第03章 自激振動(dòng)

1、第三章第三章 自激振動(dòng)自激振動(dòng)3.1 自激振動(dòng)的機(jī)理和特征 3.2 極限環(huán)與 van der Pol 方程3.3 工程中的自激振動(dòng)問(wèn)題3.4 張馳振動(dòng)3.5 動(dòng)態(tài)分岔第三章 自激振動(dòng)自激振動(dòng)與周期激勵(lì)的響應(yīng)相比，仍然是一種周期振動(dòng)，它也是靠外界能源的驅(qū)動(dòng)形成的，不同的是現(xiàn)在的能源是一個(gè)能量不變的能源，能源本身不直接給系統(tǒng)提供周期性變化的能量，系統(tǒng)振動(dòng)能量的周期性變化是靠系統(tǒng)固有的某種自動(dòng)調(diào)節(jié)機(jī)制、周期性地向能源和環(huán)境吞吐能量形成的。當(dāng)然，振動(dòng)系統(tǒng)周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不變，這只能在能源的能量大大超過(guò)振動(dòng)能量的前提下才能近似實(shí)現(xiàn)，這是自激振動(dòng)系統(tǒng)的另一個(gè)特征。自激振動(dòng)系統(tǒng)（sel

2、f-excited system）也稱為自振系統(tǒng),它的特性很復(fù)雜。本章只學(xué)習(xí)單自由度系統(tǒng)自激振動(dòng)的形成和演變的一些基本規(guī)律。3.1 自激振動(dòng)的機(jī)理和特征 1. 自激振動(dòng)的機(jī)理圖3.1、圖3.2為兩個(gè)自振系統(tǒng)的實(shí)例。就電鈴而言，能源為直流電源，在一定時(shí)期內(nèi)，能量近似恒定，接通電源后，鈴錘在電磁吸力作用下，彎曲敲擊銅鈴，同時(shí)電路觸點(diǎn)斷開，電磁吸力消失；在這個(gè)過(guò)程中，振系從能源吸收?qǐng)D3.1圖3.2電能，一部分轉(zhuǎn)化為鈴錘的動(dòng)能和彈性勢(shì)能，另一部分由于材料阻尼、敲擊等因素而耗散。接下來(lái)的過(guò)程是，彈性勢(shì)能使鈴錘恢復(fù)形狀，使電源再次接通，完成一次振動(dòng)，并開始下一次振動(dòng)。 可見，自激振動(dòng)的形成過(guò)程和機(jī)理是：振

3、系在某些初始激勵(lì)下能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)振系內(nèi)有一個(gè)固有的自動(dòng)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)起作用，它能自動(dòng)感知振系狀態(tài)，根據(jù)振系狀態(tài)自動(dòng)調(diào)節(jié)能量的吸收，并能使振系在每個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)中吸收的能量逐漸等于耗散的能量，從而使振系的能量和狀態(tài)周期性變化，即形成自激振動(dòng)。自激振動(dòng)的形成機(jī)理，可用框圖表示，如圖3.3。振動(dòng)系統(tǒng)調(diào)節(jié)器能源狀態(tài)反饋圖3.3需要指出的是，圖中的調(diào)節(jié)器就是前述的自動(dòng)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，對(duì)于某些振系，調(diào)節(jié)器是一個(gè)實(shí)際存在的裝置，如電鈴，其調(diào)節(jié)器為電磁斷續(xù)器，而對(duì)很多振系，調(diào)節(jié)器并不是一個(gè)明確的裝置，而是系統(tǒng)自身的特性和參數(shù)綜合形成的一個(gè)自動(dòng)控制環(huán)節(jié)。2. 自激振動(dòng)的特征參見課本p57的總結(jié)。3.2 極限環(huán)與 van d

4、er Pol 方程1. 極限環(huán)從以上定性分析已知，自激振動(dòng)是周期振動(dòng)，因此對(duì)單自由度系統(tǒng)，自激振動(dòng)的相軌跡是一條封閉曲線，與保守系統(tǒng)的自由振動(dòng)相軌跡不同的是，自激振動(dòng)的封閉相軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)周期，是由系統(tǒng)的固有參數(shù)和特性決定的，而與初始條件無(wú)關(guān)。因此，自激振動(dòng)的封閉相軌跡在相平面上是一條孤立的封閉曲線。在這條封閉曲線鄰近的相點(diǎn)，將沿某一螺旋狀相軌跡趨近或離開這條封閉曲線，因此稱它為極限環(huán)(limit cycle)。一個(gè)振系的極限環(huán)可能不止一個(gè)，當(dāng)極限環(huán)鄰近的相軌跡都趨近于極限環(huán)時(shí)，該極限環(huán)是穩(wěn)定的，否則，是不穩(wěn)定的，如圖3.4。只有穩(wěn)定的極限環(huán)才對(duì)應(yīng)于能夠?qū)崿F(xiàn)的自激振動(dòng)，因此尋求極限環(huán)并確定其

5、穩(wěn)定性，是非線性自治系統(tǒng)研究中的一個(gè)最重要的問(wèn)題。 van der Pol 振蕩器是已知存在極限環(huán)的系統(tǒng)的一個(gè)經(jīng)典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程經(jīng)變換得到，Rayleigh方程為2. van der Pol 方程2203 ,(1)0 xuxxxx引入變換得圖3.4(3.2)這就是van der Pol 方程。對(duì)（3.2）作能量積分得220(1)0uuuu(3.1)（3.1）式對(duì) t 求導(dǎo)，得0)31 (202uuuu E為積分常數(shù)。當(dāng)x 的幅值較小時(shí)，上式右端第二項(xiàng)圓括號(hào)中的值大于零，積分值隨時(shí)間增長(zhǎng)而增大，系統(tǒng)的機(jī)械能增大，即系統(tǒng)向外界吸收能量，同時(shí)使系統(tǒng)的

6、運(yùn)動(dòng)幅度增大，這一過(guò)程一直到積分的平均值為零才停止。當(dāng)x 的幅值較大，上式右端第二項(xiàng)圓括號(hào)中的值小于零時(shí)，系統(tǒng)將耗散能量，同時(shí)使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅度減小。因此預(yù)計(jì)系統(tǒng)最后可能會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即自振狀態(tài)。方程（3.2）的第二項(xiàng)與速度有關(guān)，相當(dāng)于一個(gè)阻尼項(xiàng)，由上述分析知，它不是常規(guī)阻尼，而是一個(gè)交變阻尼，耗散能量時(shí)，稱為正阻尼，吸收能量時(shí)稱為負(fù)阻尼。下面用相平面法來(lái)確定其極限環(huán)。不失一般性，設(shè)Rayleigh方程（3.1）中 ， = 1，相軌跡微分方程為022222011(1)22ttxxExxdt120顯然，原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的奇點(diǎn)。用Lienard方法作相軌跡， Lienard輔助曲線為2(1

7、),dyyyxxu yxdxy 其中(3.3)2(1)xyy它也恰好是通過(guò)原點(diǎn)的零斜率等傾線，圖3.5中的虛線。稍加考察可知，奇點(diǎn)附近的相軌跡是向外發(fā)散的，因此奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。最后作出的相軌跡如圖3.5。也可用諧波平衡法來(lái)求出van der Pol 方程的近似解，設(shè)極限環(huán)圖3.5cos()cos,xAtAt代入下面的van der Pol方程22320322000(cossincos)sincos()cos()sin04 ,2 2cos()AAAAAAxt由諧波平衡得方程的解為220(1)0 xxxx注意，以上近似解只有當(dāng) 為小參數(shù)時(shí)才成立，圖3.5也是針對(duì) 為小參數(shù)的情況畫出的。對(duì)于 為大

8、參數(shù)的情況將在3.4節(jié)中研究。3.3 工程中的自激振動(dòng)問(wèn)題1. 時(shí)鐘原理機(jī)械時(shí)鐘的鐘擺簡(jiǎn)化模型如圖3.6，它是一個(gè)自激振動(dòng)系統(tǒng)。近似恒定的能源為發(fā)條彈性能，當(dāng)鐘擺向平衡位置運(yùn)動(dòng)并)(21)sgn()(21)sgn()sgn(xIxxIxxBxx (3.4)到達(dá)擺角 x= 時(shí)，會(huì)受到由發(fā)條能量轉(zhuǎn)換而來(lái)的脈沖力。設(shè)鐘擺受到干摩擦，動(dòng)力學(xué)方程可寫成 x圖3.6系統(tǒng)的能量積分為其中( )為Dirac 函數(shù)，I 為沖量；方程中忽略了重力的影響。其中 E 為積分常數(shù)。我們規(guī)定B 0、 x ，接下去相點(diǎn)先在下半相平面運(yùn)動(dòng)，因此按（3.5）式進(jìn)行。由初始條件求出積分常數(shù)E 后，（3.5）式變?yōu)?0222211

9、(),2211(),22xxxxyxBxEIdyxyxBxEIdyx 下半相平面能量積分：上半相平面能量積分：(3.5)(3.6)xdIBBxyxx)(2)()(222(3.7)這是一個(gè)以（0, B）為圓心的圓方程。下面分三種情況分析：(1) x B ：這時(shí)按（3.7）式畫出的相軌跡如圖3.7a，這種相軌跡是不可能出現(xiàn)的，因此相點(diǎn)只能靜止不動(dòng)。實(shí)際上，這時(shí)系統(tǒng)的彈性力沒有超過(guò)最大摩擦力，彈性力與摩擦力平衡，再加上初始速度為零、沒有受到脈沖的作用，因此系統(tǒng)將靜止，相點(diǎn)不再運(yùn)動(dòng)。(2) B x ：這時(shí)相點(diǎn)開始階段按干摩擦阻尼系統(tǒng)的規(guī)律在下半相平面逐漸運(yùn)動(dòng)，隨著位移幅值的減小，將到達(dá)x= 的位置，受

10、到脈沖的激勵(lì)而吸能，激勵(lì)后，系統(tǒng)位置不變，速度值增加，然后繼續(xù)按干摩擦阻尼系統(tǒng)的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，到達(dá)負(fù) x 軸上的某一點(diǎn)。接下來(lái)相點(diǎn)進(jìn)入上半相平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)情況與下半相平面的運(yùn)動(dòng)類似，也可能出現(xiàn)上述情況（2）的運(yùn)動(dòng)，如圖3.8。上述各個(gè)結(jié)果中，只有圖3.8(a)所示情況才有可能發(fā)育成一個(gè)極限環(huán)，因此對(duì)它作深入分析。由（3.5）、（3.6）式，這時(shí)的能量積分方程為圖3.7（b）由于I 太大能量吸收大于損耗圖3.8由于I 太小能量吸收小于損耗(a)(b)h222222222222()()()()2()()()()2TyxBBxyxBBIxyxBBxyxBBIxxxxxhhhh 下半相平面能量積分：上半相

11、平面能量積分：(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)參見圖3.9，其中對(duì)脈沖函數(shù)的積分要注意積分限的變化方向。hxT圖3.9在（3.9）式中令 y = 0、 x = h ，解出 h 得BIB2)(2xh在（3.11）式中令 y = 0、 x = xT ，解出 xT 得2()2TxBIBh如果能使 xT = x ，則相軌跡封閉而成為極限環(huán)，由(3.12)、(3.13)可求出實(shí)現(xiàn)這一結(jié)果應(yīng)滿足的條件為(3.12)(3.13)這意味著，對(duì)于給定的B、I 值，當(dāng)相點(diǎn)從點(diǎn)（I / 2B, 0 ）出發(fā)，將沿極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。馬上將證明，這個(gè)極限環(huán)是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)自激振動(dòng)，極限環(huán)如圖3.10；其振幅

12、 A為BIBI2;2hx同時(shí)可得BIA2(3.14)極限環(huán)從極限環(huán)外趨近極限環(huán)從極限環(huán)內(nèi)趨近極限環(huán)圖3.10 下面來(lái)研究極限環(huán)的穩(wěn)定性。由(3.12)、(3.13)可得函數(shù)關(guān)系)(xhTTxx (3.15)2222()()()()2|()1|()2TTTAAATTxxA BxAAAA BIxxAA BA BIxxhhxxxxhxxx 有即(3.16)（3.16）式意味著，在極限環(huán)鄰近的相點(diǎn)，每運(yùn)動(dòng)一周將向極限環(huán)靠近一點(diǎn)，隨著運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行，相點(diǎn)將逐漸進(jìn)入極限環(huán)，因此極限環(huán)是穩(wěn)定的。（3.15）式的含義是：相點(diǎn)從 x = x 出發(fā)運(yùn)動(dòng)一周，將到達(dá) x = xT 點(diǎn)，參見圖3.10。因?yàn)?x = A

13、時(shí)，有 xT = A 、h = A，因此，當(dāng)0Axxx，時(shí)2. 干摩擦自振當(dāng)干摩擦振子與摩擦面有恒速相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子會(huì)出現(xiàn)自激振動(dòng)，圖3.11為力學(xué)模型。圖3.11以往將干摩擦力簡(jiǎn)化為常值，對(duì)于本問(wèn)題，為了能解釋實(shí)際中出現(xiàn)的自激振動(dòng)，需要對(duì)摩擦力的模型作一些細(xì)化，如圖3.12，其中的摩擦力j 隨速度v 有小的變化。不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等于1。圖3.12jm jm則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為系統(tǒng)的平衡位置為)(0, 000vjxxx 0)(0 xxjxv (3.17)00,0, |(0)sgn( ),0, |mmmvvxxxjjjxxxj其中 v0 為摩擦面的運(yùn)動(dòng)速度，設(shè)為常值。當(dāng) 時(shí)，摩擦力

14、j (0)的值不定，需要根據(jù)不同情況確定，具體如下：00vx(3.18)0)()()()(0)()(0000 xxxvvxxvxvxx jjjj方程變?yōu)榱?3.21)將平衡位置變換到新坐標(biāo)的原點(diǎn)。方程（3.17)變?yōu)?3.19)(3.20)引入變換00()xvxxxj相平面微分方程為(3.24) (y)曲線如圖3.13。其中圖3.13minmaxv0)()(0min0maxvvmmjjjj(3.23)根據(jù)式(3.20)、(3.18)、(3.19) 和 (3.23)，(v0)的取值為0maxmin0max0maxmin0min,(),xyvxvyvxyvx yxydxdy)(3.22)于是，相平

15、面微分方程變?yōu)閥xx。其中0maxminmax0max0minmin0( ),0;,;dyyxyvdxydyxdxxdyyvxdxvxdyxdxv 當(dāng)當(dāng)(3.25)(3.26)方程（3.25）決定了幾乎整個(gè)相平面上的相軌跡分布；方程（3.26）決定了直線 y = v0 上的相軌跡或直線 y = v0 附近的相軌跡的走向。與方程（3.25）對(duì)應(yīng)的相軌跡方程（能量積分）為00202022),)(2vyxxyxyxy(3.27)因?yàn)樯鲜接叶说诙?xiàng)的值近似為零（參見圖3.13），即000max0( )()0, ( )()0y vy vy xxyxx00max0max20202200202022),()

16、( 2)(2),)(2vyxxyxxxyxyvyxxyxyxy于是方程（3.28）為兩個(gè)圓方程上疊加一個(gè)攝動(dòng)項(xiàng)，攝動(dòng)項(xiàng)將決定相軌跡是向圓內(nèi)收縮、向圓外發(fā)散或在圓周附近振蕩。方程（3.26）決定了相點(diǎn)到達(dá)y = v0 這條直線上以后的相軌跡及其走向。其中的第一個(gè)方程規(guī)定了相軌跡為一個(gè)直線段，第二、第三個(gè)方程規(guī)定了相軌跡穿越直線y = v0 的斜率。上式寫成即2max0202220202100max222max2002122)(,),()( 2)(),)(2xyRxyRvyxxyRxyvyxxyRxy其中：(3.28)根據(jù)方程（3.28）、（3.26），輔之以Lienard方法可以定出相軌線的近似

17、形狀。易知，輔助曲線 穿過(guò)相平面的原點(diǎn)，當(dāng)v0值適當(dāng)時(shí)，輔助曲線從一、三象限穿過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)原點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，原點(diǎn)附近的相軌線發(fā)散。另一方面，由方程（3.26）的第一個(gè)方程知道， 從P1( ymax, v0)、P2( ymin, v0)兩點(diǎn)之間的任意點(diǎn)出發(fā)，將沿直線 y = v0運(yùn)動(dòng)到P2( ymin, v0)點(diǎn)，再按方程（3.28）的第一個(gè)方程運(yùn)動(dòng)回到P1P2線段上的D1點(diǎn)，最后按D1 P2 D2 D1的軌跡作周期運(yùn)動(dòng)，因而構(gòu)成極限環(huán)。如圖3.14。( )xy 圖3.14近似相軌跡圓心D1D2極限環(huán)0yv1max0(,)Pv( )xy 2min0(,)Pvy3. 管內(nèi)流體喘振有些輸水管道系統(tǒng)中

18、，當(dāng)擰開水龍頭時(shí)，水管會(huì)劇烈振動(dòng)并發(fā)出噪聲，這種現(xiàn)象稱為流體的喘振，這是管內(nèi)流體自激振動(dòng)造成的。圖3.15為喘振的力學(xué)模型。設(shè)水泵通過(guò)導(dǎo)管1將水注入容器2，導(dǎo)管的長(zhǎng)度為l，容器內(nèi)的水面高度為h，導(dǎo)管和容器的橫截面積分別為S1、S2，導(dǎo)管左右dFPPSvlS)(2111導(dǎo)管內(nèi)水流的流速流量關(guān)系為 vSq1(3.29)兩端的壓強(qiáng)分別為P1、P2，水的密度為，流速為v，管內(nèi)阻力為Fd。應(yīng)用動(dòng)量定理得導(dǎo)管內(nèi)流體的動(dòng)力學(xué)方程為圖3.15壓強(qiáng)P1和管內(nèi)阻力Fd均為流速v的函數(shù)，因而也是流量q的函數(shù)。令)()(11qfFqPSd(3.30)函數(shù)f (q)的實(shí)驗(yàn)曲線如圖3.16。壓強(qiáng)P2取決于容器內(nèi)水面的高度

19、h2Pgh(3.31)設(shè)q0為容器的出水流量，由流體的連續(xù)性條件得02qqhS(3.32)方程（3.29）對(duì)t求導(dǎo)，并將(3.30)(3.32)代入，得0)()(021qqlSgSqlqfq (3.33)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為 qs = q0 ，將f(q)在 q0 附近展開，得圖3.163030320202000)()()()()()()()(qqdqqfdqqdqqfdqqdqqdfqfqf如果系統(tǒng)參數(shù)和特性的組合恰好使得 df 2(q0) /dq2 = 0，也就是q0恰好是f (q)的拐點(diǎn)，于是得23030030303030003)()()()(,)(,)()()()()()()(bxadxqdf

20、dqdxdxqdfqfdqqfdbdqqdfaqqxbxaxqfqqdqqfdqqdqqdfqfqf因此其中代入（3.33），得2202102(1)03,xxxxS gablaS l其中(3.34)方程（3.34）是van der Pol方程，因此喘振現(xiàn)象可用van der Pol方程的極限環(huán)解釋。3.4 張馳振動(dòng)現(xiàn)在我們來(lái)考察Rayleigh方程(3.1)中 為大參數(shù)的情況。不失一般性，仍然考慮 0 = 1、 = 1的情況(3.35)2(1)0 xxxx引入變換xyx,/x，得2(1)yyyxyxx相軌跡微分方程為yyyddyxx)1 (22(3.37)由于 很大，因此只要 y(1 y2)

21、x 0 , 就可認(rèn)為近似有dy / dx ，也就是只要相點(diǎn)不落在曲線 y(1 y2) = x 附近，將近似沿相平面上的鉛垂線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)相點(diǎn)到達(dá)(3.36)yx xx = y(1-y2)yx x極限環(huán)圖3.17ABCD曲線 y(1 y2) = x 附近時(shí)，相軌跡的斜率急劇變?yōu)榱悖帱c(diǎn)被吸引到曲線 y(1 y2) = x 上，沿該曲線運(yùn)動(dòng)到曲線的極值點(diǎn)，然后沿近似鉛垂線跳躍到曲線 y(1 y2) = x 的另一側(cè)，接下去，重復(fù)沿曲線 y(1 y2) = x 和沿近似鉛垂線的跳躍運(yùn)動(dòng)，因而構(gòu)成極限環(huán)，如圖3.17。相點(diǎn)在 AB 線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：可見，近似極限環(huán)由兩段鉛錘線BC、DA，和兩段y(1 y

22、2) = x 曲線AB、CD 構(gòu)成。下面，我們來(lái)估計(jì)相點(diǎn)在AB 線段和BC 線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。20003ABABABBATTTyABydddyy dyTdtyyxxxy B 對(duì)應(yīng)于dx / dy = 0 ，即2301/3BBByyy所以2(1)2/3 3BBByyx2/3 3ADBxxx 進(jìn)而2(1)2/3AAAAyyyx(3.38)21/ 32/ 33(3)3(ln2)0.8072BAyABydyy dydyTydyyy所以2002 (1)11( )(1)2/3 3BCBCCBCCBBTTyBCyByyyydydyTdtyyydyG y dyyyx相點(diǎn)在 BC 線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：1/3,2/

23、3BCAyyy 而其中21( )(1)2/3 3G yyy(3.39)(3.40)2/ 311/ 30.3113.021( )( )BCTG y dyG y dyG( y )y 曲線如下圖所示， G( y )在 yB 和 yC 的值為，這是由于假設(shè)了相軌線 BC 為直線造成的，而實(shí)際上相軌線 BC 并非為直線，且BC 與曲線 y(1 y2) = x 的銜接有一個(gè)光滑的過(guò)渡過(guò)程。因此，在計(jì)算式（3.40）的積分時(shí)，需要排除G( y )在 yB 和 yC 的奇異區(qū)間，從下圖可見，我們?nèi)》瞧娈惙e分區(qū)間為 0.3 1，由此，對(duì)式（3.40）作數(shù)值積分，得G ( y )y 曲線-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8-60-40-200G( y )yyByC(3.41)由于 很大，由式（3.39）和（3.41）可見， 有TAB TBC對(duì)極限環(huán)上的CD和DA段有相同的結(jié)果。因此在自激振動(dòng)的一個(gè)周期中，有非常明顯的快、慢交替運(yùn)動(dòng)。將速度時(shí)間曲線畫出，是類似于鋸齒的鋸齒波，如圖3.18。這種一張一弛的振動(dòng)稱為張馳振動(dòng)。ty圖3.18 = 10.0張馳振動(dòng)的的過(guò)程，從物