對(duì)傅立葉變換后圖像空間域與頻率域中垂直現(xiàn)象的研究

1、對(duì)傅立葉變換后圖像空間域與頻率域中垂直現(xiàn)象的研究【摘要】本文就圖像二維傅立葉變換常令人感到困惑的問(wèn)題進(jìn)行深入的討論，并對(duì)傅立葉變換后原圖和頻譜圖出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象進(jìn)行分析，同時(shí)給出數(shù)學(xué)證明?！娟P(guān)鍵詞】傅立葉變換；頻譜圖；垂直現(xiàn)象；圖像1 引言傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具，是信號(hào)處理中最重要、應(yīng)用最廣泛的變換，但遺憾的是很多人可能還是不習(xí)慣在頻域中思考問(wèn)題，尤其是面對(duì)圖像時(shí)，空間域、頻率域都是二維的，更是對(duì)空域、頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚了解。如何理解傅立葉變換后的頻譜圖，為何對(duì)不同圖像進(jìn)行傅立葉變換后產(chǎn)生的頻譜圖往往會(huì)出現(xiàn)水平和垂直的“亮線”，而對(duì)一些規(guī)則圖像進(jìn)行傅立葉變換后得到的頻譜圖往往會(huì)在

2、與原圖垂直的方向上出現(xiàn)較亮的點(diǎn)或線(如垂直條紋圖像，傅立葉變換后會(huì)在水平方向上出現(xiàn)一些較亮的點(diǎn))。這些問(wèn)題困擾著每個(gè)初學(xué)者，更讓初學(xué)者困惑的是，幾乎市面上所有有關(guān)數(shù)字圖像處理的書(shū)籍都沒(méi)有給出詳細(xì)的解釋。下面就圍繞傅立葉變換以及圖像處理中一些經(jīng)常讓人困惑的問(wèn)題進(jìn)行深入的討論。2一維傅立葉變換中的問(wèn)題討論1一維傅立葉變換是二維變換的基礎(chǔ)，下面就先對(duì)一些相關(guān)的、基本的但又很重要的概念進(jìn)行討論。(1) 實(shí)信號(hào)的傅立葉變換就信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，大家所關(guān)心的都是實(shí)信號(hào)，所以單獨(dú)對(duì)它進(jìn)行討論，可以簡(jiǎn)化工作。下面是大家所熟知的傅立葉變換公式從定義式不難推出所以可得出結(jié)論：。這說(shuō)明實(shí)函數(shù)的傅立葉變換是實(shí)部為偶函數(shù)，虛

3、部為奇函數(shù)，也就是說(shuō)：求某一實(shí)函數(shù)的傅立葉變換時(shí)，它的幅度譜總是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，而相位譜左右兩邊只是差一個(gè)負(fù)號(hào)，即左右互為復(fù)共軛。由此可見(jiàn)，就實(shí)際應(yīng)用來(lái)講，無(wú)論哪邊的頻譜都是完備的，并且負(fù)頻率本身也不具有什么意義，但是當(dāng)用更為通用的數(shù)學(xué)方法去對(duì)物理過(guò)程建模時(shí)，保留負(fù)頻率部分會(huì)使分析更加容易。(2) 正弦分量的分解大家知道，任何滿足狄里赫利條件的信號(hào)都可以通過(guò)傅立葉變換表征為一組正(余)弦信號(hào)的和或積分，而由圖1可以從頻域得出這一結(jié)論：由于任何實(shí)函數(shù)的傅立葉變換都是偶函數(shù)，所以對(duì)于任意一個(gè)實(shí)信號(hào)，將它的傅立葉變換在頻率域進(jìn)行抽樣時(shí)，都能得到無(wú)數(shù)的抽樣脈沖對(duì)(見(jiàn)圖2)，也即將這些脈沖對(duì)累加起來(lái)就得

4、到了，而當(dāng)脈沖寬度趨于零時(shí)，每個(gè)脈沖對(duì)正好是某個(gè)頻率的余弦信號(hào)的傅立葉變換，這從頻率域的角度驗(yàn)證了任何一個(gè)實(shí)信號(hào)都可以看作是由若干個(gè)正(余)弦信號(hào)以及相應(yīng)的幅度所組成。圖2 實(shí)信號(hào)及傅立葉變換通過(guò)以上的討論可得出兩個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論：(1)實(shí)信號(hào)的頻譜是對(duì)稱(chēng)的；(2)信號(hào)在時(shí)域和頻域中是相互對(duì)應(yīng)的，總是能把實(shí)信號(hào)看作是由若干不同頻率、振幅的正弦波組成。3.圖像的二維傅立葉變換3.1二維離散傅立葉變換的定義圖像經(jīng)數(shù)字化處理后，可以用二維離散信號(hào)表示。對(duì)于二維離散信號(hào)，其離散傅立葉變換定義為： （1）式中，稱(chēng)為空間頻率。反變換定義為 （2）式中。在圖像處理時(shí)，一般選取圖像塊為的方陣，即取，這時(shí)二維離散傅

5、立葉變換和反變換式：為 （3）及 （4）在（3）（4）兩式中，。本文都是選取的圖像進(jìn)行討論的。3.2頻譜圖的理解2由（3）式可知圖像經(jīng)傅立葉變換后，往往得到的是復(fù)數(shù)形式。要直接表示結(jié)果就必須用到兩幅圖像：一幅表示實(shí)部，一幅表示虛部。這樣表示十分不方便，同時(shí)也沒(méi)有得到有用的信息，因此引入變換結(jié)果的模作為值在頻譜圖中表示出來(lái)，以灰度的明暗代表模的大小。作為典型的二維信號(hào)，圖像的頻率相應(yīng)地也是二維的。其分別對(duì)應(yīng)著圖像的像素值在兩個(gè)相互垂直的方向上變化的情況（如圖）。根據(jù)對(duì)一維離散信號(hào)頻譜的分析結(jié)果可知，頻譜在三點(diǎn)處的頻率分別為為圖像信號(hào)的最高截止頻率。將其推廣到二維，則在圖像頻譜圖中所有沿方向的頻率

6、值變化情況與一維相同，也有。同理，在方向上也有相同的結(jié)果。因此，在頻譜圖四角處沿和方向的頻率分量均為0，在頻譜圖中心點(diǎn)處沿和方向的頻率分量均為最大值。圖3 圖像頻譜示意圖由于圖像中的大部分能量集中在低頻分量上，因此頻譜圖中四角部分的幅度值較大。然而，在實(shí)際的圖像頻譜分析過(guò)程中，由于低頻分兩區(qū)域較小，并且分散在四角，因此不利于對(duì)其進(jìn)行分析。此時(shí)，可以根據(jù)圖像頻譜的周期性和共軛對(duì)稱(chēng)性對(duì)頻譜圖坐標(biāo)進(jìn)行移位，將所有低頻分量集中在頻譜圖中心，同時(shí)高頻分量分散在四周。在具體實(shí)現(xiàn)頻譜的移位過(guò)程中，將圖3中的區(qū)域A和區(qū)域D對(duì)換位置，將區(qū)域B和區(qū)域C對(duì)換位置即可。進(jìn)行移位之后大大增加了圖像頻譜的可讀性，如圖3所

7、以。 (a)原圖像 (b)移位前的頻譜 (c)移位后的頻譜圖3 簡(jiǎn)單矩形圖像坐標(biāo)移動(dòng)前后的頻譜圖3.3頻譜圖的垂直現(xiàn)象及單條直線段垂直現(xiàn)象對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換后所得到的移位后的頻譜圖往往會(huì)在垂直方向和水平方向上出現(xiàn)兩條“亮線”(如圖3)，這個(gè)現(xiàn)象常常困擾初學(xué)者，為什么會(huì)出現(xiàn)這兩條亮線，什么時(shí)候會(huì)出現(xiàn)這兩條亮線？要很完整的回答這些問(wèn)題很不容易，因?yàn)檩斎雸D像可以有很多種，但產(chǎn)生的頻譜圖大多都有這兩條亮線。因此應(yīng)該選取一些特殊的圖像進(jìn)行研究，接下來(lái)就選取：?jiǎn)螚l直線段，fringe patterns圖像進(jìn)行討論。如圖上方的為原圖，下方為傅立葉變換并后未移位的頻譜圖： (a) sin(x+y) (b)

8、x = a (c) x + y = N-1圖3.3 一些特殊圖像及其傅立葉變換后的頻譜圖圖3.3(a)是fringe patterns3 sin(x+y)的圖像，可以看到圖像變換后的頻譜圖中出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)分別與原點(diǎn)及(N-1,N-1)的連線是沿著u = v的方向4。而原圖像在x+y = b (b為0到2N-2的正整數(shù))的灰度值是相等的，這與u = v方向正好是垂直的。圖(b)中的垂直現(xiàn)象就更明顯了，原圖為一水平線，變換后的頻譜圖中在v = 0上出現(xiàn)一條亮線，這與原圖的方向正好垂直。圖(c)為直線段x + y = N-1，變換后的頻譜圖為直線段u = v，同樣出現(xiàn)了垂直現(xiàn)象。上述對(duì)一些比較特

9、殊的圖像進(jìn)行了傅立葉變換后中都出現(xiàn)了原圖像與頻譜圖存在一定垂直關(guān)系的現(xiàn)象。對(duì)這樣的垂直現(xiàn)象的研究能較好的理解頻譜圖和二維傅立葉變換，接下來(lái)就給出垂直現(xiàn)象的數(shù)學(xué)證明和物理意義的解釋。4.垂直現(xiàn)象的數(shù)學(xué)證明本節(jié)給出只由一條直線段組成的圖像的數(shù)學(xué)證明，在4.1中給出對(duì)圖像內(nèi)任意一條水平的直線段的證明，在4.2節(jié)中給出任意一條斜線段的證明。因?yàn)轭l譜圖中的灰度代表傅立葉變換的模值，因此證明變換前后出現(xiàn)垂直現(xiàn)象，實(shí)際上就是求傅立葉變換后模將會(huì)在什么位置或者說(shuō)什么方向上出現(xiàn)最大值。即討論求模公式：的最大值將出現(xiàn)在的什么方向上。4.1水平直線段垂直現(xiàn)象的證明設(shè)輸入圖像為一個(gè)的二維矩陣，圖像內(nèi)任意一條水平直線段

10、定義如下：帶入（1）式可得：由（2）式可以看出，模的值只可能出現(xiàn)在的一列或者多列，也就是說(shuō)在變換后的頻譜圖里亮線可能出現(xiàn)在垂直的方向上，這就很好的證明了圖3.3(b)中出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象。但是（2）式并不能說(shuō)明模值只出現(xiàn)在這一列，因此還要對(duì)（2）式進(jìn)行進(jìn)一步的討論。如果把（2）式中的連加看成是對(duì)積分的取樣，并把擴(kuò)充到，則可以得到如下的（3）式，并對(duì)其計(jì)算可得以下的等式：4.2單條斜線段垂直現(xiàn)象的數(shù)學(xué)證明5.垂直現(xiàn)象的物理意義5.1圖像傅立葉變換的物理意義由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們就可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而像素

11、之間的梯度關(guān)系在傅立葉變換后表現(xiàn)為頻率，也就是說(shuō)圖像的頻率是表征圖像中灰度變換劇烈成都的指標(biāo)。假設(shè)為一個(gè)的圖像則它的離散二維傅立葉變換可定義為： 其傅立葉反變換為：對(duì)上述的傅立葉正變換做一些變形可得到下面的式子：可以看到經(jīng)過(guò)變形后，二維的傅立葉變換可以通過(guò)兩次一維傅立葉變換得到。因此對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換可以先對(duì)行（水平方向）進(jìn)行一維的傅立葉變換，得出的結(jié)果再對(duì)列（垂直方向）進(jìn)行一維的傅立葉變換。這樣就是使得圖像的傅立葉變換實(shí)際上把頻率分成水平分量和垂直分量，即分量和分量。用這個(gè)思想再去分析圖3.3b可知：圖3.3b是一幅只包括單條水平線的簡(jiǎn)單圖像，顯然它只在垂直方向上有灰度跳變（垂直方向是梯度

12、的方向），所以從它的頻譜圖中只能看到垂直分量。這樣就能很好的解釋變換前后所出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象。5.2從公式角度解釋垂直現(xiàn)象的物理意義連續(xù)二維傅立葉變換可以表示為：則有： 代回原式可得：內(nèi)積表示空域內(nèi)點(diǎn)在向量方向上的投影。這樣就把圖像向相應(yīng)的所指向的方向投影。這就能很好的解釋fringe patterns經(jīng)過(guò)傅立葉變換后，在頻譜圖中最亮的點(diǎn)是沿著fringe patterns變化的方向。如圖3.3a的fringe patterns：，當(dāng)把圖像向= (或者說(shuō)是)方向投影并以灰度值為縱坐標(biāo)時(shí)，可以近似得到圖5.2.1中的右圖，可以看出在=這個(gè)方向上有固定頻率物理意義就是：輸入函數(shù)的所有點(diǎn)在= (或)方向

13、的投影所得到的函數(shù)只有一個(gè)頻率為的正弦分量，也就是說(shuō)所有的點(diǎn)在=方向上只能在上有值。這樣就會(huì)產(chǎn)生“疊加”的效果，我們就可以在-平面上看見(jiàn)兩個(gè)亮點(diǎn)。圖5將圖像投影到的方向上現(xiàn)在就能解釋為什么對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換后常常會(huì)出現(xiàn)水平和垂直的“亮線”，如圖5的右圖是左圖的頻譜圖，由前面的結(jié)論可知，頻譜圖中的水平亮線是由原圖中背景的垂直條紋產(chǎn)生，而垂直亮線則主要是由原圖中的鏡框及一些灰度規(guī)律變化的水平線產(chǎn)生的。 圖5原圖像與傅立葉變換后的頻譜圖6.總結(jié)通過(guò)對(duì)單條直線段的簡(jiǎn)單圖像的分析和證明，可以從數(shù)學(xué)角度和物理意義兩個(gè)方面解釋傅立葉變換后原圖像與生成頻譜圖之間出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象，從而能更好的理解傅立葉變換在圖

14、像處理中應(yīng)用的意義，同時(shí)解決了在利用傅立葉變換對(duì)圖像進(jìn)行處理過(guò)程中的一些疑惑。參考文獻(xiàn)1 張若嵐，劉勁松.圖像信號(hào)的頻域理解J.數(shù)字電視與數(shù)字視頻.2002, 1002-86922 馬平編著.數(shù)字圖像處理和壓縮M.20073 S. De Nicola a, *, P. Ferraro . A two-dimensional fast Fourier transform method for measuring the inclination angle of parallel fringe patternsJ. Optics & Laser Technology 30 (1998) 1

15、67±1734 D.G. Bailey, Dept. of Phys., Massey Univ., Palmerston North, New Zealand . Detecting regular patterns using frequency domain self-filteringJ. Image Processing, 1997. Proceedings., International Conference on Download from IEEE1、為什么要進(jìn)行傅里葉變換，其物理意義是什么？傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首

16、先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。

17、它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類(lèi)：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類(lèi)似;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)

18、的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;5. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱(chēng)為快速傅立葉變換算法(FFT)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。2、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化

19、緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下