函數(shù)有三個零點與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)有三個零點與導(dǎo)數(shù)解決方法：一、能分離參數(shù)，則分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合若直線與函數(shù)圖象有三個交點，則函數(shù)有極大值與極小值，直線應(yīng)在兩個極值點所對應(yīng)的點之間平移。即：g(x)極小參數(shù)g(x)極大。二、不能分離參數(shù)，則利用f(x)極小0，f(x)極大0求解，如圖。1.若函數(shù)f（x）=x3-3x+a有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍解：方法：分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合法由f（x）=x3-3x+a=0得：a=-x3+3x，令y=a，y=-x3+3x,f（x）=x3-3x+a有三個不同的零點，等價于y=a與g(x)=-x3+3x有三個交點，對于函數(shù)y=-x3+3x，由g(x)=-3x2+3=0，得x=±

2、1，當x-1或x1時，g(x)0，g(x)=-x3+3x在（-，-1）和（1，+）上是減函數(shù)；當-1x1時，g(x)0，g(x)=-x3+3x在（-1，1）上是增函數(shù)，g(x)極小= g(1)=-2； g(x)極大= g(-1)=2.y=a與g(x)=-x3+3x有三個交點，-2a2，故a的取值范圍是（-2，2）方法：f(x)極小0，f(x)極大0由f（x）=x3-3x+a有三個不同的零點，則f（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0；由f（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x1=1，x2=-1，所以函數(shù)f（x）的兩個極值點，x（-，-1），f（x）0，x（-1，1），f

3、（x）0，x（1，+），f（x）0，f（x）的極小值f（1）=a-2和極大值f（-1）=a+2因為f（x）=x3-3x+a有三個不同的零點，所以，解之，得-2a2故a的取值范圍是（-2，2）2已知函數(shù)f（x）=x2-4x+3lnx+m有且只有三個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍解：f（x）=x2-4x+3lnx+m，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+）上是增函數(shù)；x=1是f（x）的極大值點，x=3是f（x）的極小值點。又f（1）=-4+m=m-，f（3）=-12+3ln3+m=m+3ln3-，函數(shù)f（x）=x2-4x+3lnx+m有且只有三個不同的零點，等價于f（

4、1）=-4+m=m-0且f（3）=-12+3ln3+m=m+3ln3-0，m-3ln3m的取值范圍為（，）3（2016東湖區(qū)月考）已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a0（1）當a2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍本題第（2）問可以改為：（3）當a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有且只有一個零點，求m的取值范圍（4）當a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有兩個不同的零點，求m的取值范圍（此問無解）解：（1）由f（x）=x2-（a+2）x+alnx可知，函數(shù)的定義域為x|x0，且，a2，1當0x1或x時，f（

5、x）0；當1x時，f（x）0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(，+)（2）當a=4時，當x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，1）1（1，2）2（2，+）f（x）+0-0+f（x）單調(diào)遞增f（x）取極大值單調(diào)遞減f（x）取極小值單調(diào)遞增f(x)極大值f(1)126×1+4ln15，f(x)極小值f(2)226×2+4ln24ln28函數(shù)f（x）的圖象大致如下：若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點，則m（4ln2-8，-5）4已知a0，函數(shù)f（x）=ax2-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x（）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處

6、的切線方程；（）討論g（x）的單調(diào)性；（）當a1時，若函數(shù)h（x）=g（x）+5+有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍5（2015連云港三模）函數(shù)f（x）=ax-x2（a1）有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是 解：先畫草圖大致分析一下：令y=ax（a1）,y=x2,在同一坐標系中畫出它們的圖象，當x0時，顯然它們的圖象，有一個交點，即f（x）=ax-x2（a1）有一個零點。當x0時，由ax-x2=0，可得ax=x2，xlna=2lnx，令，則=0，可得x=e，h(x)在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+）上單調(diào)減，h（x）max=h（e）=，又x0時，；x+時，當0lna，即當時，y=lna與

7、 (x0)有兩個不同的交點，即有兩個不同的解，當時，f（x）=ax-x2（a1，x0）有兩個不同的零點。又x0時，必有一個交點，時，函數(shù)f（x）=ax-x2（a1）有三個不同的零點，故答案為：6（2015海淀區(qū)一模）已知函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的范圍解：由題意可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)的部分，函數(shù)圖象的右半部分為開口向上的拋物線，對稱軸為x=，最多兩個零點，如上圖，要滿足題意，必須指數(shù)函數(shù)的部分向下平移到與x軸相交，由指數(shù)函數(shù)過點（0，1），故需下移至多1個單位，故0a1，還需保證拋物線與x軸由兩個交點，故最低點0，解得a0或a，綜合可得a1，a的取值范圍為：a1。7已知函數(shù) 有三個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍解：當x0時，f（x）=lnx-2x+a，則f（x）=2，由f（x）0得0x，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f（x）0得x，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當x=時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值f（）=ln-1+a，當x0時，函數(shù)f（x）=2x-為增函數(shù)，如圖：要使