是定義在上的正值函數(shù)

1、是定義在上的正值函數(shù)，且對于定義域中任意兩個實數(shù)，當(dāng)時，恒有，求證：（）的上增函數(shù)；（）對于任意，恒有成立證明：（）設(shè)任意，且設(shè)時，令， 則 ，則在上增函數(shù) （）假設(shè)存在，使得不成立，則成立 （i）若時，則，即與的上增函數(shù)矛盾 （ii）若時，則， ， 則與矛盾 （iii）若（，）， ，則 與約定條件矛盾，因為時，總存在一個區(qū)間，使， 由（i）（ii）（iii）知不存在，使從而證明了對任意，恒有成立評注：證明抽象的函數(shù)問題時，應(yīng)用反證法效果阿注意用詞，恰當(dāng)使用全稱量詞“任意”和特稱量詞“存在”設(shè)是區(qū)間上的實函數(shù)，如果滿足（1） 對于任意，；（2） 對于任意，有試證：對于任意，都有成立證明：設(shè)任意

2、，對于任意，由（2）有：令，則 由上式得：，即，從而得，于是，當(dāng)時，恒有，即條件（2）對任意，恒有成立現(xiàn)證：對于任意，都有成立利用反證法，假設(shè)存在，使得成立，不妨設(shè)，則，即故有這與條件（2）矛盾所以，對于任意，都有成立設(shè)，其中是實數(shù)，是任給的正整數(shù)，且（1） 如果當(dāng)時有意義，求的取值范圍；（2） 如果，證明：當(dāng)時，解：（1）設(shè)，則 （，）在上是減函數(shù) 則 使得在上有意義的條件是 即的取值范圍是 （2）要證明，成立，只需要證明當(dāng)時，其中， 首先證明一個柯西不等式： ，恒有，（，）， 即 因此，由于對都成立，則判別式即，取等號的條件是每個方程有唯一解：（，），即時取等號 應(yīng)用上面結(jié)論，當(dāng)時，而，所

3、以有：（因為），即有，成立已知函數(shù)的定義域為，對于任意實數(shù)，都有 ，且 （）求；（）求和 （）；（）若（為有理數(shù)集），試求函數(shù)的表達(dá)式（新作題）解：（）令得，；（）令（），由條件和（）的結(jié)論，得，即 ，由等差數(shù)列定義知，數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列，則；（）（i）若，由（）知，（ii）若時，由得，（iii）若時，令（），則 ，得，即，所以當(dāng)時，得； 若，令，且，則，而，所以，因此，得，故當(dāng)時，函數(shù)的表達(dá)式為【解析】本題是依賴數(shù)集的發(fā)展脈絡(luò)，先求出了為正整數(shù)的表達(dá)式，又求出了的表達(dá)式，最后由有理數(shù)的定義，求出了為有理數(shù)的函數(shù)表達(dá)式已知函數(shù)，其中，均為實數(shù)，集合，若，則求集合由集合及，得 比較同次冪的系數(shù)，得

4、， 由此可知集合的元素是方程 即的根 所以， 事實上，對于，則已知集合（）至多只有一個真子集，求的取值范圍解題分析：至多只有一個真子集的集合有兩種情況，其一是沒有真子集；其二只有一個真子集，必須按分類討論進(jìn)行解析：因為集合A至多只有一個真子集，則集合A可能沒有真子集，可能只有一個真子集，故必須分兩種情形進(jìn)行討論 （i）當(dāng)A沒有真子集時，即，因此，關(guān)于的方程沒有實數(shù)解， ，且，所以； （ii）當(dāng)只有一個真子集時，即A為單元集，這時也有兩種情形： 時，所以， 時，原方程化為一次方程， 所以當(dāng)或時，A為單元集綜合（i）（ii）可得，實數(shù)的取值范圍是或點津：正確理解真子集的概念，考慮二次方程的判別式后

5、，還必須考慮含參數(shù)的二次項系數(shù)為零的情形參數(shù)的求值問題要根據(jù)不同的題目要求，對可能出現(xiàn)的情形進(jìn)行分類討論分類討論時需特別考慮問題全面、有序、盡量避免疏漏對于函數(shù)，若，使成立，則稱為函數(shù)的不動點已知函數(shù) （）（1） 當(dāng)，時，求函數(shù)的不動點；（2） 若對，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)的取值范圍；（3） 在（2）的條件下，若圖像上A，B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點，且A，B兩點關(guān)于直線對稱，求的最小值解析：（1）當(dāng)，時，依不動點定義，得 ，解之， 故 當(dāng)，時，函數(shù)的不動點是或； （2）因為 恒有兩個不動點，依不動點定義， 得，即恒有兩個不同的實數(shù)解， 則有 對于均成立，于是，得， 故 對，恒有兩個

6、相異的不動點，實數(shù)的取值范圍為； （3）依不動點的定義，A，B兩點應(yīng)在直線上，設(shè)， 點A，B關(guān)于直線對稱， ， 設(shè)AB的中點為，又因為，是方程的根， 由于點M在直線上，得 ，解之：，由于，所以，取等號條件為故 當(dāng)時，的最小值為已知，函數(shù)（1） 當(dāng)時，若對任意都有，證明：；（2） 當(dāng)時，證明：對任意，的充要條件是；（3） 當(dāng)時，討論：對任意，的充要條件（1）證明：已知對任意都有， ， ，； （2）證明：（i）必要性：對任意，可得，由此可推導(dǎo)出，即，從而得另一方面，對任意，也可得，因為，可推出，即得，從而得， ； （ii）充分性：因為，對任意，可以得 ，即； 另一方面，因為，對任意，也可以得 ，即

7、， 綜合（i）（ii）知，當(dāng)時，對任意，的充要條件是； （3）因為，時，對任意，有 ，即；由得，推出，另一方面，由得，由于，則，所以所以，時，對任意，的充要條件是已知，函數(shù)， （）設(shè)函數(shù)如果在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，是否存在，對于任意非零實數(shù)，總存在唯一非零實數(shù)，使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由22解：（）， ，令，在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)， 方程在內(nèi)有實數(shù)解，且沒有等根，由，得，令， ，但時，此時，為重根，所以，實數(shù)的取值范圍是； （）由題意得，當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，存在，不存在，使得，則， 記，則， 對于，（i）若時，由于在上是增函數(shù)，若存在非零，使得，則

8、，且，即；（ii）若時，由于在上是減函數(shù)，若存在非零，使得，則，且，即， 綜合（i）（ii）知所求 現(xiàn)在證明充要性：（1）必要性：由求解過程知必要性成立； （2）若時，對于，則（，且），使得已知定義在上的函數(shù)滿足，且對，時，都有 （1）判斷的奇偶性，并證明之； （2）令，求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)為數(shù)列的前項和，問是否存在正整數(shù)，使得對，均有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由解：（1）令，得又令，時，得 因此，對于時，都有， 是奇函數(shù) （2）因為滿足， ，即，因此，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以， （3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得對，均有成立，則，即 ，得故存在正整數(shù)，使得對

9、，均有成立此時的最小值是已知函數(shù)和其中，且（1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點恰好在軸上，求的值；（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時，解：（1）因為函數(shù)圖像與軸的交點坐標(biāo)為，又點也在函數(shù)的圖像上，而，（2）由題意可知，當(dāng)時， 又,由于，且，綜上可知， 設(shè)函數(shù)，函數(shù)（1）求在上的值域；（2）若對于,總，使得成立，求的取值范圍解：（1），令，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)，由“夸克”函數(shù)的單調(diào)性得，故函數(shù)在上的值域是（2）的值域是，要成立，則，（i）當(dāng)時，符合題意； （ii）當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，故當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，則的值域是，由條件知，；（iii）當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)，即時，的值域是或，由，知，此

10、時不合題意；當(dāng)，即時，的值域是，由知, 由知，此時不合題意；綜合（i）、（ii）、（iii）得已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若任意的，當(dāng)時，總有（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式：；（3）若對所有的恒成立，其中（是常數(shù)），求實數(shù)的取值范圍（1）在上是增函數(shù)，證明如下：任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數(shù)（2）由在上是增函數(shù)知：，故不等式的解集為（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即成立當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為；當(dāng)時，的取值范圍為R已知，（1）若函數(shù)與在時有相同的值域，求b的取值范圍；（2）若方程在（0，2）上有兩個不同的根x1

11、，x2，求b的取值范圍，并證明解：（1）當(dāng)時，函數(shù)的圖象是開口向上，且對稱軸為的拋物線，的值域為，所以的值域也為的充要條件是，即，或，所以b的取值范圍為（2），即，由分析知，不妨設(shè)，令因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以在上至多有一個解若，即x1，x2就是的解，與題設(shè)矛盾因此，由，得，所以；由，得，所以故當(dāng)時，方程在上有兩個解由和消去b，得 ，由，得已知集合， （1）當(dāng)時，求； （2）若，求實數(shù)的值解：由，得，則，（1）當(dāng)時，則， （2）， 則是方程的根， ，解得， 此時，符合題意， 故 實數(shù)的值為設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)），且方程有兩個實根為，（1）求的解析式；（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心解：（1）依題意有，解得， 故 （2）設(shè)是函數(shù)圖像上任意一點，則其關(guān)于的對稱點為，即也在函數(shù)圖像上，由于點是函數(shù)圖像上任意一點，函數(shù)的圖像是以點為中心的中心對稱圖形 已知二次