高斯(Gauss)求積公式

1、 前面介紹的前面介紹的 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的 Newton -Cotes求積公式，求積公式，其特征是節(jié)點(diǎn)是等距的。這種特點(diǎn)使得求積公式便于其特征是節(jié)點(diǎn)是等距的。這種特點(diǎn)使得求積公式便于構(gòu)造，復(fù)化求積公式易于形成。但同時(shí)也限制了公式構(gòu)造，復(fù)化求積公式易于形成。但同時(shí)也限制了公式的精度。的精度。 n是偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為是偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為n+1， n是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為代數(shù)精度為n 。 我們知道我們知道 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于確度不低于n 。設(shè)想：設(shè)想：能不能在區(qū)間能不能在區(qū)間a,b上適當(dāng)選擇上適當(dāng)選擇n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) x 0 x

2、1,x2,xn ,使插值求積公式使插值求積公式的代數(shù)精的代數(shù)精度高于度高于n？ 答案是肯定的，適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)，可使公式的精度答案是肯定的，適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)，可使公式的精度最高達(dá)到最高達(dá)到2n+1，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。第四節(jié)第四節(jié) 高斯高斯(Gauss)(Gauss)求積公式求積公式計(jì)算物理計(jì)算物理0()( ) ( )()nbkkakI fx f x dxA f x 考慮更一般形式的數(shù)值積分問題考慮更一般形式的數(shù)值積分問題定義：定義：若求積公式若求積公式 對(duì)一切對(duì)一切不高于不高于m次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式p(x)都等號(hào)成立，即都等號(hào)成立，即R(p)=0;=

3、0;而對(duì)而對(duì)于某個(gè)于某個(gè)m+1+1次多項(xiàng)式等號(hào)不成立，則稱此求積公式的次多項(xiàng)式等號(hào)不成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為代數(shù)精度為m. .0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x 一、構(gòu)造高斯型求積公式的基本原理和方法一、構(gòu)造高斯型求積公式的基本原理和方法計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理定理定理1：設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn)x0, x1,xna,b，則求積公式，則求積公式 的的代數(shù)精度最高為代數(shù)精度最高為2n+1次。次。0( )( )()nbkkakx f x dxA f x 分別取分別取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并讓其成為代入公式，并讓其成為等式，得：等式，得： A0 +

4、 A1 + + An =ab1dx.= b-ax0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 .x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)( )1,x 取取特特殊殊情情形形證證明明：計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理 事實(shí)上事實(shí)上,取取 2n+2次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求積公式代入求積公式,這里這里 x0, x1,xn是節(jié)點(diǎn)，是節(jié)點(diǎn)，有有0( ) ( )0()0nbkkakx g x dxA g x 左左，右右左左 右右,故等式不成立故等式不成

5、立,求積公式求積公式的的代數(shù)精度最高為代數(shù)精度最高為2n+1次。次。 證畢證畢. 上式共有上式共有 r +1個(gè)個(gè) 等式，等式，2n+2個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù)(變?cè)冊(cè)?,要想如要想如上方程組有唯一解，應(yīng)有方程的個(gè)數(shù)等于變?cè)膫€(gè)數(shù)上方程組有唯一解，應(yīng)有方程的個(gè)數(shù)等于變?cè)膫€(gè)數(shù),即即 r+1=2n+2, 這樣導(dǎo)出求積公式的代數(shù)精度至少是這樣導(dǎo)出求積公式的代數(shù)精度至少是2 n+1,下面證明代數(shù)精度只能是下面證明代數(shù)精度只能是2n+1. 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理定義定義: 使求積公式使求積公式達(dá)到最高代數(shù)精度達(dá)到最高代數(shù)精度2n+1的求積公式稱為的求積公式稱為Guass求積公式。求積公式。Gua

6、ss求積公式的節(jié)點(diǎn)求積公式的節(jié)點(diǎn)xk稱為稱為Guass點(diǎn)點(diǎn),系數(shù)系數(shù)Ak稱為稱為Guass系數(shù)系數(shù).0( )( )()nbkkakx f x dxA f x 因?yàn)橐驗(yàn)镚uass求積公式也是插值型求積公式求積公式也是插值型求積公式,故有故有結(jié)論結(jié)論: n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度 d 滿足：滿足： n d 2n+1。計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理111221( )()()(1)f x dxc f xc f x 例：例：選擇系數(shù)與節(jié)點(diǎn)，使求積公式（選擇系數(shù)與節(jié)點(diǎn)，使求積公式（1） 成為成為Gauss公式。公式。解：解：n=1, 由定義，若求積公式具有由定

7、義，若求積公式具有3次代數(shù)精度，則次代數(shù)精度，則 其是其是Gauss公式。公式。 為此，分別取為此，分別取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并讓代入公式，并讓 其成為等式，得其成為等式，得c1 + c2=2c1 x1+ c2 x2=0c1 x12+ c2 x22 =2/3c1 x13+ c2 x23 =0求解得：求解得：12121,33,33ccxx 1133( )()()33f x dxff 所求所求Gauss公式為：公式為：(1) 用待定系數(shù)法構(gòu)造高斯求積公式用待定系數(shù)法構(gòu)造高斯求積公式計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理 設(shè)設(shè)Pn(x)，n=0,1,2,為正交多項(xiàng)式序列，為正交多項(xiàng)

8、式序列， Pn(x)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：1）對(duì)每一個(gè)）對(duì)每一個(gè)n ,Pn(x)是是 n 次多項(xiàng)式。次多項(xiàng)式。 n=0,1,2）( )( )( )0,()bijax P x Px dxij (正交性正交性)( )( )( )0,1bnax P x Px dxn 3）對(duì)任意一個(gè)次數(shù)）對(duì)任意一個(gè)次數(shù)n-1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式P(x)，有，有4）Pn(x)在在(a,b)內(nèi)有內(nèi)有n個(gè)互異零點(diǎn)。個(gè)互異零點(diǎn)。（2）利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式）利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理定理定理2 設(shè)設(shè)x0,x1, ,xn 是是n+1次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式Pn+1(x)的的n+1

9、個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn),則插值型求積公式則插值型求積公式是是Guass型型求積公式。求積公式。證明：證明：只要證明只要證明求積公式的代數(shù)精確度為求積公式的代數(shù)精確度為2n+1,即即對(duì)對(duì)任意一個(gè)次數(shù)任意一個(gè)次數(shù)2n+1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式求積公式求積公式都精確成立。都精確成立。00( ) ( )(),( )nnbbikkkaakikii kxxx f x dxA f xAxdxxx 設(shè)設(shè) f(x)為任意一個(gè)次數(shù)為任意一個(gè)次數(shù)2n+1的多項(xiàng)式，則有的多項(xiàng)式，則有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，滿足，滿足 f(xk)=r(xk)這里，這里， Pn+1(x)是是 n+1次次正交多項(xiàng)式，正交多項(xiàng)式， q

10、(x)、r(x)均是均是次數(shù)次數(shù)n的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。1( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )bbbnaaax f x dxx q x Px dxx r x dx 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理由性質(zhì)由性質(zhì)3）及）及(4)式，有式，有11( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )0( ) ( )()bbbnaaanbkkakx f x dxx q x Px dxx r x dxx r x dxA f x 由于由于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于于n，故有，故有00( ) ( )()()(4)nnbkkkkakkx r x d

11、xA r xA f x 即即對(duì)對(duì) f(x)為任意一個(gè)次數(shù)為任意一個(gè)次數(shù)2n+1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式求積公式求積公式都都精確成立精確成立。 證畢證畢計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯求積公式的基本步驟：的基本步驟：高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)），作作為為積積分分點(diǎn)點(diǎn)次次正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的零零點(diǎn)點(diǎn)以以(,1. 110nxxxn niiinxfxlxfLagrangexfxxx010)()()()(,.2插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式作作對(duì)對(duì)用用高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)代入積分式代入積分式)()()() )()()()()(00inibaibaniiibaxfdxxlxdxxfxlxd

12、xxfx 因此，求積系數(shù)為因此，求積系數(shù)為 baiinidxxlxA), 1 , 0()()( 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理1211( ),.xf x dx 對(duì)對(duì)于于積積分分 （）試試構(gòu)構(gòu)造造兩兩點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯求求積積公公式式例例 2111xx 首首先先在在， 上上構(gòu)構(gòu)造造帶帶權(quán)權(quán)（ ）的的解解：正正交交多多項(xiàng)項(xiàng)式式0120110( ),( ),( ).( )1( )()( )xxxxxxxx 0)1()1()(),()(),(11211200001 dxxxdxxxxxxx 52)(22 xx 同同理理求求出出20122(),55xxx 的的 零零 點(diǎn)點(diǎn) 為為計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物

13、理20122( ),55xxx 以以的的零零點(diǎn)點(diǎn)作作為為高高斯斯點(diǎn)點(diǎn)。其其成成為為等等式式。依依次次代代入入上上式式兩兩端端，令令將將形形如如次次代代數(shù)數(shù)精精度度，求求積積公公式式應(yīng)應(yīng)有有兩兩點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯公公式式xxfxfAxfAdxxfxn, 1)()()()()1(3, 11111002 )52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx 3410 AA聯(lián)聯(lián)立立解解出出 )52()52(34)()1(112ffdxxfx為為得得到到兩兩點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯求求積積公公式式計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理常用的高斯求積公式常用的高斯求積公式1.Gauss - Legendre 求

14、積公式求積公式 (1)其中高斯點(diǎn)為其中高斯點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn) 110()()nkkkfx dxAfx Guass點(diǎn)點(diǎn)xk, Guass系數(shù)系數(shù)Ak都有表可以查詢都有表可以查詢.計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理110( )()nkkkf x dxA f x 110,( )2 (0)nf x dxf 111( )( 0.5773502692)(0.5773502692)nf x dxff 112( )0.555555556 ( 0.7745966692)0.888888889 (0)0.555555556 (0.7745966692)nf

15、x dxfff 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理11:1.5xdx 運(yùn)運(yùn)用用三三點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式與與辛辛卜卜生生求求積積公公式式計(jì)計(jì)算算積積分分例例111.50.555556( 0.7254032.274596)0.888889 1.52.39970:9xdx 由由三三點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯- -勒勒讓讓德德求求積積公公式式有有解解1111.5( 0.54 1.52.5)2.3957423xdx 由由三三點(diǎn)點(diǎn)辛辛卜卜生生求求積積公公式式有有111.52.399529xdx 該該積積分分的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確值值計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理一般區(qū)間的一般區(qū)間的Gauss - Leg

16、endre Gauss - Legendre 求積公式求積公式 如果積分區(qū)間是如果積分區(qū)間是a,b，用線性變換，用線性變換 11( )()222bababaabf x dxftdt 這樣就可以用這樣就可以用Gauss - LegendreGauss - Legendre求積公式計(jì)算一求積公式計(jì)算一般區(qū)間的積分般區(qū)間的積分.將積分區(qū)間從將積分區(qū)間從a,b變成變成-1,1,由定積分的換元積由定積分的換元積分法有分法有22baabxt 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理11( )( 0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由兩兩點(diǎn)點(diǎn)求求積積公公式式10010110011

17、0( )1,( )()()f x dxnGaussLegendreGaussxxA Af x dxA f xA f xGauss 對(duì)對(duì)積積分分， 試試?yán)糜玫牡膬蓛牲c(diǎn)點(diǎn)求求積積公公式式構(gòu)構(gòu)造造型型求求積積公公式式。例例即即確確定定和和使使為為型型求求積積公公式式。1110111111()()(1),2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先先作作變變量量代代換換于于是是解解：1101111111( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577)222222f x dxft dtff 得得計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理1

18、11012301231( )( )( )( )( )( )F t dtGaussLegendreF t dtA F tA F tA F tA F t 對(duì)對(duì)積積分分用用四四點(diǎn)點(diǎn)求求積積公公式式10012301231001122330( )3,( )()()()()f x dxnGaussLegendreGaussxxxxA A A Af x dxA f xA f xA f xA f xGauss 對(duì)對(duì)積積分分， 試試?yán)糜玫牡乃乃狞c(diǎn)點(diǎn)求求積積公公式式構(gòu)構(gòu)造造型型求求積積公公式式。即即確確定定和和使使為為型型求求例例積積公公式式。1110111111()()(1),2222111( )(1)(

19、)222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先先作作變變量量代代換換于于是是解解：計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理,(0,1,2,3)iitAi 可查表得到 和可查表得到 和原積分原積分110101230123012012331( )( )21( )( )( )( )21111( (1)( (1)( (1)22221( (1)211(1)0,1,2,322iiiif x dxF t dtA F tA F tA F tA F tA ftA ftA ftA ftxtAAi 即有即有計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理10( )0.173927 (0.069432)0.32607

20、3 (0.330009)0.326073 (0.669991)0.173927 (0.930518)f x dxffff 于于是是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA 列列表表如如下下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理例例 利用高斯求積公式計(jì)算利用高斯求積公式計(jì)算解解: 令令x=1/2 (1+t), 則則

21、用用高斯高斯-Legendre求積公式計(jì)算求積公式計(jì)算.取取n=4 積分精確值為積分精確值為I=ln2=0.69314718由此可見，高斯公式精確度是很高的由此可見，高斯公式精確度是很高的.101dxx 110113dxdtIxt 0.69314719I 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理例例:分別用不同方法計(jì)算如下積分分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較并做比較各種做法比較如下：各種做法比較如下：1、用、用Newton-Cotes公式公式當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，即用梯形公式，時(shí)，即用梯形公式，I0.9270354當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí), 即用即用Simpson公式公式, I 0.9461359當(dāng)當(dāng)n=3時(shí)時(shí),

22、I 0.9461090當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)時(shí), I 0.9460830當(dāng)當(dāng)n=5時(shí)時(shí), I 0.946083010sinxIdxx I準(zhǔn)準(zhǔn)=0.9460831=0.9460831計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理 10sin(0)2( )(7 )(1)20.94569086xhdxff hfhfx 2:用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用復(fù)化辛卜生公式：用復(fù)化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 10sin(0) 4( )(7 )2(2 )(6 )(1)30.9460833xdxxhff hfhfhfhf I準(zhǔn)準(zhǔn)=0.9460831計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理4、用用Ro

23、mberg公式公式K Tn Sn Cn Rn0 0.9207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I準(zhǔn)準(zhǔn)=0.9460831計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理1sin(0.77459071)20.55555560.77459071I 5、用、用Gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2, 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sin I1sin20.88

24、8888901 1sin(0.77459071)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/ 21tIdtt I準(zhǔn)準(zhǔn)=0.9460831（2）用）用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式（1）用）用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式公式計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理算法比較算法比較n此例題的精確值為此例題的精確值為0.9460831.n由例題的各種算法可知：由例題的各種算法可知：n對(duì)對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)公式，當(dāng)n=1時(shí)只有時(shí)只有1位有效位有效數(shù)字，當(dāng)數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時(shí)有時(shí)有7位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n對(duì)復(fù)化

25、梯形公式有對(duì)復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化辛卜位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化辛卜生公式有生公式有6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間0，1二分了二分了11次用次用2049個(gè)函數(shù)值，才可得到個(gè)函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。位準(zhǔn)確數(shù)字。n用用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分公式對(duì)區(qū)間二分3次，用了次，用了9個(gè)函個(gè)函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。n用用Gauss公式僅用了公式僅用了3個(gè)函數(shù)值，就得到結(jié)果。個(gè)函數(shù)值，就得到結(jié)果。計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理2.Gauss-Chebyshev2.Gauss-Chebyshev公式公式1120( )()1n

26、iiif xdxA f xx (0)(0,1,)121cos(0,1, )2(1)iix innChebychevixinn 其其中中是是階階多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的零零點(diǎn)點(diǎn)(0,1, )1iAinn 求求積積系系數(shù)數(shù)是是 21( ),1,11xxx 權(quán)權(quán)常用的高斯求積公式常用的高斯求積公式計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理3.Gauss-Laguerre3.Gauss-Laguerre公式公式00()()nxiiiefx dxA fx 000000( )( )( )( )()()( )xxxnxiiiif x dxf x dxee f x dxeF x dxA F xF xe f x 求求某某一一個(gè)個(gè)

27、無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間，上上的的積積分分, ,其其中中( (1 1) ) 95,( ),0,.xxex 積積分分點(diǎn)點(diǎn)和和求求積積系系數(shù)數(shù)查查表表權(quán)權(quán)()00 ,)(0)( ), ,)0,)( )()()xaxa tataaaef x dxxatxatGaussLaguerreef x dxef at dteef at dt 對(duì)對(duì)區(qū)區(qū)間間上上的的積積分分，通通過過變變量量代代換換將將變變?yōu)闉椋僭儆糜们笄蠓e積公公式式計(jì)計(jì)算算( (2 2) )積積分分計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理4.Gauss-Hermite4.Gauss-Hermite公式公式20( )()(0,1, )96nxiiiiief x

28、 dxA f xxA in 同同前前，求求積積分分其其中中，積積分分點(diǎn)點(diǎn) 和和求求積積系系數(shù)數(shù)可可查查表表計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理 (22)0(22)211011( ),( ) ( )()( )( )( )( )(22)!( , ),( )()()3)nnbkkaknbnannfxa bx f x dxA f xfR fx wx dxna b wxxxxxxx （）若若在在上上連連續(xù)續(xù)，則則高高斯斯求求積積公公式式的的截截?cái)鄶嗾`誤差差為為：其其中中定定理理 ：0121212121,( )21( ),()()(0,1, )()()(0,1, )nnniiniinnxxxf xHermit

29、enHxHxf xinHxfxin 因因?yàn)闉?階階高高斯斯求求積積公公式式有有次次代代數(shù)數(shù)精精度度，因因此此，用用點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)作作插插值值，得得到到次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式并并且且滿滿足足：證證明明：二、高斯型求積公式的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性分析二、高斯型求積公式的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性分析計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理已知已知HermiteHermite插值誤差是插值誤差是(22)2210(22)2210( )( )( )()(22)!( )( ) ( )( )( )( )()(22)!nnniinnbbbniaaaiff xHxxxnfx f x dxx Hx dxxxxdxn 因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì)2n+12n

30、+1次多項(xiàng)式求積公式準(zhǔn)確成立，即次多項(xiàng)式求積公式準(zhǔn)確成立，即 niiiniinibanxfAxHAdxxHx001212)()()()( 代入上式代入上式 baniinniiibadxxxxnfxfAdxxfx02)22(0)()()!22()()()()( 即有即有 babaniinniiidxxxxnfxfAdxxfxfR02)22(0)()()!22()()()()()( 計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理計(jì)算物理以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正( ) ( )0biiaAx l x dx 即即：022220( ) ( )()( )( )( )2,( ) ( )()bnkkkaiibnik ikikax f x dxA f xf xlxlxnx lx dxA lxA 在在高高斯斯求求積積公公式式中中，取取，為為次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，求求積積公公式式等等式式成成立立2( ) ( )( )( )