離散數(shù)學(xué) 第2章 習(xí)題解答

1、第 2 章 習(xí)題解答1習(xí)題 2.11將下列命題符號化。(1) 4 不是奇數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是奇數(shù)。a：4?！? 不是奇數(shù)。 ”符號化為：A(a)(2) 2 是偶數(shù)且是質(zhì)數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是偶數(shù)。B(x)：x 是質(zhì)數(shù)。a：2?！? 是偶數(shù)且是質(zhì)數(shù)。 ”符號化為：A(a)B(a)(3) 老王是山東人或河北人。解：設(shè) A(x)：x 是山東人。B(x)：x 是河北人。a：老王。“老王是山東人或河北人。 ”符號化為：A(a)B(a)(4) 2 與 3 都是偶數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是偶數(shù)。a：2，b：3?！? 與 3 都是偶數(shù)。 ”符號化為：A(a)A(b)(5) 5 大于 3。解：設(shè)

2、 G(x,y)：x 大于 y。a：5。b：3?！? 大于 3。 ”符號化為：G(a,b)(6) 若 m 是奇數(shù)，則 2m 不是奇數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是奇數(shù)。a：m。b：2m?！叭?m 是奇數(shù)，則 2m 不是奇數(shù)。 ”符號化為：A(a)A(b)(7) 直線 A 平行于直線 B 當且僅當直線 A 不相交于直線 B。解：設(shè) C(x,y)：直線 x 平行于直線 y。設(shè) D(x,y)：直線 x 相交于直線 y。a：直線 A。b：直線 B?！爸本€ A 平行于直線 B 當且僅當直線 A 不相交于直線 B。 ”符號化為：C(a,b)D(x,y) (8) 小王既聰明又用功，但身體不好。解：設(shè) A(x)：x

3、 聰明。B(x)：x 用功。C(x)：x 身體好。a：小王。“小王既聰明又用功，但身體不好。 ”符號化為：A(a)B(a)C(a)(9) 秦嶺隔開了渭水和漢水。解：設(shè) A(x,y,z)：x 隔開了 y 和 z。a：秦嶺。b：渭水。c：漢水?！扒貛X隔開了渭水和漢水。 ”符號化為：A(a,b,c)(10) 除非小李是東北人，否則她一定怕冷。解：設(shè) A(x)：x 是東北人。B(x)：x 怕冷。a：小李?！俺切±钍菛|北人，否則她一定怕冷。 ”符號化為：B(a)A(a)2將下列命題符號化。并討論它們的真值。(1) 有些實數(shù)是有理數(shù)。解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。Q(x)：x 是有理數(shù)?！坝行崝?shù)是有理

4、數(shù)。 ”符號化為：(x)(R(x)Q(x)第 2 章 習(xí)題解答2它的真值為：真。(2) 凡是人都要休息。解：設(shè) R(x)：x 是人。S(x)：x 要休息?！胺彩侨硕家菹?。 ”符號化為：(x)(R(x)S(x)它的真值為：真。(3) 每個自然數(shù)都有比它大的自然數(shù)。解：設(shè) N(x)：x 是自然數(shù)。G(x,y)：x 比 y 大?！懊總€自然數(shù)都有比它大的自然數(shù)。 ”符號化為：(x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)它的真值為：真。(4) 烏鴉都是黑的。解：設(shè) A(x)：x 是烏鴉。B(x)：是黑的?！盀貘f都是黑的。 ”符號化為：(x)(A(x)B(x)它的真值為：真。(5) 不存在比所有火車都快

5、的汽車。解：設(shè) A(x)：x 是汽車。B(x)：是火車。K(x,y)：x 比 y 快。“不存在比所有火車都快的汽車。 ”符號化為：(x)(A(x)(y)(B(y)K(x,y)它的真值為：真。(6) 有些大學(xué)生不佩服運動員。解：設(shè) S(x)：x 是大學(xué)生。L(x)：是運動員。B(x,y)：x 佩服 y?！坝行┐髮W(xué)生不佩服運動員。 ”符號化為：(x)(S(x)L(y)B(x,y)它的真值為：真。(7) 有些女同志既是教練員又是運動員。解：設(shè) W(x)：x 是女同志。J(x)：x 是教練員。L(x)：x 是運動員?！坝行┡炯仁墙叹殕T又是運動員。 ”符號化為：(x)(W(x)J(x)L(x)它的真

6、值為：真。(8) 除 2 以外的所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是質(zhì)數(shù)。B(x)：x 是奇數(shù)。C(x,y)：x 不等于 y?！俺?2 以外的所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。 ”符號化為：(x)(A(x)C(x,2)B(x)它的真值為：真。3指出一個個體域，使下列被量化謂詞的真值為真，該個體域是整數(shù)集合的最大子集。在以下各題中，A(x)表示：x0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：xy=0(1) (x)A(x)解：正整數(shù)集合 Z+。(2) (x)A(x)解：整數(shù)集合 Z。(3) (x)B(x) 解：集合5 。(4) (x)B(x)解：整數(shù)集合 Z。第 2 章 習(xí)題解答3(5) (x)(y)C(

7、x,y)解：整數(shù)集合 Z。4分別在全總個體域和實數(shù)個體域中，將下列命題符號化。(1) 對所有的實數(shù) x，都存著實數(shù) y，使得 xy=0解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。B(x,y)：xy=0。在實數(shù)個體域符號化為：(x)(y)B(x,y)在全總個體域符號化為：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)(2) 存在著實數(shù) x，對所有的實數(shù) y，都有 xy=0 解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。B(x,y)：xy=0。在實數(shù)個體域符號化為：(x)(y)B(x,y)在全總個體域符號化為：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)(3) 對所有的實數(shù) x 和所有的實數(shù) y，都有 xy=yx解：設(shè) R(x)

8、：x 是實數(shù)。B(x,y)：x=y。在實數(shù)個體域符號化為：(x)(y)B(x+y,y+x)在全總個體域符號化為：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x+y,y+x)(4) 存在著實數(shù) x 和存在著實數(shù) y，使得 xy=100解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。B(x,y)：xy=100。在實數(shù)個體域符號化為：(x)( y)B(x,y)在全總個體域符號化為：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)習(xí)題 2.21. 指出下列公式中的約束變元和自由變元。(1) (x)(P(x)Q(y)解：約束變元：x，自由變元：y(2) (x)(P(x)R(x)(x)P(x)Q(x)解：約束變元：x，自由變元：x(3

9、) (x)(P(x)(x)Q(x)(x)R(x,y)Q(z)解：約束變元：x，自由變元：y，z(4) (x)(y) (R(x,y)Q(z)解：約束變元：x，y，自由變元：z(5) (z) (P(x)(x)R(x,z)(y)Q(x,y)R(x,y)解：約束變元：x，y，z，自由變元：x，y 2. 對下列謂詞公式中的約束變元進行換名。(1) (x)(y)(P(x,z)Q(x,y)R(x,y)解：將約束變元 x 換成 u：(u)(y)(P(u,z)Q(u,y)R(x,y)將約束變元 y 換成 v：(x)(v)(P(x,z)Q(x,v)R(x,y)(2) (x)(P(x)(R(x)Q(x,y)(x)R

10、(x)(z)S(x,z)解：將前面的約束變元 x 換成 u，后面的約束變元 x 換成 v：第 2 章 習(xí)題解答4(u)(P(u)(R(u)Q(u,y)(v)R(v)(z)S(x,z)將約束變元 z 換成 w：(x)(P(x)(R(x)Q(x,y)(x)R(x)(w)S(x,w)3. 對下列謂詞公式中的自由變元進行代入。(1) (y)Q(z,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)解：將自由變元 z 用 u 代入：(y)Q(u,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,u)將自由變元 y 用 v 代入：(y)Q(z,y)(x)R(x,v)(x)S(x,v,z)(2) (y)P(x,y)(z)Q

11、(x,z)(x)R(x,y)解：將自由變元 x 用 u 代入：(y)P(u,y)(z)Q(u,z)(x)R(x,y)將自由變元 y 用 v 代入：(y)P(x,y)(z)Q(x,z)(x)R(x,v)4. 利用謂詞公式對下列命題符號化。(1) 每列火車都比某些汽車快。解：設(shè) A(x)：x 是火車。B(x)：x 是汽車。C(x,y)：x 比 y 快?！懊苛谢疖嚩急饶承┢嚳臁?”符號化為：(x)(A(x)(y)(B(y)C(x,y)(2) 某些汽車比所有火車慢。解：設(shè) A(x)：x 是火車。B(x)：x 是汽車。C(x,y)：x 比 y 快?！澳承┢嚤人谢疖嚶?。 ”符號化為： (x)(B(x

12、)(y)(A(y)C(y,x) (3) 對每一個實數(shù) x，存在一個更大的實數(shù) y。解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。G(x,y)：x 比 y 大?！皩γ恳粋€實數(shù) x，存在一個更大的實數(shù) y。 ”符號化為：(x)(R(x)(y)(R(y)G(y,x)(4) 存在實數(shù) x，y 和 z，使得 x 與 y 之和大于 x 與 z 之積。解：設(shè) R(x)：x 是實數(shù)。G(x,y)：x 比 y 大?！按嬖趯崝?shù) x，y 和 z，使得 x 與 y 之和大于 x 與 z 之積。 ”符號化為：(x)(y)(z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz)(5) 所有的人都不一樣高。解：設(shè) R(x)：x 是人。G(x,y

13、)：x 和 y 一樣高?！八械娜硕疾灰粯痈摺?”符號化為：(x)(y)(R(x)R(y)G(x,y)5. 自然數(shù)一共有下述三條公理：a) 每個數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的后繼數(shù)。b) 沒有一個數(shù)使數(shù) 1 是它的后繼數(shù)。c) 每個不等于 1 的數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的直接先驅(qū)數(shù)。用兩個謂詞表達上述三條公理。注：設(shè) n 是不等于 1 的自然數(shù)，則 n1 是 n 的后繼數(shù)，n1 是 n 的先驅(qū)數(shù)。解：設(shè) A(x)：x 是數(shù)。B(x,y)：x 是 y 后繼數(shù)(根據(jù)定義，也可理解為 y 是 x 先驅(qū)數(shù))。a) “每個數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的后繼數(shù)。 ”符號化為：(x)(A(x)(y)(A(y)B(y,x)

14、(z)(A(z)B(z,x)(z=y) b) “沒有一個數(shù)使數(shù) 1 是它的后繼數(shù)。 ”符號化為：(x)(A(x)B(1,x)c) “每個不等于 1 的數(shù)都有惟一的一個數(shù)是它的直接先驅(qū)數(shù)。 ”符號化為：(x)(A(x)(x=1)(y)(A(y)B(x,y)(z)(A(z)B(x,z)(z=y) 6. 取個體域為實數(shù)集 R，函數(shù) f 在 a 點連續(xù)的定義是：對每個 0，存在一個 0，使第 2 章 習(xí)題解答5得對所有 x，若|xa|，則|f(x)f(a)|。試把此定義用符號化的形式表達出來。解：() (0)()( (0)(x) (|xa|)(|f(x)f(a)|) 7.若定義惟一性量詞(!x)為“存

15、在惟一的一個 x” ，則(!x)P(x)表示“存在惟一的一個 x 使P(x)為真” 。試用量詞，謂詞及邏輯運算符表示(!x)P(x)。解：(!x)P(x)(x)P(x)(y)P(y)(y=x)習(xí)題 2.31. 設(shè)個體域為 D=1,2,3，試消去下列各式的量詞。(1) (x)P(x)解：(x)P(x)P(1)P(2)P(3)(2) (x)P(x)(y)Q(y)解：(x)P(x)(y)Q(y)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(3) (x)P(x)(y)Q(y)解：(x)P(x)(y)Q(y)(P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)(4) (x)(P(x)Q(x)解：

16、(x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)(P(3)Q(3)(5) (x)P(x)(y)Q(y)解：(x)P(x)(y)Q(y) (P(1)P(2)P(3)(Q(1)Q(2)Q(3)2. 求下列各式的真值。(1) (x)(y)H(x,y) 其中 H(x,y)：xy，個體域為 D=4,2解：(x)(y)H(x,y)(y)H(2,y)(y)H(4,y)(H(2,2)H(2,4)(H(4,2)H(4,4)(00)(10)010(2) (x)(S(x)Q(a)p 其中 S(x)：x3，Q(x)：x=5，a：3，p：53，個體域為 D=-1,3,6解：(x)(S(x)Q(a)p(S(-

17、1)Q(3)(S(3)Q(3)(S(6)Q(3)(53)(00)(00)(10)1(110)1111(3) (x)(x2-2x+1=0) 其中個體域為 D=-1,2解：(x)(x2-2x+1=0)(1)22(1)1=0)(22221=0)(4=0)(1=0)0003. 證明下列各式。其中：B 是不含變元 x 的謂詞公式。(1) (x)(S(x)R(x)(x)S(x)(x)R(x)證明：(x)(S(x)R(x)(x)(S(x)R(x)(x)S(x)(x)R(x)(x)S(x)(x R(x)(x)S(x)(x)R(x)(2) (x)(y)(S(x)R(y)(x)S(x)(y)R(y)第 2 章 習(xí)

18、題解答6證明：(x)(y)(S(x)R(y)(x)(y)(S(x)R(y)(x)S(x)(y)R(y)(x)S(x)(y)R(y)(x)S(x)(y)R(y)(3) (x)(A(x)B)(x)A(x)B 證明：(x)(A(x)B)(x)(A(x)B)(x)A(x)B(x)A(x)B(x)A(x)B(4) (x)(BA(x)B(x)A(x)證明：(x)(BA(x)(x)(BA(x)B(x)A(x)B(x)A(x)(5) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)證明：因為(x)(A(x)B(x)，所以對于任意個體 c，A(c)B(c)和 A(c)，從而有 B(c)，由 c的任意性有(x

19、)B(x)，根據(jù) CP 規(guī)則，(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)(6) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)證明：(x)(A(x)B(x)(x)(A(x)B(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)同理，(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)B(x)(x)A(x)所以，(x)(A(x)B(x)(x)(B(x)A(x)(x)A(x)(x)B(x)(x)B(x)(x)A(x)而(x)A(x)(x)B(x)(x)B(x)(

20、x)A(x)(x)A(x)(x)B(x)故有(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)4. 判斷下列證明是否正確。(x) (A(x)B(x)(x) (A(x)B(x)(x)(A(x)B(x)(x) (A(x)B(x)(x) A(x)(x)B(x)(x) A(x)(x)B(x)(x) A(x)(x)B(x)(x) A(x)(x)B(x)解：下列的推理是錯的：(x) (A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)習(xí)題 2.41. 求下列各式的前束范式。(1) (x)P(x)(x)Q(x)解：(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)(P(x)Q(x)(2) (x)P(

21、x)(x)Q(x) 解：(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)(y)Q(y)(x)(y) (P(x)Q(y)(3) (x)(y)(z)A(x,y,z)(u)B(x,u)(v)B(x,v)解：(x)(y)(z)A(x,y,z)(u)B(x,u)(v)B(x,v)(x)(y)(z)(u)(A(x,y,z)B(x,u)(v)B(x,v)第 2 章 習(xí)題解答7(x)(y)(z)(u)(v)(A(x,y,z)B(x,u)B(x,v)(4) (x)(y)(z)(A(x,z)B(x,z)(u)R(x,y,u)解：(x)(y)(z)(A(x,z)B(x,z)(u)R(x,y,u

22、)(x)(y)(z)(u)(A(x,z)B(x,z)R(x,y,u)(5) (x)(y)A(x,y)(x)(y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B(x,y)解：(x)(y)A(x,y)(x)(y)(B(x,y)(y)(A(y, x)B(x,y)(x)(y)A(x,y)(x)(y)(B(x,y)(z)(A(z,x)B(x,z)(x)(y)A(x,y)(u)(v)(z)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)(x)(y)(u)(v)(z)(A(x,y)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)(x)(y)(u)(v)(z)(A(x,y)(B(u,v)(A(z,u)B(u,z)2. 求下列各式的前

23、束合取范式。(1) (x)(P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)解：(x)(P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y)(y)R(x,y)(x)(z)(P(x)Q(z,y)(u)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)Q(z,y)R(x,u)(x)(z)(u)(P(x)R(x,u)(Q(z,y)R(x,u)(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x) R(x,y)解：(x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x) R(x,y)(x)(u)(P(

24、x,u)Q(u,z)(v)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)Q(u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R(v,y)(Q(u,z)R(v,y)(3) (y)Q(z,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)解：(y)Q(z,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)(u)Q(z,u)(x)R(x,y)(v)S(v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)3. 求下列各式的前束析取范式。(1) (x)(P(x)(y)(x)Q(x,y)(z)R(x,y,z)解：(x)(P(x)(y)(

25、x)Q(x,y)(z)R(x,y,z)(x)(P(x)(y)(x)Q(x,y)(z)R(x,y,z)(x)(P(x)(y)(u)(z)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)(u)(z)(P(x)(Q(u,y)R(x,y,z)(x)(y)(u)(z)(P(x)Q(u,y)R(x,y,z)(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)R(x,y)解：(x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)R(x,y)(x)(u)(P(x,u)Q(u,z)(v)R(v,y)第 2 章 習(xí)題解答8(x)(u)(v)(P(x,u)Q(u,z)R(v,y)(x)(u)(v)(P(x,u)R(v,y)(Q(u

26、,z)R(v,y)(3) (y)Q(z,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)解：(y)Q(z,y)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)(u)Q(z,u)(x)R(x,y)(x)S(x,y,z)(u)(x)(Q(z,u)R(x,y)(x)S(x,y,z)(u)(x)(Q(z,u)R(x,y)(v)S(v,y,z)(u)(x)(v)(Q(z,u)R(x,y)S(v,y,z)習(xí)題 2.51證明下列各式。(1) (x)(F(x)(G(y)R(x)，(x)F(x)(x)(F(x)R(x)證明： (x)F(x)P F(c)ES (x)(F(x)(G(y)R(x)P F(c)(G(y)R(c)U

27、S G(y)R(c)T假言推理 R(c)T化簡律 F(c)R(c)T合取引入 (x)(F(x)R(x)EG(2) (x)(F(x)G(x)，(x)(R(x)G(x)(x)(R(x) F(x)證明： (x)(R(x)G(x)P R(c)G(c)US (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)F(c)T假言易位式 R(c)F(c)T假言三段論 (x)(R(x)F(x)UG(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (x)，(x)R(x)(x)F(x)證明： (x)R(x)P R(c)US (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US G(c)T拒取式 (x)(F(x)

28、G(x)P F(c)G(c)US F(c)T析取三段論第 2 章 習(xí)題解答9 (x)F(x)UG(4) (x)F(x)(y)(F(y)G(y)R(y)，(x)F(x)(x)R(x)證明： (x)F(x)P F(c)ES (x)F(x)(y)(F(y)G(y)R(y)P (y)(F(y)G(y)R(y)T假言推理 (F(c)G(c)R(c)US F(c)G(c)T附加律 R(c)T假言推理 (x)R(x)UG2用 CP 規(guī)則證明下列各式。(1) (x)(F(x)R(x)(x)F(x)(x)R(x)證明： (x)F(x)P(附加前提) F(c)US (x)(F(x)R(x)P F(c)R(c)US

29、 R(c) T假言推理 (x)R(x)UG (x)F(x)(x)R(x)CP(2) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x)(x)R(x)(x)F(x)證明： (x)R(x)P(附加前提) R(c)US (x)(G(x)R(x)P (x)(G(x)R(x)T量詞否定等價式 (G(c)R(c) US G(c)R(c)T德摩根律 G(c)T析取三段論 (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T析取三段論 (x)F(x)UG (x)R(x)(x)F(x)CP(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x) (x)R(x)(x)F(x)證明： (x)R(x)P(附

30、加前提) (x)R(x) T量詞否定等價式 R(c)ES (x)(G(x)R(x)P 第 2 章 習(xí)題解答10 G(c)R(c)US G(c)T析取三段論 (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T拒取式 (x)F(x)EG (x)R(x)(x)F(x)CP3用歸謬法證明下列各式。 (1) (x)(F(x)G(x)(x)F(x)(x)G (x)證明： (x)F(x)(x)G (x)P(附加前提) (x)F(x)(x)G (x) T德摩根律 (x)F(x)(x)G (x)T量詞否定等價式 (x)F(x)T化簡律 F(c)ES (x)G(x)T化簡律 G(c)US (x)(F(x

31、)G(x)P F(c)G(c)US F(c)T析取三段論 F(c)F(c)(矛盾)T合取引入(2) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (x)，(x)R(x)(x)F(x)證明： (x)F(x)P(附加前提) (x)F(x) T量詞否定等價式 F(c)ES (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)T析取三段論 (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US R(c)T假言推理 (x)R(x)P R(c)US R(c)R(c)(矛盾)T合取引入(3) (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x)， (x)R(x) (x)F(x)證明： (x)R(x) P R(c)ES (x)F(x)P(附加前提) (x)F(x) T量詞否定等價式第 2 章 習(xí)題解答11 F(c)US (x)(F(x)G(x)P F(c)G(c)US G(c)T假言推理 (x)(G(x)R(x)P G(c)R(c)US R(c)T析取三段論 R(c)R(c)(矛盾)T合取引入4證明下面推理。(1) 每個有理數(shù)都是實數(shù)。有的有理數(shù)是整數(shù)。因此，有的實數(shù)是整數(shù)。解：首先將命題符號化：Q(x)：x 是有理數(shù)。 R(x)：x 是實數(shù)。Z(x)：x 是整數(shù)。 本題要證明：(x)(Q(x)R(x), (x)(Q(x)Z(x)(x)(R(x)Z(x)證明： (x)(Q(x)Z(x)P Q(c