《數(shù)學(xué)思維方法》論文 之公理化方法及公理化體系應(yīng)如何與初等數(shù)學(xué)教育相結(jié)合

1、數(shù)學(xué)思維方法論文公理化方法及公理化體系應(yīng)如何與初等數(shù)學(xué)教育相結(jié)合學(xué)生姓名： 學(xué)生學(xué)號： 專業(yè)班級： 公理化方法及公理化體系應(yīng)如何與初等數(shù)學(xué)教育相結(jié)合摘要：本文首先闡述公理化方法的概念、公理化的產(chǎn)生以及公理化方法的基本要求，在此基礎(chǔ)上接著闡述了公理化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程以及數(shù)學(xué)美學(xué)教學(xué)中的意義和作用。通過對這些問題的研究，我們對公理化方法的意義和作用有了更深刻的理解，因而對公理化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到一定的作用。關(guān)鍵詞：公理化 數(shù)學(xué)教學(xué)公理化方法既是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)方法，又是一個(gè)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中極其重要的方法。它是歐幾里德研究幾何圖形和總結(jié)數(shù)學(xué)成果的思想方法，它是從最少的公理出發(fā)，通過歸

2、納、演繹獲得整個(gè)理論體系的思想方法。它支撐著整座幾何大廈，無處不在、無時(shí)不有，應(yīng)用廣泛，容易保留在人們的長時(shí)記憶中。公理化方法就是從盡可能少的不加定義的原始概念和一組不證自明的命題出發(fā)，利用純邏輯推理的法則，推導(dǎo)出其余的命題和定理，把數(shù)學(xué)建立成演繹系統(tǒng)的一種方法。1公理化方法是對幾何學(xué)的整理和研究創(chuàng)造出來的科學(xué)方法之一，它在幾何學(xué)的發(fā)展中產(chǎn)生并且逐步完善，使幾何學(xué)在邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系中起了重要的作用，它是認(rèn)識論、辯證法和邏輯學(xué)的統(tǒng)一，它是幾何學(xué)發(fā)展的必然產(chǎn)物和重要成果。2公理化系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)就是一組原始概念和公理，因此如何去選原始概念和設(shè)置公理是公理化的關(guān)鍵。由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性集中表現(xiàn)是公理化

3、方法，因此對公理化提出了嚴(yán)格的要求，而對公理化的嚴(yán)格要求也就轉(zhuǎn)化為對原始概念的選取和對公理設(shè)置的要求。因此希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上提出了嚴(yán)格要求的標(biāo)準(zhǔn)：所設(shè)置的公理組必須滿足：“相容性、獨(dú)立性、完備性?！?盡管公理化系統(tǒng)要求非常嚴(yán)格，要求建立一個(gè)合格的令人滿意的公理化非常困難，但公理化方法的思想?yún)s非常簡單，公理化的出發(fā)點(diǎn)是一組不加定義的原始概念和一組不加證明的公理，也就是說由原始概念和公理可以推演出整個(gè)理論體系，而原始概念、公理是人們已經(jīng)認(rèn)識了并確定為真的知識（或命題）。因此，公理化方法的思想用希爾伯特的話來說就是：“用公理化方法進(jìn)行研究就等于用自己已經(jīng)掌握了的東西進(jìn)行思考”4公理化方法

4、的基本思想對整個(gè)數(shù)學(xué)乃至對科學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的一種很有用的方法，而邏輯思維能力是公理化方法的一個(gè)主要特征，因此，對于數(shù)學(xué)內(nèi)容的選取應(yīng)綜合各方面的因素，在學(xué)生可接受的前提下，以一種相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓砘绞?，漸進(jìn)地使學(xué)生了解公理化方法的思想內(nèi)核，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，演繹推理能力公理是諸基本概念相互關(guān)系的規(guī)定，這些規(guī)定必須是必要的而且合理的，因此一個(gè)嚴(yán)格完善的公理體系對于公理選取和設(shè)置必須具備以下三點(diǎn)：(1)相容性：公理化的相容性是指同一公理系統(tǒng)中的公理不能相矛盾。(2)獨(dú)立性：公理化的獨(dú)立性是指公理系統(tǒng)中所有公理不能互相推出。(3)完備性：即要求能確實(shí)保證從公理系統(tǒng)中

5、能推出所研究的數(shù)學(xué)分支的全部命題，而且在推理過程中，不能加以任何直覺。3數(shù)學(xué)教材雖然不是嚴(yán)格完整的公理體系，但卻處處體現(xiàn)了公理化方法的基本思想，也可以說只要開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就已進(jìn)入某一數(shù)學(xué)公理體系，也就自然而然地接觸到公理化的基本思想。因此，數(shù)學(xué)公理化有其重要的教學(xué)意義，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該突出數(shù)學(xué)公理化方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)中到處都體現(xiàn)了公理化思想，所以說在數(shù)學(xué)教學(xué)中，公理化方法也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。由于公理化的出發(fā)點(diǎn)是“已經(jīng)掌握了的知識”，這就說明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)起相當(dāng)重要的作用。教師應(yīng)努力創(chuàng)設(shè)情境激活學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識學(xué)習(xí)有關(guān)的各種基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生能在已經(jīng)掌握的知識的基礎(chǔ)

6、上，進(jìn)行思考新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以保證學(xué)生學(xué)習(xí)的順利進(jìn)行。只有貫徹在“已經(jīng)掌握了的知識”的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考的人類，才能征服自然勢力，創(chuàng)造繁榮富強(qiáng)的社會(huì)，而我們理想之極樂世界才有實(shí)現(xiàn)的可能，這個(gè)擔(dān)子是要老師挑起的。4為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，近幾年新課程改革轟轟烈烈地進(jìn)行著，這也就促使我們思考這樣一個(gè)問題：初等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該如何呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容呢？新課程改革在數(shù)學(xué)的幾何方面，加強(qiáng)了對學(xué)生的動(dòng)手能力的培養(yǎng)、創(chuàng)造力的培養(yǎng)和直覺能力的培養(yǎng)，而減少幾何證明的推理過程，削弱了對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。我認(rèn)為，雖然學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)造力等能力的培養(yǎng)很重要，但是也不能忽視學(xué)生的邏輯思維能力，因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是為了解決一

7、些數(shù)學(xué)問題，更重要的是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握一些數(shù)學(xué)方法，獲得一些解決問題的能力。課程內(nèi)容的選擇，一是要實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化，把現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、文化的前沿性研究成果以適當(dāng)?shù)男问郊皶r(shí)地反映在學(xué)科教學(xué)內(nèi)容中；二是要把握初等教育課程改革的新動(dòng)向，使課程內(nèi)容切合初等教育課程改革與發(fā)展的需求；三是要精選教材，同時(shí)要加強(qiáng)校本課程的開發(fā)，組織編寫適合初等教育專業(yè)特點(diǎn)的新教材。為了做好這三個(gè)方面的工作，我們采用教師自修研究、訪學(xué)進(jìn)修、集體研討、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等方式，了解學(xué)科發(fā)展的最新動(dòng)態(tài)，提高專任教師的學(xué)科學(xué)術(shù)水平。同時(shí)組織教師開展師范教育與初等教育的對接研究，熟悉和掌握新的小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，補(bǔ)充新課程教學(xué)需要的新內(nèi)容，以滿

8、足學(xué)生專業(yè)發(fā)展的需求。在這個(gè)基礎(chǔ)上，組織教師編寫講義和教材。公理化方法認(rèn)為：學(xué)習(xí)是在已經(jīng)掌握了的知識上進(jìn)行思考。所以知識不能由教師或其他人簡單地傳授給學(xué)生，而是學(xué)生個(gè)體主動(dòng)地根據(jù)自己已掌握的知識進(jìn)行思考，從而達(dá)到對知識的發(fā)現(xiàn)和理解。這一觀點(diǎn)確認(rèn)了在教學(xué)過程生的主體地位，要求教師樹立正確的教學(xué)觀，學(xué)生不應(yīng)被動(dòng)地接受教學(xué)知識,而應(yīng)積極思考，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系。由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有社會(huì)性，是在學(xué)校這一特定環(huán)境中，由教師指導(dǎo)來完成的，因此在確認(rèn)學(xué)生在教學(xué)過程中主體地位的同時(shí)，還應(yīng)充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景應(yīng)該有利于啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在學(xué)生思考過程中遇到困難時(shí)，教師應(yīng)以

9、指導(dǎo)者的身份給學(xué)生以示范或啟發(fā)6。綜上所述，公理化思想對樹立正確的數(shù)學(xué)教學(xué)觀有積極意義，由于數(shù)學(xué)教學(xué)觀在教學(xué)過程中起決定性作用，因此，數(shù)學(xué)公理化對數(shù)學(xué)教學(xué)改革也是有啟發(fā)的。公理化方法思想的基本條件之一是已經(jīng)掌握的知識，另一個(gè)是在掌握知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考。只有具備這兩個(gè)條件才能發(fā)現(xiàn)新的知識，才能有所創(chuàng)新，所以說公理化方法在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力方面也有一定的影響。關(guān)于公理化方法的意義和作用，隨著時(shí)代的發(fā)展，人們的認(rèn)識不斷提高還有待于進(jìn)一步研究。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用公理化方法的一是有重要的意義：能夠更好的理清數(shù)學(xué)中的各種概念、命題和定理之間的關(guān)系；能夠把公理化方法應(yīng)用在其它領(lǐng)域，有利于培養(yǎng)更多的人才，有利于未來

10、社會(huì)的更好發(fā)展。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用公理化方法的意識，是一項(xiàng)長期而又艱巨的任務(wù)，這需要各方面的支持和努力。教學(xué)手段的更新，就是要改變黑板加粉筆這樣一種落后的教學(xué)手段，而代之以多媒體技術(shù)為核心的現(xiàn)代化教學(xué)手段，這一點(diǎn)對課程的有效實(shí)施非常重要?，F(xiàn)代化教學(xué)手段的運(yùn)用，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能增大課堂教學(xué)容量，提高教學(xué)效率。課程實(shí)踐中，我們一方面充分利用全校共享的教學(xué)設(shè)備設(shè)施，另一方面，還裝備了系級的多媒體教室、微格教室，購置和自制了教學(xué)軟件，要求每一位專業(yè)任課教師能自制課件，能熟練地運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)。到目前為止，90%以上的人專業(yè)必修課的教學(xué)都使用了現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，從而保證了課程教學(xué)的質(zhì)量。參考文獻(xiàn)1徐利治數(shù)學(xué)方法論選講M武漢：華中理工大學(xué)出版社，1988：47-612D.Hilbert著江澤涵譯.幾何基礎(chǔ)M北京：北