二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

1、案例展示【案例信息】課例名稱： 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 授課教師： 羅碎海（華南師大附屬中學） 【教學設計】 一、教材分析 1 教學背景分析 相等的反面就是不等，要全面了解事物，必須從正、反兩方面分析。在學習上，往往反面的內(nèi)容更多，同樣不等的內(nèi)容比相等的內(nèi)容更豐富。正面的內(nèi)容了解了探求反面是符合人的認知規(guī)律的。 本節(jié)課在人教版的必修 5 的第三章不等式的第三大節(jié)的第一課時，按教材的編排，最快也得到高一第二學期結(jié)束前或高二才能學到。但按照人的認知規(guī)律，只要學生有直線方程、函數(shù)和一元不等式的基礎，學習此內(nèi)容不會有困難。我們選此內(nèi)容在高一第一學期直線方程學完之后上，是對教材內(nèi)容重組和教學

2、改革的一個嘗試。 通過探究二元一次不等式的解集的幾何意義，了解不等式是刻畫區(qū)域的重要工具，進而介紹二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域。通過本節(jié)課的學習為后面尋求 “ 最優(yōu)解 ” 的線型規(guī)劃問題奠定基礎。 在本節(jié)課的學習過程中，使學生體會到數(shù)形合一是數(shù)學的本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是理解數(shù)學問題的重要數(shù)學思想，發(fā)展學生應用數(shù)學的意識；同時讓學生進行數(shù)學探究，體驗知識的形成、應用過程，嘗試運用特殊到一般，再由一般在回歸到特殊的解決問題的思維方法。 學生在之前的學習中已經(jīng)學習了函數(shù)、直線方程、不等式的一些知識，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐標系中的圖像是一條直線，一元不等式的解在數(shù)軸上可以表示。通過類

3、比的思維方式就可引入本節(jié)的教學。 2 教學目標 知識與技能目標： （ 1 ）理解 “ 保號性 ” 并掌握不等式區(qū)域的兩種判斷方法 一點定號； y kx + b 表示直線 y = kx + b 的上方區(qū)域； （ 2 ）能正確作出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域； （ 3 ）能把給出的區(qū)域用不等式（組）表示。 過程與方法目標： （ 1 ）培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，增強學生數(shù)形結(jié)合的思想；一元問題 直線問題；二元問題 平面問題；三元問題 空間問題； （ 2 ）理解數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，提高分析問題、解決問題的能力。 情感態(tài)度與價值觀目標： （ 1 ）通過學生的主動參與、學生的合作交流，培養(yǎng)學生的探索方法與精神

4、； （ 2 ）體會由一般到特殊，由特殊到一般的思想； （ 3 ）體會歸納、類比是人探究新問題的導航儀。 3 教學重、難點 重點：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域； 難點：能認識哪些問題是屬于二元問題，有二元問題是平面問題的意識。 二、教法、學法設計 1 教法設計 本節(jié)知識的形成過程是 “ 類比、猜想、驗證、證明 ” ，非常適合采用探究式的學習方法：通過類比讓同學們猜想出結(jié)論；思考驗證方案；利用聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的方法探討問題的邏輯證明；形成問題的解決方法；自己在知識應用的過程加深對于方法的理解。讓學生經(jīng)歷知識的形成過程， 體驗探索的樂趣。這不僅有利于知識的掌握，也有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。 所以本節(jié)

5、課的教學采用了探究式，啟發(fā)引導，講練結(jié)合的教學方法，注重學生數(shù)學思維方法以及研究問題方法的滲透，以多媒體作為教學輔助手段。從作業(yè)引出問題，進而探討了二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，最后上升到一般的二元區(qū)域，解決作業(yè)問題。 2 學法設計 在學習中，讓其以主體的態(tài)度，而不是被動的接受。經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思參與學習，認識和理解數(shù)學知識，學會學習，發(fā)展能力 。三、教學過程設計 1 提出問題 以學生以前的作業(yè)展示提出需要探究分析的問題，問題是二元問題，二元問題的幾何背景需在平面上分析，先在平面直角坐標系中分析二元一次不等式的幾何意義。 通過驗證方法三是錯誤

6、的，要從本質(zhì)上認識可以借助幾何直觀。 問題的本質(zhì)：在 0 時， 兩者不等價。如何理解？ 學生最困難的是： 分不清幾元問題； 把二元問題理解不到平面問題。書上直接說在平面內(nèi)。 新例子：在平面上可看清其本質(zhì)。 思維的誤區(qū)：有些問題本質(zhì)是屬于平面問題，我們往往用直線思維分析，所以看不清問題。 ，都是二元問題，屬于平面問題，我們應該在平面上分析。由于 0 保證是實數(shù)，它們的不等價就是的不等價。 （這里展示兩種解法：方法二、三，很快引出平面問題） 2 探究知識：二元一次不等式（組）的幾何意義 （ 1 ）在數(shù)軸上， x =1 是數(shù)軸上一個點， x =1 將數(shù)軸上的點分成三部分： x =1 （本身）； x

7、1 （ x =1 右側(cè)點）； x 2 x +1 表示什么？ y 2 x +1 表示 y =2 x +1 上方點的集合； y 0( 或 Ax + By + C 0 時，不等式 Ax + By + C 0 在平面上表示 Ax + By + C =0 上方所有點的集合；不等式 Ax + By + C 0 時，平面上直線 Ax + By + C =0 上方的點 P ( x , y ) 滿足不等式 Ax + By + C 0 ；直線 Ax + By + C =0 下方點 P ( x , y ) 滿足不等式 Ax + By + C 1 或 y 2 x +1 如何區(qū)別？ 4 初步應用 畫不等式 Ax + B

8、y + C 0 （ 0 （ kx + b ( y kx + b ) （ 1 ）例、用平面區(qū)域表示不等式組 的解集 . 解：不等式 3 x + y -120 表示直線 3 x + y -12= 0 下方的區(qū)域 ( 虛線 ) ；不等式 x -2 y 0 表示直線 x -2 y =0 上方的區(qū)域 ( 實線 ). 取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就是原不等式組的解集。 變式 : 不等式 (3 x + y -12)( x -2 y )0 解集如何表示？ （ 2 ）課堂練習： 1 畫出不等式 x +4 y | x | 表示的平面區(qū)域 . 2 在平面坐標系中，分別畫出不等式組所表示的區(qū)域 回歸課前問題：

9、若方程 x 2 +2( a - 1) x +4=0 的根都大于 1 ，求實數(shù) a 的取值范圍 . 方法三： 課后從幾何探究方法二的正確性。 6 小結(jié) 1 二元問題屬于平面問題 . 2 ykx+b 在平面上表示 y=kx+b 上方點的區(qū)域 . 做題注意點： 1 上、下方區(qū)域（ 一點定號 或看 B ） 2 實、虛線（ 有無等號 ） 7 課后練習與作業(yè) 練習： 看書：必修 5 ， P 82 - 84 ， 完成 P 86 練習 1 、 2 、 3 。 作業(yè)： P 93 ：習題 3.3 A ： 1 ， 2. 探究問題： 已知方程 x 2 + ax +2 b =0 的根分別在 (0 ， 1), （ 1 ， 2 ）內(nèi)，求 的取值范圍。 8 備課反思： 1 能將理解為二元問題，并能在平面上畫圖分析是 數(shù)學意識與能力的體現(xiàn)。這一點可能需要老師提示引導。 2 由線性到非線性學生自然能理解，大綱不