三角函數(shù)總結(jié)

1、概念、題型及方法總結(jié) 三角函數(shù)1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。如時(shí)鐘經(jīng)過(guò)一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了 弧度。2、象限角和軸線角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，此類角稱為軸線角。如若，則角的終邊在第 象限。（答：三）3、終邊相同的角的表示： （1）終邊與終邊相同，注：相等

2、的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角終邊相同，且絕對(duì)值最小的角度數(shù)是，合弧度。 （2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .？（3）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.？（4）終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.（5）終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.如1）的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則_。 2）若是第四象限角，則是第 象限角。 4、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則是第_象限角 5、與角有關(guān)的集合問(wèn)題：關(guān)鍵是弄清集合中含有哪些元素。方法有：一是將集合中表示角的式子化為同一結(jié)構(gòu)形式；二是用列

3、舉法把集合具體化；三是數(shù)形結(jié)合，即在坐標(biāo)系中作這些角。如已知集合，則與的關(guān)系如何？ 6、弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：角度與弧度的轉(zhuǎn)換：1°=，如已知扇形的周長(zhǎng)是40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？7、任意角的三角函數(shù)的定義：?jiǎn)挝粓A定義：設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么， .坐標(biāo)點(diǎn)定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是，那么，。如（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，12)，則的值為。（2）設(shè)是第三、四象限角，則的取值范圍是_8、三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線OM“躺在

4、軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”. 如（1）若，則的大小關(guān)系為_(kāi) （2）若為銳角，則的大小關(guān)系為_(kāi) 9、特殊角的三角函數(shù)值：0°30°45°60°90°180°270°0101101001010、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系： （2）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般可不用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是利用三角函

5、數(shù)定義直接求值。如1）已知，則_2）若，則使成立的取值范圍是_3）已知，則 ； 4）已知，則等于 A、 B、 C、 D、5）已知，則的值為_(kāi)6）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，,求的值11、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值。如（1）的值為_(kāi)（2）已知，則_，若為第二象限角，則_。12、和角與差角公式、二倍角公式、升降冪公式、半角公式 .，；，.如（1）下列各式中，值為的是 （答：C）；A、 B、C、D、（2）已知，那么的值為_(kāi)（3）的值是_；13、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)

6、、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎?（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，等）如1）已知，那么的值是_。2）已知，且，求值。3）已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_(kāi) (2)三角函數(shù)名互化(切化弦)，如1）求值 2）已知，求的值 (3)公式變形使用。如1）已知A、B為銳角，且滿足，則_ 2)設(shè)中，則是_三角形(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升如1)若，化簡(jiǎn)為_(kāi) 2）函數(shù)的

7、單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。如1）求證：； 2）化簡(jiǎn)： (6)常值變換主要指“1”的變換（等），如已知，求 (7)正余弦“三兄妹”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”，如1）若 ，則 _ （答：)，特別提醒：這里；2）若，求的值。 （答：）；3）已知，試用表示的值 （答：）。14、輔助角公式（收縮代換）的應(yīng)用：(其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。如（1）若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_. （答：2,2）；（2）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，的值是_ (答：)；（3）如果是奇函數(shù)，則= (答：2)；（4）求值：_ (答：32)15、

8、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。16、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域（有界性）：都是，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。如1）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則_，（答：或）；2）函數(shù)（）的值域是_ （答：1, 2）；3）若，則的最大值和最小值分別是_ 、_ （答：7；5）；4）函數(shù)的最小值是_，此時(shí)_（答：2；）；5）己知，求的變化范圍 （答：）；6）若，求的最大、最小值（答：，）。特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你注

9、意到正余弦函數(shù)的有界性了嗎？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如1)若，則_ （答：0）；2) 函數(shù)的最小正周期為_(kāi) （答：）；3) 設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為（答：2）（4）奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與軸的交點(diǎn)）。如1）函數(shù)的奇偶性是_ （答：偶函數(shù)）；2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_ （答：5）；3）函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是_、_（答：、）；4）已知為偶函數(shù)，求的值。 （答：）5）如果函數(shù)的圖像關(guān)于

10、點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為 （A） （B） （C） (D) （答：C）（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了！ 如1）已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是 （答：） 2）下列關(guān)系式中正確的是 （答：C）A B C D3）設(shè)函數(shù)的最小正周期為（）求的值； （）若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求的單調(diào)增區(qū)間 （答：（）；（）17、形如的函數(shù)：（1）幾個(gè)物理量：A振幅；頻率（周期的倒數(shù)）；相位；初相；（2）函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由特殊點(diǎn)確定。如1）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 （答：0）2）已

11、知函數(shù)（其中）的周期為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為. （）求的解析式；（）當(dāng)，求的最值.（答：（）；（）（3）函數(shù)圖象的畫(huà)法： 五點(diǎn)法”設(shè)，令0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象； 圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。（4）函數(shù)的圖象與圖象間的變換： 如1）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到的圖象？ （答：略）；2) 要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)圖象向_平移_個(gè)單位 （答：左；）；3）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是A. B. C. D. （答：B）；4）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為 （答：）（5）研究函數(shù)性質(zhì)

12、的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正。如1）函數(shù)的遞減區(qū)間是_ （答：）；2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，它的周期是，則 （答：C）；A、 B、在區(qū)間上是減函數(shù)C、D、的最大值是A 3）對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到；圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像。其中正確結(jié)論是_ （答：）；18、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：。遇到有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)定義域了嗎？（2）值域是R，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且

13、周期是，它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。（4）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是，特別提醒：正切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與軸的交點(diǎn)，但無(wú)對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。如下圖： 19、絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變；20、解三角形（一）三角形中的有關(guān)公式： (1)內(nèi)角和定理

14、：三角形內(nèi)角和為，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：正弦定理的一些變式：； 已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常用余弦定理鑒定三角形形狀.(4)面積公式：等等（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.(5)三角形中的射影公式：； .特別提醒： 求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意這個(gè)特殊性：； 求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，

15、常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。（二）常見(jiàn)三角形的基本類型及解法：（1）已知兩角和一邊（如：） 解法：；.（2）已知兩邊和夾角（如：）解法：；由求；.（3）已知三邊（如：）解法：由求；由求；.（4）已知兩邊和其中一邊對(duì)角（如：）（注意討論解的情況）解法1：；由余弦定理推論求；.解法2：由求；.如1）在中，AB是成立的_條件（答：充要）；2）在中， ，則_（答：）；3)在中，分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若，則（答：）；4）在中，若其面積，則=_ （答：）；5）在中，這個(gè)三角形的面積為，則外接圓的直徑是_（答：）；6）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，= ，的最大值為（答：）；7）在ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是 （答：）；8）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關(guān)系式，求 （答：）9）中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。10）在銳角中，則的值等于 2 ，的取值范圍