圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題剪輯

1、圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題剪輯例1,弧ADB為半圓，AB為直徑，O為半圓的圓心，且OD垂直于AB，Q為半徑OD的中點(diǎn)，已知AB長為4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且始終保持/PA/+/PB/的值不變。過點(diǎn)D的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求三角形OMN面積的最大值。 例2：已知雙曲線x2-y2/2=1，過點(diǎn)M(1,1)作直線L，使L與已知雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段Q1Q2的中點(diǎn)，問：這樣的直線是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，說明理由。解：假設(shè)存在滿足題意的直線L，設(shè)Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)代人已知雙曲線的方程，得x12-y12/2=1 ， x22-

2、y22/2=1 -，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。當(dāng)x1=x2時，直線L的方程為x=1，此時L與雙曲線只有一個交點(diǎn)(1,0)不滿足題意；當(dāng)x1x2時，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直線L的方程為y-1=2(x-1)檢驗：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判別式=-8 0，此時L與雙曲線無交點(diǎn)。 綜上，不存在滿足題意的直線例3,已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率

3、互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。 （）解 由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。 因為A在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 （）證明 設(shè)直線方程：得，代入得 設(shè)（，），（，）因為點(diǎn)（1，）在橢圓上，所以， 。又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 4,已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求線段MN的長度的最小值；解 方法一（1）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（2）直線AS的斜率

4、顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而，由得0，設(shè)則得，從而 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立時，線段的長度取最小值例5已知點(diǎn),是拋物線上的兩個動點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(1) 證明線段是圓的直徑;(2)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值解析：(I)證明1: 整理得: ，設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因為x-2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個公共點(diǎn)時,該點(diǎn)到直線x-2y=0