微積分學中輔助函數的構造

1、編號：08005110137南陽師范學院2012屆畢業(yè)生 畢業(yè)論文（設計） 題 目： 微積分學中輔助函數的構造 完 成 人： 司玉會 班 級： 2008-01 學 制： 4 年 專 業(yè)： 數學與應用數學 指導教師： 葛玉麗 完成日期： 2012-03-31 目 錄摘要(1)0引言(1)1構造輔助函數的原則(1)1.1將未知化為已知(2)1.2 將復雜化為簡單(2)1.3 利用幾何特征(3)2構造輔助函數的方法探討(3)2.1常數變易法(3)2.1.1羅爾定理應用舉例(3)2.1.2構造輔助函數證明積分不等式(4)2.2原函數法(4)2.3微分方程法(6)1 / 182.4積分法(6)2.5函數

2、增量法(7)2.6參數變易法(7)3構造輔助函數在微分中值定理證明中的應用分析(8)3.1輔助函數構造在拉格朗日定理中應用(8)3.1.1應用舉例(9)4結束語(10)參考文獻(10)Abstract(11)微積分學中輔助函數的構造作 者：司玉會指導教師：葛玉麗摘要：構造輔助函數是數學分析中解決問題的重要方法，在解決實際問題中有廣泛應用通過研究微積分學中輔助函數構造法，構造與問題相關的輔助函數，從而得出欲證明的結論本文介紹了構造輔助函數的概念及其重要性，分析了構造輔助函數的原則，歸納了構造輔助函數的幾種方法，并研究了構造輔助函數在微積分學中的重要作用和應用.關鍵詞：原函數法； 輔助函數；常數變

3、易法；函數增量法0引言當某些數學問題使用通常辦法按定勢思維去考慮而很難奏效時，可根據題設條件和結論特征、性質展開聯(lián)想，進而構造出解決問題的特殊模式構造輔助函數輔助函數構造法是數學分析中一個重要的思想方法，在數學分析中具有廣泛的應用構造輔助函數是把復雜問題轉化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時，常表現為不對問題本身求解，而是構造一個與問題有關的輔助問題進行求解1-2微積分學中輔助函數的構造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數學問題的方法通過查閱現有的大量資料發(fā)現，現在國內外對微積分學中輔助函數構造法的研究比較多，其中有一部分研究的是輔助函數構造法的思路3，但大部分研究的是輔助函數的構造在

4、微積分學解題中的應用4通過構造輔助函數，可以解決數學分析中眾多難題，尤其是在微積分學證明題中應用頗廣，且可達到事半功倍的效果1構造輔助函數的原則輔助函數的構造是有一定的規(guī)律的.當某些數學問題使用通常的方法按定勢思維去考慮很難奏效時，可根據題設條件和結論的特征,性質展開聯(lián)想，進而構造出解決問題的特殊模式，這就是構造輔助函數解題的一般思路.1.1將未知化為已知在一元微積分學中許多定理的證明都是在分析所給命題的條件、結論的基礎上構造一個函數將要證的問題轉化為可利用的已知結論來完成的. 比如, 柯西中值定理的證明就是通過對幾何圖形的分析, 構造輔助函數轉化為利用已知的羅爾定理加以證明; 在牛頓- 萊布

5、尼茲公式的證明中也是構造輔助函數利用積分上限函數的性質得到證明的.1.2 將復雜化為簡單一些命題較為復雜, 直接構造輔助函數往往較困難, 可通過恒等變形, 由復雜轉化為簡單, 從中探索輔助函數的構造, 以達到解決問題的目的, 這種通過巧妙的數學變換, 將一般化為特殊, 將復雜問題化為簡單問題的論證思想, 是一元微積分學中的重要而常用的數學思維體現.例 1 設函數， 都在上連續(xù), 在內可導, 且. 證明在開區(qū)間內存在一點, 使得 分析 將證明的結論變形為, 直接思考哪個函數求導后為,發(fā)現不易找到這個函數.進一步考慮除以一個非零因子，不難發(fā)現所證結論可變形為.因此, 找到了輔助函數.對此函數在 上

6、應用羅爾定理即得要證的結論.證明 作輔助函數 因為，都在上連續(xù)，在內可導, 且.所以在上連續(xù)，在內可導，并且，所以有羅爾定理知存在一點，使得即所以1.3 利用幾何特征利用幾何圖形直觀形象的特點構造輔助函數. 在各種版本的“高等數學” 和“數學分析”的書中, 微分中值定理的證明大多是利用對幾何圖形的分析,探索輔助函數的構造, 然后加以證明的.2 構造輔助函數的方法探討2.1常數變易法常數變易法的思想就是，將于證明題中的某個常量用變量代替而構成輔助函數，對輔助函數進行討論，使欲證明題得到證明.2.1.1 羅爾定理應用舉例在微分學等式證明中，我們通過引入輔助函數來證明，而輔助函數構造是關鍵，一般情況

7、下可以用常數變易發(fā)來構造輔助函數.例2函數在區(qū)間上可微，證明在區(qū)間內至少存在一點，使得證明 記，我們來證明因為，將此式中數用變量代替，構成輔助函數顯然，則，在在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間 內可導，且，有羅爾定理知，至少存在一點，使得即 ， .由上面這些例子看出, 一般說來在微分學中凡聯(lián)系到區(qū)間端點的值與導數中間值的式子都可以用常數變易法加以證明.常數變易法在證明積分恒等式也是有效的.2.1.2 構造輔助函數證明積分不等式例3 設時，,證明.證明 需證即可.把常量換作變量，引入函數 , 所以 當時，由拉格朗日中值定理， 所以 又因為，所以是單調遞增的，有，所以，注意到 所以 當時，有即 2.2 原函數法

8、在利用微分中值定理求解介值(或零點) 問題時, 欲證明的結論往往是某個函數的導函數的零點, 因此可通過不定積分反求出原函數作為輔助函數.其步驟為: (1) 將欲證結論中的換成(2) 通過恒等變形, 將結論化為易積分的形式. (3) 用觀察法或湊微分等方法求出原函數,為簡便起見,可將積分常數取為零.(4) 移項, 使等式一邊為零, 則等式的另一邊即為所需的輔助函數.例 4設在上連續(xù)，在內可導，則在內至少存在一點使分析 要證明，即證至少存在一點，使，用替換得，積分后得輔助函數證明 作輔助函數則在上連續(xù)，在內可導，且所以 根據羅爾定理可知，至少存在一點使，即例 5若，在上可導，且則存在一個使分析 結

9、論中換成有即對等式兩邊積分，令得即可確定原輔助函數，證明 做輔助函數由題設條件知在上連續(xù)，在內可導，因此，則滿足羅爾定理的條件：一個，使得 即 所以 2.3 微分方程法所謂“微分方程法”，是指在遇到諸如“求證: 存在，使得之類的問題時, 可先解微分方程 得其通解，則輔助函數可構造為 例 6 設函數 在上連續(xù), 在內可導, 且, 試證 至少存在一點，使證明 將結論中的換成,得一階線性微分方程, 其通解為，即，于是可取輔助函數為則在上連續(xù), 在 內可導, 且并且, 由羅爾定理知, 存在, 使, 即有2.4 積分法將要證的結論轉化為對微分方程兩端進行積分來構造輔助函數.例 7 設在內可微, 證明在的

10、任何兩個零點之間必有的一個零點.分析 設為的任何兩個零點, 要證的是存在一點使得由于可微, 因此可用羅爾定理來證.其輔助函數構造如下, 由得 兩端求不定積分得, , 令, 可得, 即，, 從而對輔助函數在上應用羅爾定理即可.證明 做輔助函數，令為的任意兩個零點.由在內可微知在 上連續(xù)，在內可導且. 由羅爾定理知使得即即2.5 函數增量法Lagrange 中值定理又稱為有限增量公式, 它將函數的增量與函數在一個點上的導數值聯(lián)系起來, 因此在應用中常用它來處理與函數增量有關的問題,因此利用函數的增量來構造輔助函數,也是常用的方法.例 8 設，在上可導，證明，使分析 左邊考慮到左端是函數增量的形式,

11、故考慮輔助函數 ,注意到 ,對在上使用拉格朗日中值定理證明 做輔助函數由在上可導，則在上可微則，使得 即所以 2.6 參數變易法參數變易法是指把要證明的結論中的某個參 數“變易”為變量,從而構造出輔助函數的方法.例 9 設在上單調遞增且連續(xù)，求證： 證明 不等式含有兩個參數，將其中的參數 “變易”為變量，構造如下輔助函數，易知，在上可導，且因為在上單調遞增，所以當時，從而故在上單調遞增，即 在此歸納總結了輔助函數構造的六種方法和一般規(guī)律，一般的輔助函數構造都以用這幾種方法來構造，此外還有分析法，嘗試法，待定系數法5構造輔助函數沒有什么萬能的方法，它是一種創(chuàng)造性思維的過程，具有較大的靈活性，運用

12、基本的數學思想，經過認真的觀察，深入思考構造輔助函數是解題關鍵.3 構造輔助函數在微分中值定理證明中的應用分析羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，積分中值定理是微積分學中的重要內容6，這些定理貫穿了微積分學的始終，利用它們證明有關命題7，往往需要構造輔助函數，便可以把微積分學中較難的問題轉化為易解決的問題，下面以拉格朗日中值定理為例說明輔助函數在解決微積分學問題中的應用3.1 輔助函數構造在拉格朗日中值定理中的應用拉格朗日中值定理若函數滿足如下條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內可導；則在內至少存在一點，使得證明記 則作輔助函數則顯然有又因為在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，所

13、以顯然有滿足羅爾定理的條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內可導；(3) ；所以在內至少存在一點，使得，即從而定理得證3.1.1應用舉例例10對一切，成立不等式證明構造輔助函數，則由拉格朗日中值定理可得，當時，由可推知，當時，由可推得從而得到所要證明的結論例11設在上連續(xù)，在內可導，若不是線性函數，且，求證：使得證明利用原函數法構造輔助函數， 則，在內可導，且，因為不是線性函數，所以，使若，則在上應用拉格朗日中值定理，使 即.若，則在上應用拉格朗日中值定理，使即所以4結束語輔助函數的構造在數學分析中一直占有重要地位，尤其是在微積分學中，構造輔助函數解題得到了廣泛的應用8輔助函數的構造

14、是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒中斷過，眾多數學工作者對微積分學中輔助函數的構造做了很多研究，也取得了很多學術成果9本文從構造輔助函數的基本概念入手，總結了幾種輔助函數的構造方法，對其在微積分學中的應用做了大量的問題舉例，同時也體現出了構造輔助函數解決問題對培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的重要作用10參 考 文 獻1 華東師范大學數學系.數學分析(上冊)M.北京：高等教育出版社，2001：119-127.2 陳靜等.淺析一元微積分學中的構造輔助函數方法J.高等數學研究.2006(9):16-18.3 李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數的多種作法J.數學的實踐與認識，2004，（10）；165

15、-169.4 丁凱.微分中值定理在輔助函數構造中的應用初探J.魅力中國.2010(4):475 夏銀紅,王寶銀 Lagrange 定理證明中輔助函數的構造J.黃淮學院學報2010.09.6 惠存陽.對微分中值定理證明中輔助函數構造探討J.延安教育學報.1997(2):26-27.7 同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）M. 北京：高等教育出版社，2002:127-131.8 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，2006：206-222.9 趙志云.微分中值定理教學的幾點思考J.陰山學刊，自然科學報.1998(12):72-73.10 曹金文.教學中如何培養(yǎng)學生猜想和分析

16、能力的嘗試J.1994(4):56-58.Construct The Auxiliary Function In The CalculusSI Yu-huiAbstract :The construction of auxiliary function in mathematical analysis is the important method to solve the problem ,in the solution of practical problems have wide application. Through the research on the construction

17、of auxiliary function in calculus, construction and problems related to the auxiliary function , thus to prove the conclusion. This paper introduces the concept and importance of constructing auxiliary function, analysis of the structural auxiliary function principle , summarizes several methods of constructing auxiliary function, a