上升的？如何用自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系表示函數(shù)的

4、增減性？定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù). 簡(jiǎn)稱為：步調(diào)一致增函數(shù).幾何意義：增函數(shù)的從左向右看, 圖象是 的。定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡(jiǎn)稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).幾何意義：減函數(shù)的從左向右看, 圖象是 的.例 如圖是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)

5、圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-5,2),1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2,1),3,5上是增函數(shù).點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.【典例精講】題型一 函數(shù)單調(diào)性的判定與證明(1)單調(diào)性的證明函數(shù)單調(diào)性的證明的最基本方法是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)行，其步驟如下：第一步：設(shè)元，即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1x2；第二步：作差，即作差f(x1)f(x2)；第三步：變形，即

6、通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形；第四步：判號(hào)，即確定f(x1)f(x2)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論；第五步：定論，即根據(jù)單調(diào)性的定義作出結(jié)論其中第三步是關(guān)鍵，在變形中一般盡量化成幾個(gè)最簡(jiǎn)因式的乘積或幾個(gè)完全平方的形式利用單調(diào)性定義的等價(jià)形式證明：設(shè)x1，x2m，n，x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在區(qū)間m，n上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在區(qū)間m，n上是減函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性：g(x)f(x)f(g(x)增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)

7、g(x)與外層函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同時(shí)yf(g(x)是增函數(shù)，單調(diào)性相反時(shí)yf(g(x)是減函數(shù)(3)判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟：以復(fù)合函數(shù)yf(g(x)為例可按下列步驟操作：將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：yf(t)，tg(x)；分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則yf(g(x)為增函數(shù)；若為一增一減，則yf(g(x)為減函數(shù)例1 用定義法求證函數(shù)在R為增函數(shù)變式1 用定義法求證函數(shù)在增函數(shù)變式2 證明：函數(shù)在定義域上是減函數(shù)例2 求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間題型二 圖像法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3 求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)

8、間：（1）； （2）.（3）；（4）.變式1 用圖像法求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)(2)(3)變式2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域。題型三 抽象函數(shù)的單調(diào)性例4(1)已知函數(shù)是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 (2)已知函數(shù)是減函數(shù)，解不等式 (3)已知是定義在(0,+)上的減函數(shù)，若成立，則a的取值范圍是_.變式 函數(shù)f(x)對(duì)任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3. 題型四 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5 已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 變式1若f(x)x2

9、2(a1)x4是區(qū)間(，4上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 變式2 (1)畫出已知函數(shù)的圖象； (2)證明函數(shù)在區(qū)間(-,1上是增函數(shù)； (3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,m上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型五 函數(shù)的最值例6 如圖所示，是函數(shù)的圖象.觀察這三個(gè)圖象的共同特征.在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x,y)，如圖所示，x的范圍是函數(shù)的 ,y的范圍是函數(shù)的 。圖1-3-1-12怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的?設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0)，用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋：函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C？函數(shù)最大值的定義？一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的x

10、I，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)最大值的定義中即，這個(gè)不等式反映了函數(shù)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)？其圖象又具有什么特征？函數(shù)最大值的幾何意義是什么？函數(shù)最大值嗎？為什么？點(diǎn)是不是函數(shù)的最高點(diǎn)？由這個(gè)問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？類比函數(shù)的最大值，請(qǐng)你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.例7 求函數(shù)y=在區(qū)間上的最大值和最小值.例8 求函數(shù),的最值。變式 函數(shù)y=在2,3上的最小值為( )A.2 B. C. D.- 【課堂練習(xí)】1下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.

11、y=2如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,4上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.-3,+) B.(-,-3 C.(-,3 D.3,+)3.若一次函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,2上的最小值為1，最大值為3，則函數(shù)f(x)的解析式為_.4.設(shè)x1，x2為yf(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題：(x1x2)f(x1)f(x2)>0； (x1x2)f(x1)f(x2)<0；>0； <0.其中能推出函數(shù)yf(x)為增函數(shù)的命題為_.(填序號(hào))5.(1)已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是 (2)已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是 6.用定義法求證函數(shù)在減函數(shù)【課外作業(yè)】函數(shù)yx2的單調(diào)減區(qū)間是()A0，) B(，0 C(，0) D(，)函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(，2時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則m等于()A4B8 C8 D無法確定函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，若ab0，則有()Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b)已知為上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值