二元一次方程組典型應(yīng)用題分類賞析

1、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組題型歸納知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系. 一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：(1)追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行.這類問(wèn)題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析.其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開(kāi)始時(shí)兩者相距的路程；(2)相遇問(wèn)題:相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的一種，

2、它的特點(diǎn)是相向而行.這類問(wèn)題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析.這類問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程.(3)航行問(wèn)題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?×水速.注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行?wèn)題類似.2工程問(wèn)題：工作效率×工作時(shí)間=工作量.3商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題：(1)利潤(rùn)售價(jià)成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤(rùn)成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率；(4) 標(biāo)價(jià)成本(進(jìn)價(jià))×(1利潤(rùn)率)；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)×打折率；注意：“商品利潤(rùn)售價(jià)成本”中的右邊

3、為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售.（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲(chǔ)蓄問(wèn)題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金. 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息. 本息和：本金與利息的和叫做本息和. 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù). 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率. 利息稅：利息的稅款叫做利息稅. (2)基本關(guān)系式 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期

4、數(shù)×利息稅率. 稅后利息利息× (1利息稅率) 年利率月利率×12 月利率=年利率.注意：免稅利息=利息 5配套問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例.6增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)后的量；原量×(1減少率)減少后的量.7和差倍分問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8數(shù)字問(wèn)題：解決這類問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示.如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位

5、數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9濃度問(wèn)題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問(wèn)題：解決這類問(wèn)題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11年齡問(wèn)題：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的12優(yōu)化方案問(wèn)題：在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排.需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案.注意：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案.知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般可分為以下六

6、個(gè)步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系；4列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性；6寫出答案.要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得 的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組. (4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題 弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程組解應(yīng)用題的過(guò)

7、程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn). 類型一：列二元一次方程組解決行程問(wèn)題1甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意： (1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程. (2)有兩個(gè)等量關(guān)系： 相向而行：汽車行駛

8、小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程160千米; 同向而行：汽車行駛小時(shí)的路程拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程.解：設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)千米.根據(jù)題意，列方程組解這個(gè)方程組，得: .答：汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問(wèn)題的常用的解決策略.【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)

9、，求船在靜水中的速度和水流速度.類型二：列二元一次方程組解決工程問(wèn)題2一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問(wèn)：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元.設(shè)甲組單獨(dú)做

10、一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得： 解得 答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元. (2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做，需付款300×123600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款24×1403360元，故請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少.答：請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少.總結(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問(wèn)題也

11、經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析.【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元.價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ 思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)

12、為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元. 【變式1】（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利 = 售價(jià) 進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000

13、元錢，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）思路點(diǎn)撥： 設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：教育儲(chǔ)蓄一年定期合計(jì)現(xiàn)在一年后2042.75解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：，解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元. 總結(jié)升華: 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐?、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的

14、數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來(lái). 【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%） 【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問(wèn)小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

15、類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問(wèn)題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配

16、套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套. 【變式3】一張方桌由1個(gè)

17、桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條.現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶?？類型六：列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問(wèn)題6. 某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ 思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則有總產(chǎn)值（萬(wàn)元）總支出（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值總支出和表格里的

18、已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式.解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，解之得：答：去年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析.【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ 【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口.類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問(wèn)題7.（2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這

19、批帳篷為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組.解：設(shè)原計(jì)劃“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：， 解得： 所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 【變式1】 (2011年北京門

20、頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng) 【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽.如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字

21、問(wèn)題8. 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù).思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.問(wèn)題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100xy問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為： 100yx解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y.依題意可得：，解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這

22、個(gè)兩位數(shù)是多少？【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù).類型九：列二元一次方程組解決濃度問(wèn)題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方

23、程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比.解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：， 答：甲取20kg，乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg和5y kg，則甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：， 所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg總結(jié)升華：此題的第

24、（1）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問(wèn)題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等.用它們來(lái)聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了.列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問(wèn)什么就設(shè)什么.有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù).舉一反三：【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲最有效.用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類型十：列二元一次方程組解

25、決幾何問(wèn)題10如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？ 思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒(méi)有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組.解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)xcm,寬ycm，由題意得：， 答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm、寬為15cm.總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解.舉一反三：【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上

26、去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m，它的周長(zhǎng)是132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決年齡問(wèn)題11今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？ 思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個(gè)字的含義，即6年后父子倆都長(zhǎng)了6歲.今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程.解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：， 答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲.總結(jié)升華：解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）.【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問(wèn)題： 12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)