例談求陰影部分面積的幾種常見方法

1、例談求陰影部分面積的幾種常見方法 在初中數學中，求陰影部分的面積問題是一個重要內容，在近年來的各地中考試題中屢見不鮮這類試題大多數都是求不規(guī)則圖形的面積，具有一定的難度，因此，正確把握求陰影部分面積問題的解題方法，顯得尤為重要本文舉例介紹解決這類問題的常見方法 一、直接求解法 例1 如圖1，有一矩形紙片ABCD，AB10，AD6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，AD變到AD1位置，折痕為AE再將AED1以D1E為折痕，向右折疊，AE變到A1E位置，且A1E交BC于點F求圖中陰影部分的面積分析 因為陰影部分是一個規(guī)則的幾何圖形RtCEF，故根據已知條件可以直接計算陰影部分面積 解 如圖1，根據

2、對稱性可得 ADAD1A1D16 由已知條件易知：ECD1B4，BC6；RtFBA1RtFCE 設FC為x，則FB6x 二、間接求解法例2 如圖2，O1與O2外切于點C，且兩圓分別和直線l相切于A、B兩點，若O1半徑為3cm； O2半徑為1cm，求陰影部分面積分析 這是求一個不規(guī)則圖形的面積，沒有現(xiàn)成的面積公式，因此應采用間接的方法，設法轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差去計算 三、整體合并法 例3 如圖3，A、B、C兩兩不相交，且半徑都是0.5cm，求三個陰影部分面積之和 分析 所求的陰影部分面積是三個扇形面積之和，因為三個扇形圓心角度數不知道，所以無法單獨求解，但仔細觀察發(fā)現(xiàn)，三個扇形的圓心角分

3、別是ABC的三個內角，其和為180°，而扇形半徑都相等，所以三個扇形能合并成一個半圓于是問題獲解 解 如圖3，因為三個圓的半徑相等，三個扇形圓心角之和是180°，所以其面積就是半圓面積 四、等積變換法 例4 如圖4，A是半徑為R的O外一點，弦BC為R，OABC，求陰影部分面積分析 本題的陰影部分是不規(guī)則的圖形，求其面積較困難，但靈活運用等積變換，就可以把它的面積轉化為扇形OBC的面積，從而獲解 解 連接OC，OB， 五、分割法 例5 如圖5，在RtABC中，C90°，AC4，BC2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，求陰影部分面積 分析 陰影部分圖形不規(guī)則，不能直接求

4、面積，可以把它分割成幾個部分求面積的和 解 如圖5，連接CD AC、BC是直徑， ADCBDC90°， A、D、B三點共線 設陰影部分面積被分割為S1、S2、S3、S4四部分 則 六、轉化法例6 如圖(1)，大半圓O與小半圓O1相切于點C，大半圓的弦AB與小半圓相切于點F，且ABCD，AB4cm，求陰影部分面積 分析 如果想直接求陰影部分面積，無法求解，因為它不是規(guī)則圖形但要采取轉化思想，把小半圓平移到與大半圓的圓心重合的位置，作OEAB于點E連接OB，可知BE2cm，陰影部分面積等于大半圓面積減去小半圓的面積 解 如圖(2)，將小半圓O1移至與大半圓圓心重合，作OEAB于點E，則

5、BEAB2cm設大圓半徑為R，小圓半徑為x，在RtOEB中，有 七、割補法例7 如圖7，點P(3a，a)是反比例函數y與O在第一象限內的一個交點，求陰影部分的面積 分析 陰影部分分兩部分，難于逐一求解，但考慮反比例函數的對稱性，結合割補原理，問題變得特別簡單 解 如圖7，把右上角的S1部分分割下來，移到左下方補在S3處，與S2就組成了一個扇形OAB 易知： P(3a，a)在反比例函數y的圖象上， 3a 解得：a12，a22（舍去） P坐標為(6，2) 連接OP，作PCx軸于點C，得： 八、方程建模法 例8 如圖8，正方形邊長為a，以每邊為直徑在正方形內畫四個半圓，求陰影部分的面積 分析 本題直接求陰影部分面積較復雜，但觀察圖形特點引入