時(shí)間序列分析總復(fù)習(xí)

1、 王茂林 一、選擇題1.已知2000-2006年某銀行的年末存款余額，要計(jì)算各年平均存款余額，該平均數(shù)是:（ b ） a. 幾何序時(shí)平均數(shù)； b.“首末折半法”序時(shí)平均數(shù)；c. 時(shí)期數(shù)列的平均數(shù)； d.時(shí)點(diǎn)數(shù)列的平均數(shù)。2.某地區(qū)糧食增長(zhǎng)量19901995年為12萬噸，19962000年也為12萬噸。那么，19902000年期間，該地區(qū)糧食環(huán)比增長(zhǎng)速度（ d ）a.逐年上升 b.逐年下降 c.保持不變 d.不能做結(jié)論3.某商業(yè)集團(tuán)20002001年各季度銷售資料如下：2000年2001年123412341.零售額（百萬）2.季初庫(kù)存額（百萬）3.流通費(fèi)用額（百萬）4.商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次/季）40

2、203.81.9542213.219.538222.81.6544243.21.848253.01.8850263.12.0440233.11.6360284.02.03上表資料中，是總量時(shí)期數(shù)列的有（ d ）a. 1、2、3 b. 1、3、4 c. 2、4 d. 1、34.利用上題資料計(jì)算零售額移動(dòng)平均數(shù)（簡(jiǎn)單，4項(xiàng)移動(dòng)平均），2001年第二季度移動(dòng)平均數(shù)為（a ）a. 47.5 b. 46.5 c. 49.5 d. 48.4二、判斷題1.連續(xù)12個(gè)月逐期增長(zhǎng)量之和等于年距增長(zhǎng)量。2.計(jì)算固定資產(chǎn)投資額的年平均發(fā)展速度應(yīng)采用幾何平均法。3.用移動(dòng)平均法分析企業(yè)季度銷售額時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)時(shí)，

3、一般應(yīng)取4項(xiàng)進(jìn)行移動(dòng)平均。4.計(jì)算平均發(fā)展速度的水平法只適合時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)間序列。5.某公司連續(xù)四個(gè)季度銷售收入增長(zhǎng)率分別為9%、12%、20%和18%，其環(huán)比增長(zhǎng)速度為0.14%。正確答案：（1）錯(cuò)；（2）錯(cuò)；（3）對(duì)；（4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)。三、計(jì)算題：1某企業(yè)2000年8月幾次員工數(shù)變動(dòng)登記如下表：8月1日8月11日8月16日8月31日1 2101 2401 3001 270試計(jì)算該企業(yè)8月份平均員工數(shù)。解：該題是現(xiàn)象發(fā)生變動(dòng)時(shí)登記一次的時(shí)點(diǎn)序列求序時(shí)平均數(shù)，假設(shè)員工人數(shù)用y來表示，則： 該企業(yè)8月份平均員工數(shù)為1260人。2. 某地區(qū)“十五”期間年末居民存款余額如下表：（單位：百萬） 年份20

4、0020012002200320042005存款余額7 0349 11011 54514 74621 51929 662試計(jì)算該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額。解：居民存款余額為時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算序時(shí)平均數(shù)。 15053.60（百萬）該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額為15053.6百萬。3.某企業(yè)2007年產(chǎn)品庫(kù)存量資料如下： 單位：件日期庫(kù)存量日期庫(kù)存量日期庫(kù)存量1月1日1月31日2月28日3月31日636088464月30日5月31日6月30日7月31日8月31日50557048499月30日10月31日11月30日12月31日6068545

5、8試計(jì)算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均庫(kù)存量。解：產(chǎn)品庫(kù)存量是時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算平均庫(kù)存量。 計(jì)算公式：第一季度平均庫(kù)存量：0（件）第二季度平均庫(kù)存量：3（件）上半年平均庫(kù)存量：2（件）下半年平均庫(kù)存:（件）全年的平均庫(kù)存量： （件）4.某企業(yè)20002005年底工人數(shù)和管理人員數(shù)資料如下： 單位：人年份工人數(shù)管理人員數(shù)年份工人數(shù)管理人員數(shù)2000200120021 0001 2021 1204043502003200420051 2301 2851 415526064試計(jì)算19912005年該企業(yè)管理人員數(shù)占工人數(shù)的平均比重。解：本題是

6、計(jì)算相對(duì)數(shù)序時(shí)平均數(shù)。計(jì)算公式： y：管理人員占工人數(shù)的比重；a：管理人員數(shù)；b：工人數(shù)。 20012005年企業(yè)管理人員占工人數(shù)的平均比重為4.255某地區(qū)20002005年社會(huì)消費(fèi)品零售總額資料如下： 單位：億元200020012002200320042005社會(huì)消費(fèi)品零售總額8 2559 38310 98512 23816 05919 710要求：計(jì)算全期平均增長(zhǎng)量、平均發(fā)展速度和平均增長(zhǎng)速度，并列表計(jì)算(1)逐期增長(zhǎng)量和累積增長(zhǎng)量；(2)定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度；(3)定基增長(zhǎng)速度和環(huán)比增長(zhǎng)速度；(4)增長(zhǎng)1%的絕對(duì)值。解： 單位：億元年度2000200120022003200420

7、05社會(huì)消費(fèi)品零售額（）8255938310985122381605919710逐期增長(zhǎng)量（）11281602125338213651累積增長(zhǎng)量（）_112827303983780411455定基發(fā)展速度（）(%)_113.66133.07148.25194.54238.76環(huán)比發(fā)展速度（）(%)_113.66117.07111.41131.22122.73定基增長(zhǎng)速度（）(%)_13.6633.0748.2594.5438.76環(huán)比增長(zhǎng)速度（）(%)_13.6617.0711.4131.2222.73增長(zhǎng)1的增長(zhǎng)量（/100）_82.5593.83109.85122.38160.59 平均增

8、長(zhǎng)量2291（億元）平均發(fā)展速度平均增長(zhǎng)速度119.0110019.016某地區(qū)2006年末人口數(shù)為2000萬人，假定以后每年以9的速度增長(zhǎng)，又知該地區(qū)2006年GDP為1240億元。要求到2010年人均GDP達(dá)到9500元，試問該地區(qū)2010年的GDP應(yīng)達(dá)到多少？2007年到2009年GDP的年均增長(zhǎng)速度應(yīng)達(dá)到多少？解：2004年末該地區(qū)人口：2054.49（萬人） 2005年末該地區(qū)人口：2072.98（萬人） 2005年該地區(qū)的平均人口為：（2054.49+2072.98）/2=2063.76(萬人) 所以，該地區(qū)2005年的GDP：95002063.7619605625（萬元） 200

9、22004年該地區(qū)GDP的年均增長(zhǎng)速度：所以，要使2005年的人均GDP達(dá)到9500元，20022005年GDP的年均增長(zhǎng)速度應(yīng)達(dá)到12.13。7.某企業(yè)19932007年產(chǎn)品產(chǎn)量資料如表：要求：(1)進(jìn)行三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻。(2)根據(jù)修勻后的數(shù)據(jù)用最小二乘法配合直線趨勢(shì)方程，并據(jù)以計(jì)算各年的趨勢(shì)值。(3)預(yù)測(cè)2009年該企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量。 單位：件年份產(chǎn)量年份產(chǎn)量年份產(chǎn)量199319941995199619973444164354404501998199920002001200246848649652258020032004200520062007580569548580629解：（1）

10、三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻： 年份19931994199519961997數(shù)據(jù)三項(xiàng)移動(dòng)平均344416398.33435430.33440441.67450452.67年份19981999200020012002數(shù)據(jù)三項(xiàng)移動(dòng)平均468468486483.33496501.33522532.67580367.33年份20032004200520062007數(shù)據(jù)三項(xiàng)移動(dòng)平均580576.3569565.67548565.67580585.67629（2）直線趨勢(shì)方程：將修勻后的數(shù)據(jù)代入最小二乘法求參數(shù)的公式：，可得：最小二乘法計(jì)算表年份時(shí)間變量ti產(chǎn)量yiti2tiyi19941398.331398.

11、3319852430.334860.6619963441.6791325.0119974452.67161810.681998546825234019996483.33362899.9820007501.33493509.3120018532.67644261.3620029367.33813305.97200310576.31005763200411565.671216222.37200512567.671446812.04200613585.671697613.71合 計(jì)916370.9781947122.42根據(jù)方程計(jì)算各年的趨勢(shì)值，得到如下數(shù)據(jù)：年份趨勢(shì)值1994406.8119954

12、20.691996434.571997448.451998462.33年份趨勢(shì)值1999476.212000490.092001503.972002517.852003531.73年份趨勢(shì)值2004545.612005559.492006573.372007587.25 （3）根據(jù)配合的方程，對(duì)2009年企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。2002年時(shí)，t15，所以預(yù)測(cè)值為：（件）8某市集市2004-2007年各月豬肉銷售量（單位：萬公斤）如下表: 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月2004200520062007404340555052647241455862394156604548

13、6770536574866879849873869510850647687486068784345566338415258試分別用同期平均法和移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)。解：（1）用同期平均法中的比率平均法計(jì)算季節(jié)指數(shù) 第一、計(jì)算各周期月平均數(shù)： ，得：49，55.75，65.83，74.75 第二、計(jì)算各指標(biāo)值的季節(jié)比率和季節(jié)比率的平均數(shù)： 季節(jié)比率： 季節(jié)比率平均數(shù)：計(jì)算季節(jié)比率和季節(jié)比率平均數(shù)（最后一行是季節(jié)比率平均數(shù)，其余是季節(jié)比率），結(jié)果如下： 月年12345678910111219980.821.020.840.80.921.081.391.491.020.980.880.7819

14、990.770.930.810.740.861.171.421.541.151.080.810.7420000.610.970.880.851.021.121.281.441.151.030.850.7920010.740.960.830.80.941.151.311.441.161.040.840.780.730.970.840.800.931.131.351.481.121.030.840.77第三，計(jì)算季節(jié)指數(shù)： 首先計(jì)算之和：12 所以，各時(shí)期的季節(jié)比率等于其季節(jié)指數(shù)。（2）用移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)年月豬肉銷售量中心化移動(dòng)平均數(shù)季節(jié)比率季節(jié)比率的平均數(shù)200412345678910

15、111220051234567891011122006123456789101112200712344050413945536873504843384352454148657986646045414064585667748495766856525572626049.1349.3349.5849.8350.0450.6751.6352.6353.7554.8355.4255.6355.635657.0458.2159.6360.7961.3861.9662.8363.6764.4665.3866.4667.4267.9268.2568.5469.1770.2571.3872.3873.251.3

16、841.481.0080.9630.8590.750.8330.9880.8370.7480.8661.1691.421.5361.1221.0310.7550.6740.6521.0330.9230.881.0391.1321.2641.4091.1190.9960.8170.7520.7831.0090.8570.8191.361.471.0810.810.730.761.010.870.820.951.155678910708698108877873.9674.50.9461.154由于，所以，季節(jié)指數(shù)等于季節(jié)平均數(shù)。9.某地區(qū)1998年到2007年的GDP如下表，請(qǐng)選擇最適合的值，并用

17、一次指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)1992年2001年的GDP（單位：億元）。年份GDP年份GDP19981999200020012002216266345450577200320042005200620076797488168951 036解：本題取平滑初始值為1998、1999和2000年GDP的算術(shù)平均數(shù)，275.67。按照均方根誤差最小的原則選取的值。具體過程略，最后選定，預(yù)測(cè)值如下所示： 年份19981999200020012002GDP216266345450577預(yù)測(cè)值275.67344.31448.94575.72年份20032004200520062007GDP67974881689510

18、36預(yù)測(cè)值677.97747.3815.31894.21034.58一、隨機(jī)過程(Stochastic Process)定義 設(shè)（,F,P）是概率空間，T是給定的參數(shù)集，如果對(duì)于任意tT，都有一定義在（,F ,P）上的隨機(jī)變量X(t,)與之對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族X(t,),tT為隨機(jī)過程。簡(jiǎn)記為X(t,),tT或Xt,tT 或XT離散參數(shù)的隨機(jī)過程也稱為隨機(jī)序列或（隨機(jī)）時(shí)間序列。上述定義可簡(jiǎn)單理解成：隨機(jī)過程是一簇隨機(jī)變量Xt,tT，其中T表示時(shí)間t的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻t而言，Xt是一普通的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。當(dāng)t=0,1,2,時(shí)，即時(shí)刻t只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過

19、程Xt,tT可寫成如下形式，Xt,t=0,1,2,。此類隨機(jī)過程Xt是離散時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，稱它為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程的等間隔采樣序列，即Xt,t=0,1,2,就是一個(gè)離散隨機(jī)序列。二、時(shí)間序列的概率分布和數(shù)值特征1、時(shí)間序列的概率分布一個(gè)時(shí)間序列便是一個(gè)無限維的隨機(jī)向量。一個(gè)無限維隨機(jī)向量X=(,X-1,X0,X1,)/的概率分布應(yīng)當(dāng)用一個(gè)無限維概率分布描述。根據(jù)柯爾莫哥夫定理，一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述。時(shí)間序列所有的一維分布是：，F(xiàn)-1()，F(xiàn)0()，F(xiàn)1(),所有二維分布是：Fij(，)， i，j=0,1,2,(ij)一個(gè)時(shí)間序列的所有有

20、限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。2、時(shí)間序列的均值函數(shù)一個(gè)時(shí)間序列的均值函數(shù)是指：其中EXt表示在t固定時(shí)對(duì)隨機(jī)變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數(shù)Ft()有關(guān)。3、時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)與隨機(jī)變量之間的協(xié)方差相似，時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)定義為：其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯(lián)合分布。類似可以定義時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，即：時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)： （1） 對(duì)稱性：（2） 非負(fù)定性：對(duì)任意正整數(shù)m和任意m個(gè)整數(shù)k1, k2,。 km，方陣為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)且有(t,t)=1。三、平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)時(shí)間序列是時(shí)

21、間序列分析中一類重要而特殊的隨機(jī)序列，時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是關(guān)于平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析。（一）兩種不同的平穩(wěn)性定義： 1、 嚴(yán)平穩(wěn)：如果對(duì)于時(shí)間t的任意n個(gè)值和任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程的n維分布滿足關(guān)系式：則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。 2、寬平穩(wěn)：若隨機(jī)過程的均值（一階矩）和協(xié)方差存在，且滿足（1）（2）則稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。通常說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)。二者的聯(lián)系：（）嚴(yán)寬：因?yàn)閷捚椒€(wěn)要求期望和協(xié)方差存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，而不能斷言一、二階矩存在。（）寬嚴(yán)，這是不言而喻的。（）嚴(yán)平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)。但反過來一般不成立。（）對(duì)于正態(tài)過程來說，有：嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)（二）平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)

22、為了敘述方便，常假定平穩(wěn)時(shí)間序列的均值為零，即。用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)，即相應(yīng)地，的自相關(guān)函數(shù)用以下記號(hào)平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)列和自相關(guān)函數(shù)列具有以下性質(zhì)：（1） 對(duì)稱性：；（2） 非負(fù)定性：對(duì)于任意正整數(shù)m，為非負(fù)定對(duì)稱方陣；（3） 。（三）平穩(wěn)序列的樣本統(tǒng)計(jì)量（1） 樣本均值時(shí)間序列無法獲得多重實(shí)現(xiàn)，多數(shù)時(shí)間序列僅包含一次實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)序列用時(shí)間均值代替總體均值。即 上式的估計(jì)是無偏的。（2） 樣本自協(xié)方差函數(shù)第一式是有偏估計(jì)，第二式是無偏估計(jì)，但有效性不如第一式。其它概率性質(zhì)和偏自相關(guān)函數(shù)的定義將在以后章節(jié)介紹。四、幾類特殊的隨機(jī)過程（序列）：1、純隨機(jī)過程：隨機(jī)過程如

23、果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，則稱其為純隨機(jī)過程。2、白噪聲序列（White noise）：如果時(shí)間序列滿足以下性質(zhì)：（1）（2）式中，當(dāng)ts時(shí)，。稱此序列為白噪聲序列，簡(jiǎn)稱白噪聲。白噪聲是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。（3）獨(dú)立同分布序列：如果時(shí)間序列中的隨機(jī)變量Xt,t=0,1,2,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而且Xt具有相同的分布，稱這樣的時(shí)間序列為獨(dú)立同分布序列。獨(dú)立同分布序列是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)序列。一般說，白噪聲序列與獨(dú)立同分布序列是不同的兩種序列，當(dāng)白噪聲序列為正態(tài)序列時(shí)，它也是獨(dú)立同分布序列，此時(shí)稱之為正態(tài)白噪聲序列。（4）獨(dú)立增量隨機(jī)過程：對(duì)于任意正整數(shù)n，任意，隨機(jī)變量相互獨(dú)立

24、。簡(jiǎn)單地講，就是任意兩相鄰時(shí)刻上的隨機(jī)變量之差（增量）是相互獨(dú)立的。（5）二階矩過程：若隨機(jī)過程對(duì)每個(gè)的均值和方差存在，則稱之為二階矩過程。（6）正態(tài)過程：若的有限維分布都是正態(tài)分布，則稱為正態(tài)隨機(jī)過程。主要介紹三種單變量模型：自回歸（AR）模型、移動(dòng)平均（MA）模型和自回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型。第一節(jié) 自回歸模型一、一階自回歸模型AR(1) 如果時(shí)間序列獨(dú)立，就是說事物的后一時(shí)刻的行為主要與其前一時(shí)刻的行為毫無關(guān)系。這樣的資料所揭示甲統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立地隨機(jī)變動(dòng)，系統(tǒng)無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存性。后一時(shí)刻的行為主要與前一時(shí)刻的行為有關(guān)，而與其前一時(shí)刻以前的行為無

25、直接關(guān)系，即已知Xt-1；Xt主要與Xt-1相關(guān)。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動(dòng)態(tài)性。描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型。即 記作AR（1）。其中Xt 零均值平穩(wěn)序列，t 為隨機(jī)擾動(dòng)。1、 一階自回歸模型的特點(diǎn)Xt對(duì)Xt-1有線性相關(guān)關(guān)系t為獨(dú)立正態(tài)同分布序列2、 AR（1）與普通一元線性回歸的關(guān)系一元線性回歸一階自回歸兩個(gè)變量，Y為隨機(jī)變量，X為確定性變量；一個(gè)變量，為隨機(jī)變量；為白噪聲序列，;；;還可假定為正態(tài)分布。主要區(qū)別：（1） 普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應(yīng)的觀測(cè)值；（）模型只需要一組隨機(jī)變量的觀測(cè)值。（2） 普通一無線性回歸表示的是一隨機(jī)變

26、量對(duì)另一個(gè)確定性變量的依存關(guān)系；而AR（1）表示的是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)其自身過去值的依存關(guān)系。（3） 普通線性回歸是在靜態(tài)的條件下研究的；AR（1）是在動(dòng)態(tài)的條件下研究的。（4） 二者的假定不同。（5） 普通回歸模型實(shí)質(zhì)是一種條件回歸，而AR（1）是無條件回歸。主要聯(lián)系：固定時(shí)刻t-1，且觀察值Xt-1已知時(shí)，AR（1）就是一個(gè)普通的一元線性回歸。二、 AR（1）模型的特例隨機(jī)游動(dòng)、 隨機(jī)游動(dòng)模型 、模型的特性（） 系統(tǒng)具有極強(qiáng)的一期記憶性，系統(tǒng)在t-1和t時(shí)刻的響應(yīng)，除隨機(jī)擾動(dòng)外，完全一致，差異完全是由擾動(dòng)引起的。（） 在時(shí)刻t-1時(shí)，系統(tǒng)的一步超前預(yù)測(cè)就是系統(tǒng)在t-1時(shí)的響應(yīng)Xt-1，即。（）

27、 系統(tǒng)行為是一系列獨(dú)立隨機(jī)變量的和，即 三、一般自回歸模型AR(n)其中：為白噪聲，。第二節(jié) 移動(dòng)平均模型一、 一階移動(dòng)平均模型MA（1）如果系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)t存在一定的相關(guān)關(guān)系，則有MA（1）模型： 其中：為白噪聲。MA（1）模型的基本假設(shè)為：（1）系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)t有一定的依存關(guān)系；（2）為白噪聲。二、 一般移動(dòng)模型MA（m）模型的形式：其中：（1）Xt僅與， ，有關(guān)，而與（j=m+1,m+2,）無關(guān)；（2）為白噪聲。第三節(jié) 自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型一、 ARMA（2，1）模型 1、ARMA（2，1）模型的形式：其中：與、和有相關(guān)關(guān)

28、系，白噪聲。2、ARMA（2，1）模型的結(jié)構(gòu)：ARMA（2，1）模型是由一個(gè)AR（2）和一個(gè)MA（1）兩部分構(gòu)成。3、ARMA（2，1）與AR（1）的區(qū)別從模型形式看，ARMA（2，1）比AR（1）的項(xiàng)數(shù)多；從模型的動(dòng)態(tài)性看，ARMA（2，1）比AR（1）具有更長(zhǎng)的記憶；從計(jì)算所需的資料看，ARMA（2，1）需要用t期以前的，這需要從初期開始遞歸地計(jì)算出來，通常取零；從參數(shù)估計(jì)來看，ARMA（2，1）比AR（1）困難。二、 ARMA（n，n-1）模型ARMA（n，n-1）模型的基本假設(shè)為：獨(dú)立于（j=n,n+1,）,從而獨(dú)立于（j=n+1,n+2,）.三、ARMA(n，n-1)模型的合理性 為

29、什么我們以ARMA(n，n-1)模型為一般形式來建立時(shí)序模型呢?難道一個(gè)ARMA(n，n-1)模型總可以描述一個(gè)時(shí)間序列嗎?對(duì)于平穩(wěn)系統(tǒng)來說，這是毫無疑問的。之所以以ARMA(n，n-1)為基本模型是因?yàn)橄率隼碛桑?第一，AR、MA、ARMA(n，m)模型都是ARMA(n，n-1)模型的特殊情形。 第二，理論依據(jù)：用Hilbert空間線性算子的基本理論可以證明，對(duì)于任何平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，我們都可以用一個(gè)ARMA(n，n-1)模型近似到我們想要達(dá)到的程度；用差分方程的理論也可以證明，對(duì)于n階自回歸，MA模型的階數(shù)應(yīng)該是n-1。第三，從連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程來看，ARMA(n，n1)也是合理的。在一個(gè)n

30、階自回歸線性微分方程和任意階的移動(dòng)平均數(shù)的形式下，如果一個(gè)連續(xù)自回歸移動(dòng)平均過程在一致區(qū)間上抽樣，那么，這個(gè)抽樣過程的結(jié)果是ARMA(n，n-1)?！菊鹿?jié)實(shí)驗(yàn)】利用Eviews軟件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。第三章 ARMA模型的特性本章為本書重點(diǎn)之一，主要掌握三類模型的格林函數(shù)形式、平穩(wěn)性和可逆性條件、AFC和PAFC的形式和特點(diǎn)。第一節(jié) 線性差分方程一、 后移(Backshift)算子:1. 定義：后移算子B定義為，從而。2. 后移算子的性質(zhì)：(1) 常數(shù)的后移算子為常數(shù)：(2) 分配律：(3) 結(jié)合律：(4) 后移算子B的逆為前移算子(5) 對(duì)于，無限求和得前面的MA(m)模型

31、、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分別表示為： 其中：二、 線性差分方程 可將寫成 這里 差分方程通解為： 這里，C (t)是齊次方程解，I (t)是特解。三、 齊次方程解的計(jì)算無重根 考慮齊次差分方程 其中 假定G1，G2，Gn是互不相同，則在時(shí)刻t的通解： 其中Ai為常數(shù)（可由初始條件確定）。重根 設(shè)有d個(gè)相等的根，可驗(yàn)證通解為 對(duì)一般情形，當(dāng)?shù)囊蚴椒纸鉃?齊次方程解便是 因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項(xiàng)Gt、多項(xiàng)式tj、衰減正弦項(xiàng)Dtsin(2f0t+F)，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。上述過程中計(jì)算并不方便，通常通過解方程得到其根為：。由于的根與的根互為倒數(shù)，因此。非齊次方程的特

32、解通常情況下不容易得到，沒有一個(gè)“萬能鑰匙”，需要具體問題具體分析，只能對(duì)一些具有特殊形式非齊次項(xiàng)的方程進(jìn)行討論。此處叢略。第二節(jié) 格林函數(shù)(Greens function)和平穩(wěn)性(Stationarity)一、 格林函數(shù)(Greens function)1、 定義：設(shè)零均值平穩(wěn)序列能夠表示為 （1）則稱上式為平穩(wěn)序列的傳遞形式，式中的加權(quán)系數(shù)稱為格林（Green）函數(shù)，其中。2、 格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。式（1）可以記為 （2）其中。式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時(shí)刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“”的作用而生成，是j個(gè)單位時(shí)間以前加入系統(tǒng)的干擾項(xiàng)對(duì)現(xiàn)實(shí)響

33、應(yīng)的權(quán)，亦即系統(tǒng)對(duì)的“記憶”。二、 AR（1）系統(tǒng)的格林函數(shù)由AR（1）模型 即： 則AR(1)模型的格林函數(shù)。如若，則隨著j的增大而緩慢減小，表明系統(tǒng)的記憶較強(qiáng)；相反，若，則隨著j的增大而急劇減小，表明系統(tǒng)的記憶較弱.例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1和-0.9的AR（1）系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的記憶情況（三個(gè)序列由同一正態(tài)白噪聲序列模擬生成）： 比較前后三個(gè)不同參數(shù)的圖，可以看出：（） 取正值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較平坦。（） 取負(fù)值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較大。（） 越大，系統(tǒng)響應(yīng)回到均衡位置的速度越慢，時(shí)間越長(zhǎng)。由于其中，因此AR（1）模型可用一個(gè)無限階MA來逼近，這說明AR模型是一種長(zhǎng)效記憶模型。三、AR系統(tǒng)的平穩(wěn)性

34、1、由平穩(wěn)性的定義求AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件將AR（1）模型兩邊平方再取數(shù)學(xué)期望，得到 如果序列是平穩(wěn)的，則有，由上式可得 由于是非負(fù)的，所以，從而，這就是AR（1）模型的平穩(wěn)性條件。利用滯后算子B，AR（1）模型可以寫為 式中，那么平穩(wěn)性條件就等價(jià)于的根在單位圓外（或的根落在單位圓內(nèi)）。上述平穩(wěn)條件可以推廣到AR（n）模型，即其中：的平穩(wěn)性條件為：的根在單位圓外（或的根在單位圓內(nèi)）。2、由格林函數(shù)求AR(1)模型的平穩(wěn)性條件對(duì)于AR(1)系統(tǒng)來說，其平穩(wěn)性條件也可以由格林函數(shù)得出。如果系統(tǒng)受擾后，該擾動(dòng)的作用漸漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)響應(yīng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)回到均衡位置，那么，該系統(tǒng)就是平穩(wěn)的

35、。相對(duì)于格林函數(shù)來說，就是隨著j，擾動(dòng)的權(quán)數(shù)，由于故必有j，顯然， 這就是AR(1)系統(tǒng)平穩(wěn)性條件。反過來，若，則稱AR(1)為漸近穩(wěn)定的，也必是平穩(wěn)的。 時(shí)，=1; 當(dāng)=1時(shí),=(-1)j 當(dāng)=-1時(shí)這時(shí)，雖然響應(yīng)不回到其均衡位置，但仍是有界的，這時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的，系統(tǒng)可能存在某種趨勢(shì)或季節(jié)性。 當(dāng)時(shí)，j，任意小的擾動(dòng)只要給定足夠的時(shí)間，就會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)正負(fù)趨于無窮，永遠(yuǎn)不會(huì)回到其均衡位置，這時(shí)系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的，當(dāng)然是非平穩(wěn)的。例：求AR（2）模型的平穩(wěn)域解：特征方程 的根，根據(jù)AR模型的平穩(wěn)性的條件由于是實(shí)數(shù)，必同為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，由于，因此 故AR（2）模型的平穩(wěn)域?yàn)樗?、格林函?shù)與Wol

36、d分解(Wolds Decomposition)所謂Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一個(gè)平穩(wěn)過程分解成不相關(guān)的隨機(jī)變量的和。由于這一思想是由Wold引入(1938年)到時(shí)序分析中的，故叫做Wold分解。他認(rèn)為可以用線性空間來解釋ARMA模型的解。在n維線性空間Ln中，n個(gè)線性無關(guān)的向量稱為空間的一組基。設(shè)可由線性表示： 其中由向量和唯一確定，稱為向量關(guān)于基的坐標(biāo)。如果用線性空間的觀點(diǎn)來看AR(1)模型的解由于是相互獨(dú)立的，可看作線性空間的基(或無限維坐標(biāo)軸)，顯然可由線性表示，其系數(shù)就是對(duì)于的坐標(biāo)，就是的正交向量的和。因而上式也叫做Wold分解式，其系數(shù)叫Wold系數(shù)。格林函數(shù)和Wold

37、系數(shù)是同一客體從不同角度觀察的結(jié)果，二者是完全一致的。Wold系數(shù)是線性空間解釋，格林函數(shù)是系統(tǒng)解釋。五、ARMA模型格林函數(shù)的通用解法ARMA(n,m)模型 且 則 令 則化為比較等式兩邊B的同次冪的系數(shù)，可得由上式，格林函數(shù)可從開始依次遞推算出。思考：MA(m)模型的格林函數(shù)為 例：ARMA（2，1）系統(tǒng)的格林函數(shù)ARMA（2，1）模型可以看作是一個(gè)二階差分方程，設(shè)該方程的解是將上式代入模型中： 利用比較系數(shù)法，B的同次冪必相等，于是：B的指數(shù)：上式可以寫成：即： 上式為一關(guān)于齊次差分方程的形式，其通解為其中：和是特征方程的根；和是任意常數(shù)，其值由初始條件確定。這里的初始條件是：則ARMA

38、（2，1）系統(tǒng)的格林函數(shù)為：ARMA（2，1）模型的格林函數(shù)也可以通過下面的過程求得。根據(jù)Wold分解，平穩(wěn)ARMA（2，1）模型可以寫成即：AR（2）為ARMA（2，1）模型的特殊形式，同樣具有上述關(guān)系。例：ARMA（n，n-1）系統(tǒng)的格林函數(shù)與上面方法相同，ARMA（n，n-1）系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式的遞推式為：其中 由下列式子導(dǎo)出 即 其最終解為：其中：例：ARMA（2，1）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件ARMA（2，1）的平穩(wěn)性條件要求：。由得：，即的根在單位圓內(nèi)。由于ARMA（2，1）的特征方程和AR（2）和形式一樣（或者說和其移動(dòng)平均項(xiàng)系數(shù)無關(guān)），因此其平穩(wěn)域與AR（2）系統(tǒng)的平穩(wěn)域相同，都是：思

39、考：MA模型的平穩(wěn)性條件。第三節(jié) 逆函數(shù)和可逆性（Invertibility）所謂可逆性(Invertibility)是指移動(dòng)平均模型可以用AR模型表示。一、 逆函數(shù)的定義設(shè)是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列能夠表示為則稱上式為平穩(wěn)序列的逆轉(zhuǎn)形式，式中的加權(quán)系數(shù)稱為逆函數(shù)。二、ARMA模型的逆函數(shù)1、ARMA（n,m）模型逆函數(shù)通用解法對(duì)于ARMA（n,m）模型的逆函數(shù)求解模型格林函數(shù)求解方法相同。令 ，則平穩(wěn)序列的逆轉(zhuǎn)形式可表示為 由ARMA(n,m)模型可得仍由先前定義的和，則上式可化為比較上式兩邊B的同次冪的系數(shù)，得到即 由此可從開始推算出。2、AR模型的逆函數(shù) 對(duì)于AR（1）模型 有 則

40、其逆函數(shù) 類似對(duì)于AR（n）模型有 其逆函數(shù)為：3、MA模型的逆函數(shù)對(duì)于MA（1）模型，則， ， ，即 比較上式兩邊B的同次冪的系數(shù)得從而有 也可以用以下方法求MA（1）模型的逆函數(shù)由得 即可見 與AR（1）討論相類似，上面推導(dǎo)所隱含的可逆性條件為 對(duì)于MA（m）模型的可逆性討論與AR（n）模型平穩(wěn)性的討論是類似的，即： MA（m）模型的可逆性條件為其特征方程的特征根滿足下面所講的逆函數(shù)與格林函數(shù)的關(guān)系也作為求逆函數(shù)的一種選擇。三、和之間的關(guān)系對(duì)于AR（1）模型和MA（1）模型， 注意到 格林函數(shù) 逆函數(shù)AR（1）： MA（1） 可以看出，AR（1）的和MA（1）的形式一致，只是符號(hào)相反，參數(shù)

41、互換。此對(duì)偶性對(duì)其它模型仍然存在，如：ARMA（2，1）的格林函數(shù)為ARMA（1，2）的逆函數(shù)為綜上可知，在格林函數(shù)的表達(dá)式中，用代替，代替，代替，即可得到相對(duì)應(yīng)的逆函數(shù)。四、關(guān)于ARMA模型平穩(wěn)性與可逆性的說明通過上面的討論可知，AR模型不存在可逆性性條件，MA模型不存在平穩(wěn)性條件。因此，對(duì)于ARMA模型的平穩(wěn)性條件是針對(duì)其AR系數(shù)而言，可逆性條件是針對(duì)其MA系數(shù)而言。只有同時(shí)滿足平穩(wěn)性可可逆性條件，ARMA模型才是有意義的。第四節(jié) 自協(xié)方差函數(shù)一、理論自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)對(duì)于ARMA系統(tǒng)來說，設(shè)序列的均值為零，則自協(xié)方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 二、樣本自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算在擬合模型之前，我們所有

42、的只是序列的一個(gè)有限樣本數(shù)據(jù)，無法求得理論自相關(guān)函數(shù)，只能求樣本的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。樣本自協(xié)方差有兩種形式：則相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為 在通常的情況下，我們常采用第一種的計(jì)算方法。三、AR模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)（1） AR（1）模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)AR（1）模型為： 假設(shè)為零均值序列。將上式兩端乘以，并取期望，得 當(dāng)k=0時(shí)，有： 即： 當(dāng) k=1時(shí)，有 即： 當(dāng)k=2時(shí)，有 依此類推，便有一般式：將代入，有， 相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為，即(2)、AR（n）模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)兩邊同乘以 得到取期望，得： 上式兩邊除以 ，可得差分方程：我們注意到，上式類似于過

43、程 自身所滿足的差分方程。假定將上式記為 這里， 記 則差分方程通解： 這里，是特征方程： =0的根。為了保證平穩(wěn)性，則要求 。在實(shí)際應(yīng)用中，如果假定根是互異的，會(huì)出現(xiàn)兩種情況：1 Gi是實(shí)根，這時(shí)在通解 k 中AiGik 隨k增大等比例地衰減到零，我們常稱之為指數(shù)衰減。2 Gi和Gj是一對(duì)共軛復(fù)根，導(dǎo)致在通解出現(xiàn)：使得自相關(guān)函數(shù)呈衰減的正弦振蕩，衰減系數(shù) ，頻率f滿足：方差：當(dāng)k=0時(shí)， 上式兩邊除以 ，并有 ，故方差 可以寫成四、MA模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)（1）MA（1）模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)：將MA（1）模型 兩端同乘以取期望，得當(dāng)k=0時(shí)，有當(dāng)k=1時(shí)，有當(dāng)k=2時(shí)，有

44、可見，對(duì)于MA（1）模型來說（2）MA（m）模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 因此該過程的方差是 且 由此得出自相關(guān)函數(shù)是 對(duì)于MA(m)過程，當(dāng)滯后超出過程的階數(shù)m時(shí)自相關(guān)函數(shù)為零。換言之，滑動(dòng)平均過程的自相關(guān)函數(shù)具有超出m步滯后的截尾性。（上述性質(zhì)用來在B-J建模過程中，識(shí)別MA模型）五、偏自相關(guān)函數(shù)對(duì)于一個(gè)k階AR模型，有：由此得到Y(jié)ule-Walker 方程，記為： 或 Pkk=k當(dāng)已知時(shí)，由該方程組可以解出，。遺憾的是，用該方程組求解時(shí)，需要知道自回歸過程的階數(shù)。因此，我們可以對(duì)連續(xù)的k值求解Yule-Walker方程。對(duì)k=1，2，3， 依次求解方程，得 上述序列為AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)。如果自回歸過程的階數(shù)為n，則對(duì)于kn應(yīng)該有fkk=0。（） 偏自相關(guān)性是條件相關(guān)，是在給定的條件下，和的條件相關(guān)。換名話說，偏自相關(guān)函數(shù)是對(duì)和之間未被所解釋的相關(guān)的度量。（） 由最小二乘原理易得，是作為關(guān)于線性回歸的回歸系數(shù)。（） 由（2）可得，對(duì)于AR（n）模型，當(dāng)kn時(shí)，=0。（此性質(zhì)用來在B-J建模過程中，識(shí)別AR特征）（） 對(duì)于任何平穩(wěn)過程，都可以由Yule