人教版七年級上冊數(shù)學(xué) 第一章 有理數(shù)全章講義

1、初一數(shù)學(xué)有理數(shù)全章講義1.1正數(shù)和負數(shù)知識點歸納一、 正數(shù)和負數(shù)的定義正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面加上正號“+”，但是正數(shù)前面的正號“+”，一般省略不寫。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“-”的數(shù)叫做負數(shù)。負數(shù)前面的負號“-”不能省略。注：對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單地理解為帶“+”的數(shù)就是正數(shù)，帶“-”的數(shù)就是負數(shù)。eg：-a不一定是負數(shù)，因為字母a可以表示任何數(shù)，當a是正數(shù)時，-a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時，-a則是一個正數(shù)，而不是負數(shù)；當a表示0時，-a就是在0前面加上一個負號，仍是0,0不分正負。二、具有相反意義的量正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。若用正數(shù)表示某種意義的量，

2、則負數(shù)就表示與其相反的量，反之亦然。常見的表示相反意義的量：零上和零下、前進和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、升高和下降。三、0的意義（重點理解）數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。0是正數(shù)和負數(shù)的分界線。0是一個確定的溫度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意義已經(jīng)不僅是表示“沒有”。典型例題1、下列說法不正確的是（ ）A0不是正數(shù)，也不是負數(shù) B負數(shù)是帶有“-”的數(shù)，正數(shù)是帶有“+”的數(shù)C非負數(shù)是正數(shù)或0 D0是一個特殊的整數(shù)，它并不只是表示“沒有”2、水位上升-0.5cm的意義是（ ）A水位上升0.5cm B水位下降0.5cm C水位沒有變化 D水位下降了5cm3

3、、下列說法錯誤的是（ ）A-5一定是負數(shù) B在正數(shù)前面加上“-”就成了負數(shù)C自然數(shù)一定是正數(shù) D-a不一定是負數(shù)4、下列說法正確的有（ ）不帶負號的數(shù)都是正數(shù) 帶負號的數(shù)不一定是負數(shù) 0表示沒有溫度 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)A.0個 B.1個 C.2個 D3個5、在跳遠測驗中，合格標準是4.00m，小明跳出了4.18m，記作+0.18m，小華跳出了3.96m，應(yīng)記作6、-1,2，-3,4，-5，第81個數(shù)是，第2005個數(shù)是。7、峨眉山上某天的最高氣溫為12，最低氣溫為-4，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高（ ）A.4 B.8 C.12 D.168、一架飛機在距離地面1500米的高空飛行，它第一

4、次下降了-200米，第二次又上升了-100米，第三次下降了300米，此時飛機距離地面多高？9、某蓄水池的標準水位記為0m，如果用正數(shù)表示水面高于標準水位的高度，那么（1）0.08m和-0.2m各表示什么？（2）水面低于標準水位0.1m和高于標準水位0.23m各表示什么？10、2006年我國全年平均降水量比上年減少24毫米，2005年比上年增長8毫米，2004年比上年減少20毫米。用正數(shù)表示這三年我國全年平均降水量比上年的增長量。 1.2.1有理數(shù)知識點歸納一、有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。注：（1）正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。 （2）

5、正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。 （3）對于小數(shù)，只有能化成分數(shù)的小數(shù)才是有理數(shù)。 （4）我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看做分數(shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。 （5）無限循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，因此它不是分數(shù)，也不是整數(shù)，所以就不是有理數(shù)。二、有理數(shù)的分類（重點）按數(shù)的種類分 按有理數(shù)的性質(zhì)分有理數(shù) 有理數(shù) 注：（1）有理數(shù)的分類必須按同一標準，不漏、不重。 （2）0和正整數(shù)統(tǒng)稱為非負整數(shù)。 （3）0和負整數(shù)統(tǒng)稱為非正整數(shù)。 （4）0和正有理數(shù)統(tǒng)稱為非負數(shù)。 （5）0和負有理數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)。典型例題1、-7是（ ）A.自然數(shù) B.負分數(shù) C.非負數(shù) D.負整數(shù)2、所有的正整數(shù)和負整數(shù)結(jié)合在一起

6、構(gòu)成（ ） A.整數(shù)集合 B.有理數(shù)集合 C.自然數(shù)集合 D.以上說法都不對3、關(guān)于0的說法，正確的有（ ）是整數(shù) 不是正數(shù)，也不是負數(shù) 是最小的整數(shù) 是自然數(shù)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4、下列說法不正確的是（ ）A.-0.5是分數(shù) B.0不是正數(shù)也不是負數(shù) C.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) D.0是最小的正數(shù)5、下列說法錯誤的是（ ）A負整數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為負有理數(shù) B正整數(shù)，0，負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)C正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù) D3.14是小數(shù)，也是分數(shù)6、下列說法正確的的是（ ）A.有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、0、負有理數(shù) B.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是負數(shù)C.一個有理數(shù)不是整數(shù)就

7、是分數(shù) D.以上說法都正確7、0.四個數(shù)中，有理數(shù)的個數(shù)為（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 8.有理數(shù)中，是整數(shù)而不是正數(shù)的是（ ），是分數(shù)而不是正分數(shù)的是（ ）。9、有理數(shù)中，最小的自然數(shù)是（ ）,最小的正整數(shù)是（ ）。10、整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為（ ），整數(shù)包括（ ），分數(shù)包括（ ）。11、通常把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非負整數(shù)，把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非正整數(shù)；把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非負數(shù)，把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非正數(shù)。12、將下列各數(shù)按要求分別填入相應(yīng)的集合中。 0.2.(1)正整數(shù)集合： (2)負整數(shù)集合： (3)正分數(shù)集合： (4)負分數(shù)集合： (5)整數(shù)集合： (6)分數(shù)集合：

8、(7)有理數(shù)集合： 1.2.2數(shù)軸知識點歸納一、數(shù)軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意事項：（1）數(shù)軸是一條兩端無限延長的直線。（2）原點，正方向，單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可。（3）同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一。（4）數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。（5）定義中的“規(guī)定”二字，是說原點的規(guī)定、正方向的選取、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要規(guī)定的，通常取向右為正方向。二、數(shù)軸的畫法（重點）畫數(shù)軸時，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可。其步驟如下：1、畫一條水平的直線；2、在直線上任意選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下方標上“0”

9、）；3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來；4、選取適當?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度選取一點，依次表示1,2,3，；從原點向左，每隔一個單位長度選取一點，依次表示-1，-2，-3，。三、數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系（重點、難點）一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個長度單位；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個長度單位。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，正有理數(shù)可以用原點右邊（或上邊）的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊（或下邊）的點表示，0用原點表示。注：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，

10、也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)的關(guān)系。四、利用數(shù)軸比較大?。ㄖ攸c、難點）1、數(shù)軸上的數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大2、有理數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)都大于0 （2）負數(shù)都小于0 （3）正數(shù)大于負數(shù)（4）兩個負數(shù)比較大?。壕嘣c距離遠的數(shù)比距離遠點近的數(shù)小，即在原點的左側(cè)，離原點越遠，數(shù)越小。典型例題1、規(guī)定了（ ）、（ ）、（ ）的直線叫做數(shù)軸。2、在數(shù)軸上表示數(shù)-3的點在原點的（ ），與原點的距離為（ ）個長度單位。3、在數(shù)軸上到原點距離是2.5個長度單位的點表示的數(shù)是（ ）。4、P點表示的數(shù)是-1，到P點4個單位長度的點表示的數(shù)是（ ）。5、一個動點從表

11、示1的點出發(fā)，先向左移動2個單位，再向右移動3個單位長度，則終點離原點的距離是（ ）個單位長度。6、若點A表示數(shù)-3，點B表示數(shù)7，那么A、B間的距離是（ ）。7、下列圖中表示數(shù)軸的是（ ）.A. B. C. D.8、數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1cm，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長2005cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點有（ ）A. 2003或2004個 B.2004或2005個 C.2005或2006個 D.2006或2007個9、畫出數(shù)軸，用數(shù)軸畫出表示下列各點的數(shù)并用“>”連接起來。 4，-2，-4.5，0，10、如圖，寫出數(shù)軸上點A、B、C、D、E表示的數(shù)。

12、11、小敏家、學(xué)校、郵局、圖書館坐落在同一條東西走向的大街上，依次記為A，B，C，D，學(xué)校位于小敏家西150m，郵局位于小敏家東100m，圖書館位于小敏家西400m。（1） 用數(shù)軸表示A，B，C，D的位置.（2） 一天小敏從家里以每分鐘50m的速度先去郵局寄信后又往圖書館方向共走了8min.試問小敏這時約在什么位置？距離圖書館和學(xué)校各約多少米？1.2.3相反數(shù)知識點歸納一、相反數(shù)的概念只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；特別地，0的相反數(shù)是0.注：（1）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，千萬不能把它漏掉.（2）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)

13、. （3）“只有符號不同的兩個數(shù)”中的“只有”指的是除符號不同以外數(shù)字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數(shù)就是互為相反數(shù).二、相反數(shù)的意義任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)；0的相反數(shù)仍是0.幾何意義：互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側(cè)；反之，位于原點兩側(cè)且到原點距離相等的點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)。代數(shù)意義：相反數(shù)中，“相反”的意思是說：“只有符號相反”，即兩個數(shù)除符號不同外其余都相同。【注意】：（1）一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身.（2）注意區(qū)別“相反數(shù)” 與“相反意義的量”。前者是指具有相反符

14、號的一對數(shù)，后者指相對具有相反意義的量。三、相反數(shù)的表示方法一般的，一個數(shù)a的相反數(shù)可以表示為-a。 根據(jù)相反數(shù)的意義，只改變原數(shù)的符號即可得到原數(shù)的相反數(shù)，就是說只要在一個數(shù)的前面加“-”號即可得到這個數(shù)的相反數(shù)?！咀⒁狻浚?）數(shù)a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)和0，還可以表示任意的一個式子。 （2）一個數(shù)的前面加上“-”號表示這個數(shù)的相反數(shù)，加上“+”號表示這個數(shù)本身。四、相反數(shù)的求法求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可得到原數(shù)的相反數(shù)；當原數(shù)是多個數(shù)的和差時，要用括號括起來再添“-”號；若原數(shù)是單個數(shù)且前面有“-”則也應(yīng)先括起來再添“-”號，然后化簡。如：（1）-a的相反數(shù)

15、是-（-a），即a；（2）a+b的相反數(shù)是-（a+b）；（3）-（-2）的相反數(shù)是-(-2)，即-2.五、多重符號的化簡當“-”號的個數(shù)為偶數(shù)時，化簡結(jié)果為正；當“-”號個數(shù)為奇數(shù)時，化簡結(jié)果為負。六、相反數(shù)的性質(zhì)任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)；0的相反數(shù)仍是0?！咀⒁狻浚?）若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的和為0.（2）數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個數(shù)關(guān)于原點對稱.（3）相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有0.（4）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在.（5）“只有符號不同的兩個數(shù)”中的“只有”指的是除符號不同以外數(shù)字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數(shù)就是互為相

16、反數(shù).典型例題1、 判斷下列說法是否正確。（1）-3與互為相反數(shù)。（ ） （2）5的相反數(shù)是。（ ）（3）0的相反數(shù)是-0，所以0與-0不是互為相反數(shù)。（ ）2、下列敘述正確的是（ ）A.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù) B.一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)C.非負數(shù)的相反數(shù)是非整數(shù) D.正數(shù)的相反數(shù)是分數(shù)3、如果a=-a，那么表示a的點在數(shù)軸上的位置是（ ）A.原點左側(cè) B.原點右側(cè) C.原點 D.原點或原點右側(cè)4、一個數(shù)的相反數(shù)小于它本身，這個數(shù)是（ ）A.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.非負數(shù)5、一個數(shù)的相反數(shù)大于它本身，這個數(shù)是（ ）A.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.非負數(shù)6、一個數(shù)的相反數(shù)是非負

17、數(shù)，則這個數(shù)一定是（ ）A.正數(shù) B.負數(shù) C.正數(shù)或0 D.負數(shù)或07、一個數(shù)的相反數(shù)是非正數(shù)，則這個數(shù)一定是（ ）A.正數(shù) B.負數(shù) C.正數(shù)或0 D.負數(shù)或08、下面兩個數(shù)互為相反數(shù)的是（ ）A.與0.2 B.與-0.333 C.與-2.25 D.-（-5）與+(-5)9、-（+4）是（ ）的相反數(shù)；-（-7）是（ ）的相反數(shù)。10、a的相反數(shù)是（ ），當a=13時，a的相反數(shù)是（ ），當a=-5時，a的相反數(shù)是（ ），當a=0時，a的相反數(shù)是（ ）。11、如果-a=-9，那么-a的相反數(shù)是（ ）。12、如果-x的相反數(shù)是-2，那么x=（ ）；如果x-3的相反數(shù)是0，那么x=（ ）。13

18、、求下列各數(shù)的相反數(shù)。，0,1,0.1，-a，-2xy，a-b，14、化簡：（1） （2） （3）-+（-2） （4） （5）+-(-2)15、已知a-4與-1互為相反數(shù)，求a的值。16、已知x與y互為相反數(shù)，y與z互為相反數(shù)，已知z=2，求x、y的值。17、數(shù)軸上離原點的距離小于3.5的整數(shù)點的個數(shù)為m，距離原點等于3.5的點的個數(shù)為n，求m-n的值。1.2.4 絕對值知識點歸納一、 絕對值的概念數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|，讀作“a的絕對值”。【注意】（1）一個數(shù)的絕對值就是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離，由于距離總是正數(shù)和零，所以一個數(shù)的絕對值是正數(shù)或零

19、，即是一個非負數(shù)，這就是絕對值的一個重要性質(zhì)非負性。（2）在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離越遠，絕對值越大；反之離原點距離越近，絕對值越小。（3） 一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的。二、絕對值的意義1、絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。2、絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它本身的相反數(shù)，0的絕對值是0.三、絕對值的表示方法（重點）|=【注意】（1）非負數(shù)的絕對值等于他本身，即 （2）非正數(shù)的絕對值等于它本身的相反數(shù)，即四、絕對值得性質(zhì)（重點、難點）1、絕對值具

20、有非負性，任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或零，即：。2、0的絕對值是0，絕對值等于0的數(shù)是0，絕對值最小的數(shù)是0，即：。3、互為相反的兩個數(shù)絕對值相等，即：。4、絕對值相等的兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)，即：或。5、絕對值等于同一個整數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，即：。6、若幾個數(shù)的絕對值的和為0，則這幾個數(shù)分別為0，即：。五、絕對值的求法1、在數(shù)軸上找到表示這個數(shù)a的點，這個點與原點的距離就是這個數(shù)a的絕對值。2、一個正數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點與原點的距離恰好等于這個數(shù)本身，所以正數(shù)的絕對值是它本身。3、一個負數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點與原點的距離是這個數(shù)的相反數(shù)，所以一個負數(shù)的絕對值是它本身的相反數(shù)。4、表示0的

21、點就是原點，原點與原點的距離是0，所以|0|=0。【注意】在求一個數(shù)a的絕對值時要注意：先判斷這個數(shù)a是正數(shù)、負數(shù)還是0，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義求出這個數(shù)的絕對值。六、利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。ㄖ攸c）1、比較兩個負整數(shù)的大小：根據(jù)絕對值大的數(shù)反而小2、比較兩個負分數(shù)的大小時，有兩點必須注意：絕對值大的數(shù)反而??；比較絕對值時，分母相同，分子大的數(shù)大；分子相同，分母大的數(shù)反而小，也可以將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行比較。 3、利用絕對值比較兩個負數(shù)大小的步驟：分別計算兩個數(shù)的絕對值；比較絕對值的大?。慌卸▋蓚€數(shù)的大?。ǜ鶕?jù)絕對值大的數(shù)反而?。?。七、含有字母的絕對值的化簡求值（重點、難點）化簡絕對值要分兩

22、步走，即“先判后去”先判斷這個數(shù)是正數(shù)、零還是負數(shù)，再由絕對值的意義確定去掉絕對值的符號的結(jié)果是等于它本身還是等于它本身的相反數(shù)或零。e.g：化簡第一步：取0點：令，得；第二步：取范圍：和或和；第三步：在各范圍內(nèi)化簡：當時，當時，典型例題：1、-5的絕對值是（ ）A.5 B. C.-5 D.0.52、若且，則的值為（ ）A. B. C. D.不能確定3、數(shù)軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數(shù)是（ ）A.6或-6 B.6 C.-6 D.3或-34、 下列各式錯誤的是（ ）A. B. C. D.5、若則的關(guān)系是（ ）A.相等 B.互為相反數(shù) C.相等或互為相反數(shù) D.以上均不正確6、下列說法

23、中錯誤的個數(shù)是（ ）絕對值是它本身的數(shù)有兩個，它們是0和1 一個有理數(shù)的絕對值必是正數(shù)2的相反數(shù)的絕對值是2 任何有理數(shù)的絕對值都不是負數(shù)A.0 B.1 C.2 D.37、在下列四個數(shù)中，比0小的數(shù)是（ ）A.0.5 B.-2 C.1 D.38、下列各式中正確的是（ ）A. B. C. D. 9、有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則，的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 10、滿足的數(shù)有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數(shù)個11、已知，則的值為（ ） A. B. C. D. 以上答案均不正確12、若，則為（ ）A. B. C. D. 13、設(shè)是最小的正整數(shù)，是最大負整數(shù)的

24、相反數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 14、下列推理： ，其中正確的個數(shù)為（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個15、為有理數(shù)，且，則的大小順序是（ ）A. B. C. D.16、求下列各數(shù)的絕對值，并將所有數(shù)在數(shù)軸上表示出來。（1） （2） （3） （4）17、比較下列各組數(shù)的大小。（1）和 （2）和 （3）和 （4）和 18、計算：（1） （2） (3) （4） 19、把下列各式去掉絕對值的符號。（1） （2） 20、已知，求的值21、已知且，求的值1.3.1有理數(shù)的加法知識點歸納一、有理數(shù)加法的定義1、把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作

25、有理數(shù)的加法。2、兩個有理數(shù)相加，有以下幾種情況：（1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負數(shù)；（3）兩數(shù)異號，即一個是正數(shù)，一個是負數(shù)；（4）一個是正數(shù)，一個是0；（5）一個是負數(shù)，一個是0；（6）兩個數(shù)都是0.二、有理數(shù)的加法法則1、有理數(shù)的加法法則共有4條：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反的兩個數(shù)相加得0；（4）一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。2、用字母表示加法法則：（1）同號兩數(shù)相加若則；若則；（2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，若且則若且則（3）互為相反的兩個數(shù)相加：

26、若且則（4） 一個數(shù)與0相加：【注意】理解與運用有理數(shù)的加法法則應(yīng)該注意以下幾點：（1）符號相同的兩個數(shù)相加的算法，實際上有兩種：兩個正數(shù)相加或兩個負數(shù)相加。兩個數(shù)相加后得一個數(shù)，符號不變，絕對值相加，實際上說明了這類題的算法。（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加時，最后結(jié)果是由大的絕對值減去小的絕對值和較大的加數(shù)的符號兩部分組成，千萬不要兩個絕對值相加。（3）互為相反的兩個數(shù)相加時，也可以用絕對值不相等的異號兩數(shù)相加的法則進行計算。（4）任何數(shù)同0相加仍得任何數(shù)，在小學(xué)就接觸過，不同的是中學(xué)還接觸到負數(shù)與0相加，仍得這個負數(shù)。（5）計算時不能只計算絕對值，忘記確定符號。計算時要牢記步驟，不管是同

27、號還是異號兩數(shù)相加，一定要先確定符號，再計算絕對值。（6）不要將“同號兩數(shù)相加”和“異號兩數(shù)相加”的法則弄混，要熟練掌握法則，準確計算絕對值的加減。（7）不能認為和一定大于加數(shù)：受小學(xué)加法的影響，認為和一定大于每個加數(shù)，這是錯誤的。要打破小學(xué)學(xué)習(xí)中的思維定式。三、有理數(shù)加法的運算步驟進行有理數(shù)加法運算時，應(yīng)按以下“一判二定三加減”的步驟：（1）判斷類型，根據(jù)類型確定用哪一個法則；（2）根據(jù)加數(shù)的絕對值的大小及加數(shù)的符號確定和的符號；（3） 對絕對值進行加減運算確定數(shù)值。四、有理數(shù)加法的運算律有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。符號語言加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相

28、加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。符號語言五、有理數(shù)加法運算律運算技巧利用有理數(shù)的加法運算律，可以使計算簡捷，實際運算常采用下列技巧：（1）互為相反的兩個數(shù)可以先相加； （2）幾個數(shù)的和為0可先相加；（3）幾個數(shù)相加可得整數(shù)的可先相加； （4）同分母的分數(shù)可先相加；（5）異號且絕對值相近的兩數(shù)可先相加； （6）符號相同的數(shù)可先相加。1.3.2有理數(shù)的減法知識點歸納一、 一、有理數(shù)減法的意義1、 有理數(shù)的減法，就是已知兩個有理數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。2、 有理數(shù)的減法與加法互為逆運算。3、 任意兩個數(shù)都可以進行減法運算。4、 幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差

29、由兩部分構(gòu)成：（1）性質(zhì)符號；（2）數(shù)字即數(shù)的絕對值。二、有理數(shù)的減法法則內(nèi)容：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即。這里的表示任意有理數(shù)。這樣一來，就把有理數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算了，具體步驟是：（1） 將減號變成加號，把減數(shù)的相反數(shù)變成加數(shù)；（2） 按照加法運算的步驟去做?！咀⒁狻浚?） 有理數(shù)的減法是有理數(shù)加法的逆運算，做減法時常用轉(zhuǎn)化的思想，把減法轉(zhuǎn)化成加法計算；（2） 進行減法運算時，首先應(yīng)弄清減數(shù)的符號）（是“+”還是“-”）；（3） 將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一個是把運算符號“-”變?yōu)椤?”；另一個是改變減數(shù)的性質(zhì)符號，變成它的相反數(shù)，如：（-5）-（+3

30、）=（-5）+（-3）=-8（-5）-（-3）=（-5）+（+3）=-2三、有理數(shù)的加減混合運算對有理數(shù)的加減混合運算應(yīng)作如下理解：（1）因為減法可以轉(zhuǎn)化為加法運算，于是加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算，用式子表示為：這稱為幾個數(shù)的代數(shù)和。（2）代數(shù)和中，加號和括號可以省略?！咎貏e提示】只有把加減法統(tǒng)一成加法后，才能寫成代數(shù)和，正數(shù)要帶著性質(zhì)符號（當正數(shù)在式子的第一項時可以省略）。四、有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟1、運用有理數(shù)的減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法；2、寫成省略加號和括號的形式；3、運用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡化運算?！咀⒁狻浚?）簡化和的形式后，要注意“+”“

31、-”的理解和使用.既可看作運算符號，也可看作數(shù)的性質(zhì)符號.（2）運用加法運算律時，第一。交換加數(shù)位置時，要連同它的性質(zhì)符號一起交換位置，千萬不要把符號漏掉；第二，在應(yīng)用結(jié)合律時，應(yīng)突出湊整、同分母、同號的特點。五、運用作差法比較兩個有理數(shù)的大小運用有理數(shù)的減法運算律可以比較兩個有理數(shù)的大小，這就是“作差法”。要比較兩個有理數(shù)與的大小，可先求出與的差。（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，.以上結(jié)論，反過來也成立。1.4.1有理數(shù)的乘法知識點歸納一、有理數(shù)的乘法法則1、異號兩數(shù)相乘得負數(shù)，并把絕對值相乘.2、任何數(shù)與0相乘，都得0.3、同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并把絕對值相乘?！咀⒁狻浚?）有理數(shù)的

32、乘法法則可以簡述為:兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數(shù)與0相乘，都得0.（2）不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘.（3）當因數(shù)中有負號時，必須用括號括起來.（4）數(shù)字與字母、字母與字母、數(shù)字與括號之間相乘時可省略乘號.（5）有理數(shù)的乘法實質(zhì)是通過符號法則，將有理數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為小學(xué)算術(shù)乘法來完成.二、有理數(shù)乘法的運算律有理數(shù)乘法運算律乘法交換律文字語言兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。符號語言乘法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相乘，先把前兩個因數(shù)相乘，然后把結(jié)果與第三個數(shù)相乘；或者先把后兩個數(shù)相乘，再把第一個數(shù)與所得的結(jié)果相乘，積不變。符號語言乘法分配律文字語言一個數(shù)與來那個

33、個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加。符號語言【注意事項】（1）乘法交換律和乘法結(jié)合律，是指因數(shù)的位置交換和因數(shù)的結(jié)合，它們都包含性質(zhì)符號.（2）用乘法分配律時，要平均分配，不能漏乘，且要注意符號法則的應(yīng)用.（3）進行乘法運算時，一定要把小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)，帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為假分數(shù)，能約分的要先約分。（4）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘.如：一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加。 （5）利用乘法分配律去掉括號時要注意以下兩個方面：A.括號外面是正數(shù)時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各

34、項的符號相同； B.括號外面的因數(shù)是負數(shù)時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項的符號相反，另外還要特別注意再去括號時，不要漏項。三、有理數(shù)乘法法則的推廣1、幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。2、幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0.【注意事項】（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù)；（2）幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定符號，然后把絕對值相乘；（3）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0.反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0.四、兩個有理數(shù)的乘法步驟1、確定

35、積的符號，根據(jù)同號得正，異號得負這一結(jié)論。2、把絕對值相乘，這與小學(xué)里的乘法一致。五、幾個非零有理數(shù)的乘法步驟1、先確定積的符號，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)由奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)由偶數(shù)個時，積為正。2、再把絕對值相乘。注：進行有理數(shù)的乘法運算時，一般來說，把小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)化成假分數(shù)進行計算時簡單些。1.4.2有理數(shù)的除法知識點歸納一、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)【注意事項】（1）“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是相互依存的；（2）0和任何數(shù)相乘都等于0而不是1，因此0沒有倒數(shù)；（3）的倒數(shù)是；（4）倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分數(shù)；（5）互為倒數(shù)的兩

36、個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）。二、倒數(shù)的求法1、求一個數(shù)的倒數(shù)，可以直接寫成這個數(shù)的幾分之一，即的倒數(shù)是2、求一個分數(shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母交換一下位置即可，即的倒數(shù)是3、求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分數(shù)化成假分數(shù)再求其倒數(shù)4、求一個小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)，然后再求倒數(shù)5、求一個數(shù)的負倒數(shù)，先求這個數(shù)的倒數(shù)，再求倒數(shù)的相反數(shù)即可。（乘積為-1的兩個數(shù)互為負倒數(shù)）三、有理數(shù)的除法法則1、除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù) 2、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除 3、0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0有理數(shù)的除法公式【注意事項】（1）一般在不能整除的情況下，應(yīng)用第一個

37、法則，在能整除的情況下應(yīng)用第二個法則（2）因為找不到一個與0相乘結(jié)果不為0，所以0不能當除數(shù)（3）第二個法則與有理數(shù)的乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值。四、有理數(shù)的乘除混合運算有理數(shù)的乘除混合運算通常先統(tǒng)一為乘法，變成多個有理數(shù)相乘。1、因為乘法與除法是同一級運算，應(yīng)按從左到右的順序運算2、結(jié)果的符號由算式中負數(shù)的個數(shù)決定，負數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時結(jié)果為正；負數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)個時結(jié)果為負3、化成后，應(yīng)先約分再相乘五、有理數(shù)的加減乘除混合運算有理數(shù)的四則混合運算，應(yīng)遵循有括號先算括號（一般先算小括號，再算中括號，最后算大括號）里面的運算，無括號則應(yīng)按“先乘除，后加減”的順序計算

38、。知識點歸納一、乘方的概念定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫作乘方，即，記作，讀作的n次方。【注意】其實乘方運算是求若干相同因數(shù)的積的一種簡便運算，這里要注意因數(shù)一定要相同。二、冪的概念定義：乘方的結(jié)果叫作冪。【注意事項】（1）乘方與冪不同，乘方是一種運算，冪是乘方運算的一種結(jié)果，乘方與冪的關(guān)系，就如同乘法與積的關(guān)系一樣；（2）只有乘方才有冪，不能單獨出現(xiàn)一個數(shù)就叫冪。三、指數(shù)、底數(shù)的概念定義：相同因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù)，相同因數(shù)叫底數(shù)。如在n中，叫底數(shù)，n叫指數(shù)。注意：底數(shù)一定是相同的因數(shù)四、乘方運算法則正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)?！咀⒁馐马棥浚?）有時一個數(shù)也

39、可看作它本身的一次方（2）有理數(shù)的乘方是有理數(shù)乘法的簡便運算，因此有理數(shù)乘方的符號源于有理數(shù)乘法的符號法則。五、有理數(shù)的混合運算1、運算順序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號。大括號依次進行。（4）通常把六種基本運算分為三級：加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方和開方是第三級運算。（5）運算順序的規(guī)定是先做高級運算，再做低級運，同級運算是指加與減（或乘與除）在一起的運算?！咀⒁馐马棥浚?）在計算時，應(yīng)強化順序意識，但該簡便運算時還應(yīng)簡便運算；（2）要活用運算順序，不能一味強調(diào)順序計算。如：同級運算，按從左到右的順序進行；將加減法統(tǒng)一成加法，乘除運算統(tǒng)一成乘法后就不可按這個順序進行，各根據(jù)需要運用