Matlab小波變換對奇異點的檢測

1、Matlab小波變換對于奇異點的檢測1信號的突變性突變信號又稱奇異信號，突變信號的突變點經(jīng)常攜帶比較重要的信息,是信號的重要特征之一。在數(shù)字信號處理和數(shù)字圖像處理中具有非常重要的作用和地位，信號的突變性檢測是先對原信號在不同尺度上進行“磨光”，再對磨光后信號的一階或二階倒數(shù)檢測其極值點或過零點。對信號進行磨光處理，主要是為了消除噪聲而不是邊緣。傳統(tǒng)的信號突變檢測方法是基于傅立葉變換的，由某一函數(shù)的傅立葉變換趨近于零的快慢來推斷該函數(shù)是否具有突變性，但它只能反映信號的整體突變性，而對信號的局部突變則無法描述。這樣我們就引入小波變換算法。2信號的突變點的檢測原理設(shè)h(t)是函數(shù)f(t)和g(t)的

2、卷積，即：則根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)有：=所以得到：若將函數(shù)f(t)看作是信號，g(t)看作是濾波器，那么信號的導(dǎo)數(shù)與濾波器的卷積結(jié)果可以看作是濾波器的導(dǎo)數(shù)與信號的卷積。例如，如果選g(t)為高斯函數(shù)，則利用其導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)造Morlet小波和Maar小波，因此，小波變換的突變點和極值點與信號f(t)的突變點和極值點具有對應(yīng)關(guān)系，利用小波可以檢測突變信號。具體過程如下：設(shè)是一個起平滑作用的低通平穩(wěn)函數(shù)，且滿足條件 通常取為高斯函數(shù)，即假設(shè)是二次可導(dǎo)的，并且定義則函數(shù)、滿足小波的容許條件：，因此可用做小波母函數(shù)。若記，則表示在尺度因子s下的伸縮。由于小波變換就是將原信號同伸縮小波卷積得到的，為此以為小波

3、函數(shù)定義的卷積型小波變換為：由此可見，小波變化分別是函數(shù)在尺度s下由平滑后再取一階、二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)s較小時，用對平滑的結(jié)果對的突變位置影響不大；當(dāng)s較大時，則此平滑過程會將的一些細小的突變削去，而只剩下大尺寸的突變。由此我們可知，當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的局部極值點對應(yīng)信號的突變點（或邊緣）。當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的過零點，也對應(yīng)信號的突變點（或邊緣）。這就是采用檢測小波變換系數(shù)模的過零點和局部極值點可檢測信號突變點（或邊緣）的原理。Matlab小波變換檢測奇異點 原始信號是含有奇異點的信號，為確定該奇異點的時間，采用haar小波

4、進行連續(xù)小波變換后，在對系數(shù)進行分析處理。仿真程序如下：figure(1)plot(cuspamax)xlabel('時間');ylabel('幅值');title('頻率突變信號');figure(2)c,l=wavedec(cuspamax,5,'db6');cfd=zeros(5,1024);for k=1:5 d=detcoef(c,l,k); d=d(ones(1,2k),:); cfd(k,:)=wkeep(d(:)',1024)endcfd=cfd(:);I=find(abs(cfd)<sqrt(eps

5、);cfd(I)=zeros(size(I);cfd=reshape(cfd,5,1024);colormap(pink(64);img=image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row');set(get(img,'parent'),'YtickLabel',);title('離散小波變換后系數(shù)的絕對值')ylabel('層數(shù)');figure(3)ccfs=cwt(cuspamax,1:32,'haar','plot');title('連續(xù)小波變換系數(shù)的

6、絕對值')colormap(pink(64);ylabel('尺度')xlabel('時間(或者空間)') 程序的運行結(jié)果如下圖所示： 圖1 原始信號的示意圖 圖2 db6連續(xù)小波變換后系數(shù)圖3 haar連續(xù)小波變換后系數(shù)命令行輸出結(jié)果如下：Name Size Bytes Class caption 1x71 142 char cuspamax 1x1024 8192 double arraay 結(jié)論 原始信號載入后有矩陣表示，其中矩陣大小為1*1024，矩陣名為cuspamax。矩陣是以雙精度表示相應(yīng)的圖像顯示如圖1所示。對原始先信號使用db6小波在尺

7、度132上進行連續(xù)小波變換。相應(yīng)系絕對值的圖像如圖2所示。從圖3的原始信號連續(xù)小波變換系數(shù)的示意圖可以清楚的看出，在t=710時，小波系數(shù)出現(xiàn)了一個倒錐形的區(qū)域，以此，可以推斷在該區(qū)域存在突變點。小波分析在檢測突變點應(yīng)用中具有傅立葉變換無法比擬的優(yōu)越性。傅里葉變換，拉普拉斯變換和Z變換的意義 【傅里葉變換】 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。  傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看

8、待問題的角度。  我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函

9、數(shù)值。  傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。  對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關(guān)系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系？  傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。  想一想這個問題：給你很多正弦信號，

10、你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。    傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。  傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂

11、無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。   【拉普拉斯變換】 工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，

12、對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。  在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來表示；在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應(yīng)用.【Z變換】 在數(shù)字信號處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應(yīng)用中，我們往往只需要分析信號或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，也即是說通常只需要進行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進Z變換呢？   【三者關(guān)系】 傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里

13、葉變換之后的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢？因為有的信號主要在時域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機械的振動，人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當(dāng)我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時域無所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與

14、頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因為如此，在通常的信號與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。   拉普拉斯變換是以法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對連續(xù)信號的分析。拉普拉斯和傅里葉都是同時代的人，他們所處的時代在法國是處于拿破侖時代，國力鼎盛。在科學(xué)上也取代英國成為當(dāng)時世界的中心，在當(dāng)時眾多的科學(xué)大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關(guān)于信號可以分解為正弦信號疊加的論文，其評審人即包括拉普拉斯和拉格朗日。  傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內(nèi)絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信號ex是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數(shù)信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信號乘上指數(shù)信號之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18世紀(jì)計算機還遠未發(fā)明的時候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號為e0。也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達形式。