同濟(jì)大學(xué)第五版線性代數(shù)課后習(xí)題解析

1、習(xí)題解答1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式:201(1) 1-4-1;-18：3111(3) abc；a2b2c2(2)bca;cabxyx+yfI(4) yx+yx工+yjcy解(1)原式=2x(-4)X3+Ox(-1)x(-1)+1X1X8-1x(-4)x(-1)-2X(-1)X8-OX1X3=-4；(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-Z?3-c3;(3)原式=1b*c2+l*c*a2+l,a*b2-l*bua2-ltc,b2-l9a9c2=be2+ca2+ab2-ba2-cb2-ac2=c2(6-a)+aZ>(6-a)-c(A2-a2)=(a-6

2、)(Z>-c)(c-a);(4)原式=x(x+y)y+yx(x+3)+(l+y)yx-(x+y)3-合一/=-2(x3+>3).2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 1234；(2)4132；(3) 3421；(4)2413；(5) 13(2n-1)24(2)；(6) 13(2n1)(2")(2n-2)2.解(D此排列為自然排列，其逆序數(shù)為0；(2)此排列的首位元素的逆序數(shù)為0;第2位元索1的逆序數(shù)為1;第3位元素3的逆序數(shù)為1;末位元素2的逆序數(shù)為2,故它的逆序數(shù)為0+1+1+2=4；(3)此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為0;第3位元索2的逆序數(shù)為

3、2；末位元素1的逆序數(shù)為3,故它的逆序數(shù)為0+0+2+3=5;(4)類似于上面,此排列的從首位元素到末位元素的逆序數(shù)依次為0,0,2,1,故它的逆序數(shù)為0+0+2+1=3;(5)注意到這2個(gè)數(shù)的排列中，前位元素之間沒(méi)有逆序?qū)?第+1位元素2與它前面的n-1個(gè)數(shù)構(gòu)成逆序?qū)?，故它的逆序?shù)為-1;同理，第+2倍元素4的逆序數(shù)為2;；末位元素2n的逆序數(shù)為0.故此排列的逆序數(shù)為（-1）十（-2）+0=:（-1）;(6)與(5)相仿，此排列的前n+1位元素沒(méi)有逆序?qū)?；第?位元素(2n-2)的逆序數(shù)為2;第m+3位元素2-4與它前面的2n-3,2n-1t2n,2-2構(gòu)成逆序?qū)?故它的逆序?yàn)?;；末位元素

4、2的逆序數(shù)為2(-1),故此排列的逆序數(shù)為2+4+2(-1)=1).3 .寫出四階行列式中含有因子°“牝3的項(xiàng).解由行列式定義知這項(xiàng)必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素,而它們又分別位于第2列和第4列，即的2和或?！焙妥⑺俚脚糯鮅J1324與1342的逆序數(shù)分別為1與2,故此行列式中含有為io-的項(xiàng)為-a11a23。32。u與a”a23aua424 .計(jì)算下列各行列式:4110020214207-12042361122一叫bdbfac- cdcfae de ef（4）-10- ,01b-10-1001d100014100215121-15-702210122240727-20-4

5、10002-7-15121000 22,1011792-4-20.72 .78545=0(因第3、4行成比例);251546361222=0(因有兩行相同);01+Mr.+ari(4)D=0-1001c-11+ab成c展開一1(-1)(T>-1,0ld-1ad1+cd(7)(-I)，0-101+而ad11+cd1111x a b c22 人22 =0,其中 a,b,ci a b cX3 a3 b3 c3=(1+ab)(l+cd)+ad.5 .求解下列方程：i+l2-1(1) 2x+11=0；(2)-11x+1互不相等.+1解(1)左式二:(£+3)2(1+3)-11C2-CiL

6、=(x+S)2x-1I-I=(1+3)=(r+3)(t2-3).LX+1于是方程的解為:=-3,工2=75,=-73;(2)注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結(jié)果得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(Z>-c)=0.因a、b,c互不相等，故方程的解為：xx=a,x2=Z>,x3=c.6.證明：a2a1aha+b1ax+byay+bzaz+bxb22b1ay+bzaz+bxax+by(a+1)2(KI)?(c+l)2("1)2(a-b)3iaz+bxax+by=(a3+63)ay+bz(a+2產(chǎn)(6+2尸(c+2)2(d+2)z(d3)2(6+3

7、)(c+3)(d+3)2=0;111(4)a2bedb2c2d2b4c4d"=(q-6)(q-c)(a-d)(6-c)(6-d)(c-d)(a+6+c+d);X-100X- 1(5)：:000o證 (1)左式：0000:=awx"+。1工+。x-1a6a2-b2ab-b2b2II(a-b)2ab-b2b2Ci-2cz2(a-b)q-b2b丁一-0a-b2b001II001=(a-b)3=右式;(2)將左式按第1列拆開得axay+bzazbxbyay+bzaz+bx左式=ayaz+bjeax+by*bza&$bjeajc+byaD+bD2-»azaxbyay

8、+bzbxax+byay+bz其中c尸bbz az + bx bx ax + by by ay + bz x y z y z x z x y bz az + bx bx ax + by by ay + bzay + bz z az + bx x ax + by y于是D = aDj(3)左式bD2 = (/ +z az + bx x ax by y ay + bz=右式.2a + 126 + 12c + 12d + l2a+326+32c+ 32d+ 32a+526 + 52c+ 52cl + 52a+122b2(4)左式一- 5 -S2b+1222c+1222d+l22=0 (因有兩列相同)

9、;111b-acad-ab(b-a)c(c-a)d(da)及(b2-a2)c2(c2-a2)dz(dl-a2)111按C展開bcd62(6+a)c2(c+a)t/2(t/+a)111rj-6(6+a)rj一,丁一a)(c-a)(d-a)0c-bd-bri-6ri0xyc6d-b=(-a)(c-a)(d-a),1y其中：=c2(c+a)-(6c)(6+a)=c(c2+ac-62-aA)=c(a+6+c)(c-6);y=d2(d+q)-bd(b+Q)=d(a+b+d)(d-b).一 c - b d - b .、，、故=(c-b)(d-b)* )11c(a+6+c)d(a+b+d)=(c-6)(d-

10、6)d(a+6+d)-c(a+b+c)=(c-6)(d-6)(d-c)(a+)+d2-c2=(c-6)(d-b)(d-c)(a+b+c+d),因此9左式=(6-a)(c-a)(d-o)(c-()(d-6)(d-c)(a+<+c+d)=右式.(5)證一遞推法.按第1列展開，以建立遞推公式，-1X-10=xD+(-l)'*2a0.*X-1=jcD+(-l)2"*2a0=xD+a0.又，歸納基礎(chǔ)為：口=4(注意不是"),于是D=+a0=x(xDn.|+fi1)+a0=x2Dh.|+a|X+a0=x"Dj+a11TH"7+fl|x+a0=a0+ai

11、x+a2x2+<ee+a".證二按最后一行展開得% = £(-1產(chǎn)"=2（T）c43/oM=a0+ajx+a2x2+a”1z"7+anxn.7.設(shè)n階右列式。=<（/），把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得證明以=。2=（-1）/口。，5=。.證（1）先計(jì)算。1,為此通過(guò)交換行將D.變換成。，從而找出口與D的關(guān)系.D1的最后一行是D的第1行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1行,共進(jìn)行m-1次交換；這時(shí)圾后一行是D的第2行，把它依次與前面的行交換，直至換到第2行，共進(jìn)行W-2次交換；，直至最后一行是D的第-1行,再通過(guò)

12、一次交換將它換到第H-1行，這樣就把D,變換成D,共進(jìn)行次交換，故。二（-1）%一）D.注1,上述交換行列式的行（列）的方法，在解題時(shí)，經(jīng)常用到.它的特點(diǎn)是在把最后一行換到某一行的同時(shí)，保持其余n-個(gè)行之間原有的先后次序（但行的序號(hào)可能改變）.2同理把D左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為（-（2）計(jì)算。2.注意到D2的第1,2,，行恰好依次是D的第，-1,，1列,故若把D2上下翻轉(zhuǎn)得萬(wàn)2,則萬(wàn)2的第1.2,-,n行依次是D的第1,2,切列，即萬(wàn)2=D,于是由（1）D2=（-1）（）萬(wàn)?=（T）；"'dT=（-1）9（一）D.（3）計(jì)算。3.注意到若把Dy逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得力一則Dy的第1,

13、2,.列恰好是D的第八，-1,，1列，于是再把D左右靚轉(zhuǎn)就得到D.由（1）之注及，有5=（-1）；“）D3=D.注本例的結(jié)論值得記取，即對(duì)行列式D作轉(zhuǎn)置、依副對(duì)角線篇轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)180.所得行列式不變;作上下翻轉(zhuǎn)、左右翻轉(zhuǎn)、逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得行列式為8.計(jì)算下列各行列式（心為k階行列式）：a1（1）。=.，其中對(duì)角線上元素都是。，未寫出的元索都是0；1aD,二x(a-1)"(。一1)(3)Di=提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果.，其中未寫出的元索都是0；D.=det(%),其中a¥=li-jl;1+/11,1l+a21(6)D,=.，其中勺4/0 111+%(1

14、)解一把D”按第一行展開得0aoD.二屋+(-1)/a10解二按第一列 展開(2)本題中Dh是教材例8中行列式的一般形式，它是一個(gè)非常有用的行列 式,在以后各章中有不少應(yīng)用.解 利用各列的元素之和相同，提取公因式.11-1G一叩r/八，工一QFx+(n-l)a.，=2.加工-a=(x-a)"'1x+(n-1)a.(3)解把所給行列式上下翻轉(zhuǎn)，即為范德蒙德行列式，若再將它左右翻轉(zhuǎn)，由于上下翻轉(zhuǎn)與左右翻轉(zhuǎn)所用交換次數(shù)相等，故行列式經(jīng)上下翻轉(zhuǎn)再左右翻轉(zhuǎn)(相當(dāng)于轉(zhuǎn)180、參看題7)其值不變,于是按范德蒙德行列式的結(jié)果，可得11-1a-a-n+1aDqi=(a-n)*(a-n+l)wa

15、(4)解本題與例11相仿，解法也大致相同，用遞推法.由例1。/,，、c一(a.d.bncn)©2(n-1)*即有遞推公式D2.=(“0-3)。北.-|八a.與另一方面，歸納基礎(chǔ)為D?=,=出一blCl，利用這些結(jié)果,遞推得Ci%wDz.=(a.d.一九。)(即出一d白)=口(4-bkck).(5)解(6)解將原行列式化為上三角形行列式.為此，從第2行起，各行均減去第1行，得與例1.3相仿的行列式9.設(shè) D =3-521其中°=1+=+室打于是D.+貌).1-12,口的(：,八元的代數(shù)余子式記作A9,求01-1-53-3A3i+3A”-2A”+2A乂解與例13相仿，人八+3人

16、32-24蓑+24”等于用1,3,-2,2替換D的第3行對(duì)應(yīng)元素所得行列式，即A3I+3Am-2A33+2A»=3-511113-53-2110.(1)-21100=24.用克拉默法則解下列方程組:X|+=5;X|+2x2一13+4x4=-2;-5x4=-2,+1Lt4=0；1解(1)D=12312-311/j+5萬(wàn)0+2r200Dt=-13-23123-54-42-42-3-12-23-14(2)<*410003-511rrH-2)技工贏1-1133-2-531-11-100-1-23二1,=0,+6x4=0,+5x4=1.11001-2-13-5i|=lo:心14I14=-

17、142;11|51112-14上t"一3-3053-1-53-20-4121111-10-109按Cj展開32-229一2732=-142；23-2215111511D?=1-2-140-7-232-2-1-50-12-3-7302110-15-18-7-12-15230-13330-3115-181151115112-2401-732-3-2-52rl0-5-12-7310110-2-158按。展開=15-7-47一47-2914-29乙+2,22-311000-1由克拉默法則，得5-2-201-2-13-55-7-47-29(2)D=6515006565110001*5-21-2

18、-3-15-7-12-15-13-47-5-29142,二方=2'叫=萬(wàn)"3=萬(wàn)=-1;=5于是。=325-114=211；=114,6510=65;066-5(*)1由（*）式=65-216=-151;D2 =5100100106510065=-19+180=161；d3 =5100006515 05 6 001 6一15000 5016按門展開=5- 114 =-109;D4 =651006511001按。展開由（）式* 1 + 65 = 64.由克拉默法則，得Jl =Dt_ 151_ _方=一方，小=方=訊，/3 =方=- 5n109_D_ 64'工產(chǎn)方F11.

19、問(wèn)人，取何值時(shí)，齊次線性方程組Ax|+叫+4=0,I+92+13=0,I+2儀2+小=0有非零解?解由定理5',此時(shí)方程組的系數(shù)行列式必須為0.=一a 1）,A1111121故只有當(dāng)=0或久=1時(shí)，方程組才可能有非零解.當(dāng)=0,原方程組成為+工3=0，以+xj=0,顯然j=1,叫=1-2，工3=-1是它的一個(gè)非零解;當(dāng)a=1,原方程組成為+x2+x3=0fI+jtzx2+x3=0>x,+2+x3=0,顯然，工1=-l,x2=0,x3=1是它的一個(gè)非零解.因此，當(dāng)=0或4=1時(shí)，方程組有非零解.注定理5（或定理5'）僅表明齊次線性方程組要有非零解，它的系數(shù)行列式必為零.至于

20、這條件是否充分將在第三章中予以解決，目前還是應(yīng)驗(yàn)證它有非零解.下題也是同樣情形.12.問(wèn)A取何值時(shí)，齊次線性方程組(1A)X|-2x2+4x3=0,v2xj+(3-A)x2+13=0,X|+x2+(1-A)x3=0有非零解？解若方程組有非零解，由定理5',它的系數(shù)行列式。=0.1-A-2因D=23-A11仁.2，|r>-(I-A)rt1-A=-3+ACj-rAK1-AIz、,、一二7(,3)=-A(A-2)(A-3).rj-r(A-3)1-1故D=0=>a=0或2=2或2=3,并且不難驗(yàn)證：當(dāng)久=0時(shí)，叫=-2,%=l，q=l；當(dāng)a=2時(shí),4=-2,12=3,4=1；當(dāng)1=

21、3時(shí),-1,以=5,4=2均是該方程組的非零解.所以當(dāng)a=0,2,3時(shí)方程組有非零解.解答1.計(jì)算下列乘積:4(1) 153 11 (7-2 3 2 ;7 oj II3(2) (1,2,3) 2 ;12.1 (-1,2);3.37-3-24解(1) I53-273(2) (1,2,3)1x3 21= (10)xi =10;(-1f2)1x2 =-2-1-3211 -1(5)(X| ,X2,X3)°”123X2220146 -70 -5allxI+al2x2+aIJx3=(X,X2»)l«3alx+a2Zx2+a23x301311+al3x2+a33x3Jjxi=f

22、lIIXJ+a)2I+fl|jXjXy+Q12工I+a”工；+0131311+。2313必十03*=aux?+a12x+2anxxx2+2auxIz3+2a23x1x3.2.設(shè) A =11 -1求 3AB-2A 及1-11,B =1-102-25AB =于是 3AB-2A =31-110021-105-52-2500615-152786024180-234111122200211-122-25-591-112-22.-2-2413-17292220-2因At=A,BPA為對(duì)稱陣，故0584TB=AB=0-56.2903.已知兩個(gè)線性變換工 =2y +/，4=-27 +3% + 2力，工3=4&

23、#187; +山+ 5山，>1=-3勺+叼,»=2勺+句，%=-N?+3叫,求從Z1,Z2,«3到Xj,x2,x3的線性變換.解依次將兩個(gè)線性變換寫成矩陣形式：X=AY,Y=»Z,B=這里矩陣-32010-1分別為對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣；X在這些記號(hào)下，從Z,Z2,之3到0，N巧的線性變換的矩X=AY=A(BZ)=(AB)Z=CZ>C=AB即有X|=-6zi+Z2+3叩x2=12zj-422+9zj工3=-10Z|一22+1623.=(;Q=c3同(1)ABBA嗎？(A+5)2=A2+2AB+S2嗎？(3)(A+B)(A-B)=a2-52嗎？(33故A片見2

24、2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+但由(1),ABW5A，故A5+5AK2AB,從而(A+B)VA2+2AB+B2;3 3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-肥，但由(1),故BA-A5#O,從而(a+b)(a-b)#a0其中三階矩陣5= 0、0-b2.5 .舉反例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的：(1)若A?=o,則A=O;(2)若川=通，則A=O或4=E;,(3)若AX=AY,且A卉O,則X=Y.解(1)取A=(：有T=O,但AWO;(2)取A=(：),有A2=A,但A#O且取Y：)，*=(；：)，=(；.；，有4*3,且“。,但*WY.6 .設(shè)A=（；：）,求T,A&#

25、39;,，A*.解直接計(jì);得人（；XXL0.）-人（：制以力：»（二）,一般可得=（2.3）事實(shí)上，當(dāng)女=1時(shí)，（2.3）式顯然成立；設(shè)當(dāng)上=時(shí)，（2.3）式成立，那么當(dāng)A=+l時(shí)，AF=WUA1/U.1/（w+l）A1/由歸納法，知（2.3）式成立.A10*7.設(shè)A=0A1，求A”.00A解把A寫成兩個(gè)矩陣之和000+0A0A0A=0A001001=AE+B,000|001滿足爐=000J10010，出=0(43).0,于是A11=(2E+B)11=C®ARE+5+C：Bn=CE+CLB+CLB28.設(shè)A,5為階矩陣，且A為對(duì)稱陣，證明AB也是對(duì)稱陣.證根據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置

26、規(guī)則,有(BtAB)t=BtAt(Bt)t=BtAB(因A為對(duì)稱陣),故由定義，知btab為對(duì)稱陣.9.設(shè)A,5都是階對(duì)稱陣，證明AB是對(duì)稱陣的充要條件是AB=BA.證因AT=A,BT=B，故AB為對(duì)稱陣0（AS）T=ASAB0bA=AB.10.求下列矩陣的逆陣：解（1）由二階方陣的求逆公式（教材例10）得（;丁而一:cos 6 - sin 0sin 8 coscos2 0 + sin2 0cos 0 sin 6-sin 0 cos 0cos 8 sin 8一 sin 0 cos 8(3)因 |A| 二24-4-1-21=2力0,故A可逆，并且M“ 二Mn =M|3 =于是4 -2-43535

27、4-4=-32,AT=_M22 =M232-41515-112-4=6,My.2413=- 14,M“ =-1-2-1-224=0,(4)因4 - 14一工-4-13-322614-M120-1-2- gMu-Mzj-213"T，一 16-Mi201 i2 -14 ¥ 0, i = 1,2,，力.于是矩陣diag(看看或)是有意義的伊且因AB = diag(aB 9a2 >1 1 一,一，=diag(lj>由定理1的推論，知A可逆，且AT=B=diag(Wd)注本題結(jié)論值得記取，可當(dāng)作公式用.11.解下列矩陣方程：(:53224-14 - 62 1-10 =L-

28、13(3)(4)解(1)因矩陣 左乘方程兩邊,得.的行列式=1,不為零，故它可逆，從而用它的逆矩陣乩:北一:HiU)記矩陣方程為 XA3 = B»3,因故A可逆，用右乘方程的兩邊得X=BA又，于是%MuX =54- M21M22 - M32-M?3M330331-20記一;="=(-；)C=C.；)，則矩陣方程可寫為AXB=C.因|4|=6六0,|6|=2并0,故A9B均可逆.依次用A-和左乘和右乘 方程兩邊得ACDC.：）（：；）"1212_包30）=101 01 00 0 和 0 00 1J （0 10(4)本題與(3)相仿.因矩陣1,0均是可逆陣，并且010

29、100、001故得X =12.01001,00 1,0-40-20-4-2利用逆矩陣解下列線性方程組: X, + 2x2 + 31j = 1,< 2 + 2必 + 5八=2,(2) «31 + 5x2 + 壬=3;將方程組寫作矩陣形式Ajt = b,這里，A為系數(shù)矩陣，= (，孫，為尸為未知數(shù)矩陣.b為常數(shù)矩陣.(1)因 IAI二15#0,故A可逆，于是x 二 A -115-2313413-841-2123,15 0 0即有0(2)SIAI-1-12-1-3-51117=3彳0,故123-7-2-5-1-12211A可逆，于是21O1509即有<-=0，了3=3.13.已

30、知線性變換斗=2“+2力+”，v以=3yl+>2+5y3，工3=3“+2%+3%求從變量與，工2,I3到變量切，力，力的線性變換.解記工=（，2,4）,”=（"，力，為尸，則線性變換的矩陣形式為=221Ay,其中A為它的系數(shù)矩陣.因decA=315=1共0,故4是可逆陣，于323.是從變量X,，工z，口到變量v，“，力的線性變換的矩陣形式為y=人7x.-7-49又,At=J7A"=A=63-7,AioX32-4J于是>!=-73-442+9%，卜2=6叫+3m-7孫，I»=3*i+2孫-41314 .設(shè)A為三階矩陣，|4|=今求|(24尸-5|.解因|

31、A|=)中0,故A可逆.于是由A9=|4|4-'=14-'(24)7裾(2A)-'-5A*=yA-*-yA-'=-2A-1,兩端取行列式得|(2A)-,-5A*I=I-2A-,|=(-2)3|AI-*=-16.注先化簡(jiǎn)矩陣，再取行列式,往往使計(jì)算變得簡(jiǎn)單.03315 .設(shè)A=110,AB=A+2B,求B.-12 3解由AB=A+2B=>(A-2E)B=A.-233因A-2E=1-10,它的行列式det(A-2E)=2W0,故它是可逆陣.121用(A-2E)7左乘上式兩邊得B =0311-120 3 3-12 31 1 0，且 AB + E = A? + B

32、,求 B.01、=2V210116 .設(shè)A=020101解由方程AB+E=A2+5,合并含有未知矩陣B的項(xiàng)，得(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E).0又，A - E = 010110,其行列式det(A-E)=-1X0,故A-E可逆，用00.(A-E)t左乘上式兩邊，即得201B=A+E=030.10217 .設(shè)通=由昭(1,一2,1),84=254-8£：,求B.解由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣A，因此仍從公式AA,=|A|E著手.為此，用A左乘所給方程兩邊，得AA9BA=2ABA-8A,又，|A|=-2聲0,故A是可逆矩陣，用力7右乘上式兩邊,得|A|B=24B-8E

33、=>(2A+2E)B=8E=>(A+E)B=4E.注意到4+ENdiag(l,-2,l)+diag(l,l,l)=diag(2,-l,2)是可逆矩陣，且(A+E)1=diag(11,1)，于是B=4(A+E)t=diag(2,-4.2).18 .已知矩陣A的伴隨陣已=diag(l,l,l,8),且ABAT=5A-i+3E,求B.解先由4來(lái)確定|A|.由題意知4T存在，有A=|A|A-1得IA'|=|A門A”=|All而IA*1=8,故|A|=2.再化簡(jiǎn)所給矩陣方程ABABAl+3E=>(A-E)5A7=3E=>(A-E)B=3A=>(E-A'*)B

34、=3E.由IAI=2,知41=A=-ydiag(l,l»1»8)=diag(；,；,4,4得(E-A-i)7=diag(2,2,2,一；).于是B=3(E-A-1)-'=3diag(2,2t2,"jj=diag(6t6,6,-l).19 .設(shè)P-1P=A，其中P=(-；),求A”.解本題與教材例13相仿.因74。=/1,故A=PAP-L于是AU=PAUP_,=f：-mH；./=-2：)(一；二)_1/1+2”-4+2,3_/27312732=3-i-2h-4-2,7-683-684/11:1-120 .設(shè)AP=PA,其中P=10-2,A=15J1T11求3

35、（A）=k（5E-6A+A2）.Ill解因|=I0-2=-6W0,故P是可逆陣.于是，由AP=P41-11得八=/>4。7,并且記多項(xiàng)式少（1）=/（5-61+，），有3（A）=Pw（A）p7.因A是三階對(duì)角陣，故.于是3(人)=diag(w( - 1),，)=diag( 12,0,0) t13 ( A ) = 11注，由于少(人)除(1)元外均是0,故在求P時(shí)，只需計(jì)算P的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元的代數(shù)余子式A“，Azi和A”.：21 .設(shè)A*=O&為正整數(shù))，證明E-A可逆，并且其逆矩陣(E-A)r證由(七-4)(七+4+/12+；+A'-')

36、=E+A+A"'-A-A?-一A"=E-O=E,由定理2之推論知E-A可逆，且其逆矩陣(E-A)7=E+A+A>*1.注判斷矩陣B是否為A的逆矩陣,眼直接、取簡(jiǎn)單的方法就是驗(yàn)證AB(或者BA)是否等于單位矩陣，就像判斷3是否為;的逆只需驗(yàn)證JX3是否等于1一樣.下一題及例2.1都是這一思想的應(yīng)用.22 .設(shè)方陣A滿足(2.4)證明A及A+2E都可逆，并求7及(4+2后)-1.解先證A可逆.由(2.4)式得A(A-E)=2E,也就是A信(A-E)卜E.由定理2之推論知A是可逆的，且Ai=*(A-E);再證A+2E可逆.用例2.1的解法，由(A+2E)(A-3E)

37、=A?-A-6E=2E-6E=-4E,(A+2E)j(3E-A)=同理，知A+2E可逆，且(A+2E)t=!(3E-A).23 .設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A'也可逆，且(A)7=(At)».證因A/T=|AlE及由定理2的推論知A可逆，且(A尸=一九另一方面，因=|A'llE.用A左乘此式兩邊得(A*1)'=|A'l|A=比較上面兩個(gè)式子，即知結(jié)論成立.24 .設(shè)n階矩陣A的伴隨陣為A*,證明:(1)若"I=0.明"。=0:(2)I=|=|A|.證因AeA=lA|E,(2.5)當(dāng)IA1=0時(shí)，上式成為A*A=O.要證Ia1=0,用

38、反證法:設(shè)l/TIWO,由矩陣可逆的充要條件知，A是可逆矩陣，用(A)“左乘上式等號(hào)兩邊，得A=O.于是推得A的所有階子式，亦即A的所有元素均為零.這導(dǎo)致A*=O.此與A為可逆矩陣矛盾.這一矛盾說(shuō)明，當(dāng)|Al=0時(shí)，|T1=0.(2)分兩種情形：情形1:|加=0.由(1),|=0=|4|"，結(jié)論成立；情形2：|A|工0.在(2.5)式的兩邊取行列式，得|A'|A|=|A-A|=|A|Ej=lA|M.于是|A'I=|A|-'.注本題(2)的結(jié)果值得記取.25.計(jì)算0 02 11 00 20 0312 -1-230 -3解與教材例15相同，本題練習(xí)分塊矩陣乘法.記

39、原式A H B12)(1 .一:一:)26 ,設(shè) A =原式:34 0 04-30000 2 000 2 21252012-400-43000-9，求|川|及火.解若記4=(。J其中2C二)4叱方，則4成為一個(gè)分塊對(duì)角矩陣,于是lAi|=|A|8=(|Al|A2|)8=|A1|i|A1|,=10,*O25 Q0 25 =25E，故 A：54£；A2=2（；）,故 A；=2'看習(xí)題6）,代人即得27.540000540000242600 0 24.設(shè)n階矩陣A與$階矩陣5都可逆，求(：:CB（1）因A和8均可逆，作分塊陣OBlc，由分塊矩陣乘法規(guī)則,AOI于是c款工F弋.力可逆

40、，且（：'=（:、）E.Q9的逆陣，就是求+s階方陣X,使第=E.(2.6)為此，根據(jù)原矩陣的分塊情況，對(duì)X作一樣的分塊,/XuXnx2lX»其中Xm'Xu,Xz-Xn是未知矩陣（為明確起見，它們依次是nX，X$,sX*sXs矩陣）,把上式代入（2.6）式得到（o（"）（：）（比較上式兩端兩個(gè)矩陣，有A*“CXn+BX2iCXl2+BXnAXUaxI2CXI2cxlt于是得=瓦=XH=A-=O=>X|2=o；+BX22=EtBX21=Et=>x22=+BX2i=O=>BX21=-CX、i=一CA-l=>X2l=一A-1O-BlCAlB

41、，28.求下列矩陣的逆陣:5200210000850032(1)將分塊為A=21AO0212000310004,，因IAJ=1,1A/=1,故它們均可逆.于是由分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)，有A；1 OO1- 200- 2500002-500- 38；）.因1例=a74 0-1 324-12- 1231=2412-3012- 4-5008-20006,圮A弋*=（；2（；2,|C|=12,故C均是可逆陣.由27題的結(jié)論，得習(xí)題解答1.用初等行變換把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣:102.-1(1)203I;3043,02-3(2)03-404-7(3)-13-4-35-4-23-2一34一23120一28-3

42、73;-1一3-7-2-430431_003上廣3勺0°2-1-202-3(2)03-404-7-311(01-12-31-1-3,-1 2-1 -3-1 31 0 50 13；0 0 00100lo01-13-43-35-4(3)2-23-23一34-2-1010002-3-220000-2-334，兇一叩o0個(gè)3。20-2-4-1111-88912-7781L可。10°+7。1002-1000-111-2)fl0-1。+014r4O0020-2-1030140001 22.設(shè) A= 2 35 40102341-1 -2-3-2-6 12 18 5，3+6丁 1°

43、;3445，求一個(gè)可逆陣P,使PA為行班簡(jiǎn)形.32人123(A,E)=234,5432-107-61-320110-1-2故p=2-10，并且A的行最簡(jiǎn)形為PA=01237一6lj00003.設(shè)A=(一;_；求一個(gè)可逆陣P,使PA為行最簡(jiǎn)形;(2)求一個(gè)可逆陣。，使QA'為行般簡(jiǎn)形./ -53解(1) (AfE)=, 2 -11 00 4 1 30 1/12 -110 1/(2) (AE) =n-3r|于是Q =3-40，且PA10,02-110-1;)01 0為A的行最簡(jiǎn)形;5 0，并且 QAT =-71 03 -1001.110013-425-701為4T的行最簡(jiǎn)形.0.4.試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q,求下列方陣的逆陣:153.(2)3010-22-2102-321-21解記所給的矩陣為A.(A,E)=2-10ri-2t9-422-100r3-r(-2)r1-9r3A+4372-1922120A,E,由定理1之推論，知A可逆，且2_-22-2102-32，4-2+2,?1030-22-20001000-3202-329-2121000-211-215-101I000100010000001000100000010000100013221TJ000100000