數(shù)學(xué)教案向量X教師

1、向量知識(shí)清單一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱(chēng)為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔](méi)有大小.4.零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè),其方向是任意的.5.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單

2、位的向量.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱(chēng)為平行向量.7.相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問(wèn)題奠定了基礎(chǔ),向量確實(shí)是一個(gè)好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算

3、,向量運(yùn)算問(wèn)題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)2 / 13兩個(gè)向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：; ;兩個(gè)向量的數(shù)量積: ·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，

4、兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿(mǎn)足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如(±)2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使，稱(chēng)為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.這說(shuō)明如果且,那么.當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則

5、=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實(shí)數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),>0；當(dāng)與異向時(shí),<0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長(zhǎng)度);(垂直的判斷); (求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地

6、分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題,由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值.注:兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)(其中),這個(gè)數(shù)的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān). 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.課前預(yù)習(xí)1在中，2.平面內(nèi)三點(diǎn),若，則x的值為13. 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(·)(·)=0|-|<|(·)(·)不與垂直(3+2)·(32)=9|2- 4|2中，真命題是4. OAB中,=,=,=,若=，tR，則點(diǎn)P在AOB平分線

7、所在直線上5.已知,則實(shí)數(shù)x=_6_.6.已知?jiǎng)t_(-2,-6)_, _(4,-2)_,與的夾角的余弦值是_.7在中, ,若,則= .； 8. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。D(1,1) =(-1,2) B AC O F D E典型例題一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念例1.如圖，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫(xiě)出圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。解：, D CA B二、平面向量的線性運(yùn)算例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，嗎？=a+b, = a-b D E C A B 變式1：如圖，在五

8、邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ，試用a ，b ， c ， d表示向量和.=a+b+d =-a-b-c-d變式2：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則ab+cd=0變式3：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是梯形變式4：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的充要條件變式5：在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形例3如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b， baa + 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？A、B、C三點(diǎn)共線 變式1：

9、已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，證明：A、B、C三點(diǎn)共線證明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三點(diǎn)共線變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，試求m、n之間的關(guān)系n=2m-6例4.已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證： D C E F A B 變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示例5.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a /

10、b ，求 y 3變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為 或變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，值為變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是(0,1)變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) 試問(wèn)：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)， kab與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？ k=- 反向例6.設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)（）OAPQBab變式1：已知兩點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則

11、，(用a、b表示)四、平面向量的數(shù)量積例7.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)·(ab) -72變式1：已知那么與夾角為變式2：已知向量a和b的夾角為60°，| a | 3，| b | 4，則（2a b）·a等于12變式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·等于±2變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.t0且t例8.已知|a|3，|b| 4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a + kb 與ab互相垂直？ k=變式1：已知ab ，|a|2，|b| 3，且向量3a + 2b與kab互相垂直，

12、則k的值為變式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，則a與b夾角的大小為 例9.已知a = (4，2)，求與向量a 垂直的單位向量的坐標(biāo)（-）（）變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是3i+2j 或3i2j 變式2：已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=1變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ B ）ABCD變式4：已知向量a（3，4），b（2，x）， c（2，y）且ab，ac求|bc|的值例10.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明直角三角形變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則 一定為直角三角形變式2：已