平面向量數(shù)量積運(yùn)算專題(共21頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量數(shù)量積運(yùn)算題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，則的值為_(kāi).(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，那么的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32變式訓(xùn)練1(2015湖北)已知向量，|3，則_.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，

2、則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. B. C. D.變式訓(xùn)練2(2014課標(biāo)全國(guó))已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_(kāi).題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120，則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_(kāi).變式訓(xùn)練3(2015浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2.若平面向量b滿足be1be21，則|b|_.高考題型精練1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a，ABC60，則等于()A

3、.a2 B.a2C.a2 D.a2 2.(2014浙江)記maxx，yminx，y設(shè)a，b為平面向量，則()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖，在等腰直角ABO中，OAOB1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線上任一點(diǎn)，設(shè)a，b，p，則p(ba)等于()A. B.C.

4、 D.5.在平面上，|1，.若|，則|的取值范圍是()A.(0， B.(，C.(， D.(，6.如圖所示，ABC中，ACB90且ACBC4，點(diǎn)M滿足3，則等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)設(shè)a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.08.(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_.9.設(shè)非零向量a，b的夾角為，記f(a，b)acos bsin .若

5、e1，e2均為單位向量，且e1e2，則向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為_(kāi).10.如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，60，則|_.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).當(dāng)ab時(shí)，求cos2xsin 2x的值；12.在ABC中，AC10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實(shí)數(shù)t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.平面向量數(shù)量積運(yùn)算題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，則的值為_(kāi).(2)已

6、知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，那么的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32答案(1)2(2)D解析(1)如圖，()()()()22cos 120222222cos 1202，又1，1，2.(2)方法一設(shè)|x，APB，則tan ，從而cos .|cos x2x21323，當(dāng)且僅當(dāng)x21，即x21時(shí)取等號(hào)，故的最小值為23.方法二設(shè)APB，0，則|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2，0x1，則2x323，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時(shí)取等號(hào).故的最小值為23.方法三以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則圓O的方程為x2y21，設(shè)A(x1，y1)

7、，B(x1，y1)，P(x0,0)，則(x1x0，y1)(x1x0，y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.從而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值為23.點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫(xiě)法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”.(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題：ab0時(shí)得不到a0或b0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2，但|ab|a|b|.變式訓(xùn)練1(2015湖北)已知向

8、量，|3，則_.答案9解析因?yàn)?，所?.所以()2|20329.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B.C. D.(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. B.C. D.答案(1)A(2)B解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)記向量2ab與a2b的夾角為

9、，又(2ab)242232423cos 13，(a2b)222432423cos 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即2ab與a2b的夾角的余弦值是.點(diǎn)評(píng)求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.變式訓(xùn)練2(2014課標(biāo)全國(guó))已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_(kāi).答案90解析()，點(diǎn)O是ABC中邊BC的中點(diǎn)，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得與的夾角為90.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向

10、量a和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120，則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_(kāi).答案(1)A(2)5解析(1)因?yàn)槠矫嫦蛄縜和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120，所以|2ab| 2.(2)方法一以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.

11、方法二設(shè)x(0x|ab|，此時(shí)，|ab|2|a|2|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時(shí)，|ab|a|2|b|2；當(dāng)ab時(shí)，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選D.3.(2015湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，AC為圓直徑，故2(4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y).故|，x1時(shí)有最大值7，故選B.4.如圖，在等腰直角ABO中，OAOB1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線l，P為垂線上任一點(diǎn)，設(shè)a，

12、b，p，則p(ba)等于()A. B.C. D.答案A解析以O(shè)A，OB所在直線分別作為x軸，y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直線l的方程為yx，即xy0.設(shè)P(x，x)，則p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5.在平面上，|1，.若|a，所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因?yàn)閤0，所以2x，.所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范圍為1，.12.在ABC中，AC10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實(shí)數(shù)t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.解(1)由，且A，B，D三點(diǎn)共線，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定