數(shù)值分析課后習(xí)題答案(共81頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章習(xí)題解答 1. 在下列各對數(shù)中，X是精確值的近似值（1） =，x=3.1 （2） =1/7，x=0.143（3） =/1000，x=0.0031 （4） =100/7，x=14.3試估計x的絕對誤差和相對誤差。解：（1） e=3.1-0.0416， r= e/x0.0143 （2） e=0.143-1/70.0143 r= e/x0.1 （3） e=0.0031-/10000.0279 r= e/x0.9 (4) e=14.3-100/70.0143 r= e/x0.0012. 已知四個數(shù)：x1=26.3，x2=0.0250， x3= 134.25，x4=0.0

2、01。試估計各近似數(shù)的有效位數(shù)和誤差限，并估計運算1= x1 x2 x3和1= x3 x4 /x1的相對誤差限。解：x1=26.3 =3 x1=0.05 rx1=x1/x1=0.19011×10-2 x2=0.0250 =3 x2=0.00005 rx2=x2/x2=0.2×10-2 x3= 134.25 =5 x3=0.005 rx3=x3/x3=0.372×10-4x4=0.001 =1 x4=0.0005 rx4=x4/x4=0.5由公式：er（）= e（）/1/ni=1f/xixier（1）1/1x2 x3x1+ x1 x3x2 +x1 x2x3 =0.3

3、4468/88. =0.er（2）1/2-x3 x4/ x21x1+ x4/ x1x3 + x3 / x1x4 =0.497073. 設(shè)精確數(shù)>0，x是的近似值，x的相對誤差限是0.2，求x的相對誤差限。解：rni=1f/xixi =1/x·1/ x·x=rx/x=0.2/x即r0.2/x4. 長方體的長寬高分別為50cm，20cm和10cm，試求測量誤差滿足什么條件時其表面積的誤差不超過1cm2。解：S=2（xy+yz+zx）rS(x+y)z+(y+z)x+(z+x)y/xy+yz+zx x=y=zrz(x+y+z)x /xy+yz+zx<1x<17/6

4、1.06255.6. 改變下列表達(dá)式，使計算結(jié)果更準(zhǔn)確。（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3）（4）7、計算的近似值，取。利用以下四種計算格式，試問哪一種算法誤差最小。（1） （2）（3） （4） 解：計算各項的條件數(shù) 由計算知，第一種算法誤差最小。解：在計算機上計算該級數(shù)的是一個收斂的級數(shù)。因為隨著的增大，會出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象。9、 通過分析浮點數(shù)集合F=（10，3，-2，2）在數(shù)軸上的分布討論一般浮點數(shù)集的分布情況。 解：浮點數(shù)集合F=（10，3，-2，2）在數(shù)軸上離原點越近，分布越稠密；離原點越遠(yuǎn)，分布越稀疏。一般浮點數(shù)集的分布也符合此規(guī)律。10、試導(dǎo)出計算積分的遞推計

5、算公式，用此遞推公式計算積分的近似值并分析計算誤差，計算取三位有效數(shù)字。 解： 此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。 第二章習(xí)題解答1.（1） Rn×n中的子集“上三角陣”和“正交矩陣”對矩陣乘法是封閉的。（2）Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對稱陣”和“單位上（下）三角陣”對矩陣求逆是封閉的。設(shè)A是×的正交矩陣。證明A-1也是×的正交矩陣。證明：（2）A是×的正交矩陣 A A-1 =A-1A=E 故（A-1）-1=A A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1 =E 故A-1也是×的正交矩陣。設(shè)A是非奇異的對稱陣，證A-1也是非奇異的對稱陣

6、。A非奇異 A可逆且A-1非奇異 又AT=A （A-1）T=（AT）-1=A-1 故A-1也是非奇異的對稱陣設(shè)A是單位上（下）三角陣。證A-1也是單位上（下）三角陣。證明：A是單位上三角陣，故|A|=1，A可逆，即A-1存在，記為（bij）n×n 由A A-1 =E，則 （其中 ji時，） 故bnn=1, bni=0 (nj) 類似可得，bii=1 (j=1n) bjk=0 (kj) 即A-1是單位上三角陣綜上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩陣”，“非奇異的對稱陣”和“單位上（下）三角陣”對矩陣求逆是封閉的。2、試求齊次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。 A= 解：A= 故齊

7、次線行方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為，3.求以下矩陣的特征值和特征向量。A1=， A2 解：A1=，|I- A1|= ， 解（1I- A）x=0 得 解（2I- A）x=0 得4、已知矩陣，求A的行空間及零空間的基。解：5、已知矩陣，試計算A的譜半徑。解：6、試證明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐標(biāo)，其中1=（1，1，1，1）T， 2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得 y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中兩組基 S1=1，2，3=，S2=1 ，2 ，3 = 求

8、從S1 到S2的過度矩陣； 設(shè)已知u=（2，1，2）T R3求u在S1 下的坐標(biāo)和u在S2下的坐標(biāo)。解： A= S1-1S2= 對u=（2，1，2）T 在S1 下，由u=S1x可求出x= S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x= S2-1u=10. 已知A=，求dim(R(A), dim(R(AT), dim(N(A).解：A=dim(R(A)=dim(R(AT)=r(A)=2dim(N(A)=n-r=4-2=211、已知A=span1,ex,e-x,D=是X上的線性變換，求 D關(guān)于基S1=1,2ex,3e-x的矩陣A； D關(guān)于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩陣B

9、。解：由Dx=S1A,設(shè)A=X（1），X（2），X（3） D（1）=0，0= S1 X（1）=0·1+0·2 ex+0·3e-x, X（1）=(0,0,0)T D（ex）= ex ,ex= S1 X（2）=0·1+·2 ex+0·3e-x, X（2）=(0, ,0)T D（e-x）= -e-x , -e-x = S1 X（3）=0·1+0·2 ex+·3e-x, X（2）=(0, 0, )T 類似的可得D關(guān)于基S2=1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2的矩陣B為12、已知線性變換T：P2（t）P

10、3（t）,定義T為T（P（t）=求線性變換T在基偶（S1=1,t,t2, S2=1,t，t2/2,t3/3）下的矩陣。 解：設(shè)所求矩陣為A，則有T S1 =S2A T（1）= T（t）= T（t2）= 13、設(shè)A Rm×n,定義從Rn到 Rm的變換T為T：xRn y=Ax xRm試證明T是線性變換。證明： ，有 故，由定義知，T是線性變換。14、 已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。線性變換T：R3R2 定義為x=（x1 ，x2 ，x3）T R3，Tx=（x2 +x3 ，x1 +x3）T R2.求 T在（S1 ，S2）下的矩陣A； 設(shè)u=（2，-3，2）T R3，u在S1 下的坐

11、標(biāo)和Tu在S2下的坐標(biāo)。解： 由題知，T（S1）= S2A 對u=（2，-3，2）T在S1 下由可求出在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T與2=（1，-1，2）T張成的R3的子空間X=span1,2的正交補 （即所有與X垂直的向量的全體）。 解：令解得 故 =16、 試證明若1，2，t是內(nèi)積空間H中不含零向量的正交向量組，則1，2，t必線性無關(guān)。證明：假設(shè)存在使 兩邊與作內(nèi)積得 又（因 故故1，2，t必線性無關(guān)。17、計算下列向量的x ，x1和x2 。 x=（3，-4，0，3/2）T x=（2，1，-3，4）T x=（sink,cosk,2k）T k為正整數(shù)。 解：x= x= x

12、= 18、證明：20、21、試計算，其中m, n是正整數(shù)。22、已知，試計算，。23、在上，由構(gòu)造帶權(quán)的首1正交多項式，和。解：24、給出點集及權(quán)，試構(gòu)造正交函數(shù)組，和。25、。26、試求矩陣A的三角分解A=LU。 A=對不選列主元和選列主元兩種情況分別計算。解：A= 對選列主元的27、已知向量，試構(gòu)造Gauss變換陣將向量x變?yōu)?。解：?8、已知向量x=（1，2，2）T ，y =（0，3，4）T 。試構(gòu)造Huuseholder陣H使H x為y的倍數(shù)，即H x=ky。給出變換陣H和系數(shù)k。29、對矩陣A=，用Huuseholder變換將A相似約化為三對角陣，即HAH為三對角陣。解：將向量變換為

13、，則構(gòu)造H陣為 30. 已知矩陣A=，使用Schmidt正交化法和Huuseholder方法對A正交分解A=QR。解： A= Schmidt正交化， 用Householder變換法 先將變?yōu)?則構(gòu)造H陣為第三章習(xí)題解答1.試討論a取什么值時，下列線性方程組有解，并求出解 。 解：(1) 經(jīng)初等行變換化為當(dāng)時，方程組有解，解為(2) 經(jīng)初等行變換化為當(dāng)時，方程組有解，解為2.證明下列方程組Ax=b當(dāng)（1）時無解；（2）時有無窮多組解。解：(1) r(A)=3r(A,b)=4 當(dāng)時無解；(2) r(A)=3,r(A,b)=3 當(dāng)時有無窮多組解。3.用列主元高斯消元法求解Ax=b (1)x=(2,-

14、2,1)T (2)x=(0,-7,5)T 4.證明上（下）三角方陣的逆矩陣任是上（下）三角方陣。證明：設(shè)是上（下）三角方陣，即設(shè)A的逆為其中為的代數(shù)余子式，由于是上三角方陣，所以當(dāng)時，所以為上三角方陣。5.用Gauss-Jordan法求解下列矩陣的逆矩陣。解(1)6.以已知矩陣A=，試對A進(jìn)行cholesky分解A=L1L1T,并利用分解因子陣L1求A的逆矩陣A-1=(L-1)T(L-1).解: A=j=1時,l11=1,l21=2, l 31=6j=2時, l 22=1, l 32=(a32- l 31 l 21)/ l 32=3;j=3時, l 33=1L= L-1=A-1=(L-1)T(

15、L-1)= =7.已知線性方程組試用Cholesky分解求解問題（1），用對稱分解求解問題（2）。解: (8) A=LLT解Ly=b, 得 y=2.1213,-1.2247,-0.0000T 解LTx=y 得 x=1,-1,0 T（2）A=LDLT解Lz=b, 得 z= 2.0000,0.6000,-0.7143, 0.8334T 解Dy=z, 得 y= 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999 T解LTx=y 得 x=1,1,1,1 T8設(shè)A是對稱正定陣，試證明不選主元的Cholesky分解的計算過程是數(shù)值穩(wěn)定的。證明： 綜合以上得到結(jié)論：在Cholesky分解中，不選主元的

16、計算分解式的元素的數(shù)量級不會增長，能得到控制，且恒正，因此，這是一個節(jié)省儲存且計算過程是數(shù)值穩(wěn)定的方法。9. 求解以下三對角方程組(1) 解: A=LU解Ly=b, 得 y=1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500T 解Ux=y 得 x=1,1，-1,-1 T(2) 解: A=LU解Ly=b, 得 y=1，2.5，-2，-2T 解Ux=y 得 x=0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333 T10. 證：11試求解周期三對角方程組解：12試計算13為正整數(shù)，求14. 設(shè)方程組Ax=，其中A=，= 計算，判斷方程組是否病態(tài)。 用全主元消元法求解，結(jié)果如何？ 用1

17、05除第一個方程所得方程組是否病態(tài)？解： 105+1 又 =（1+105）=1該方程組是病態(tài) 用全主元消元法求解。=1出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象，結(jié)果失真。 用105除第一個方程得：A1=，=方程組是良態(tài)的。15設(shè)n階對角矩陣,試計算det(A)和 cond(A)2結(jié)果說明什么。解： 行列式小并不能說明矩陣是病態(tài)的。 16. 已知（2.0，0.1）T是以下方程組的計算解，=（1.0，1.0）T是精確解， 求剩余，并分析此結(jié)果。解：（1） （2） （3） （4） 由計算可知道，該方程組是病態(tài)的，相對剩余量為0.053，相對誤差為0.95。由于相對誤差很大，所以相對剩余量雖小，并不能 反映近似解的近似程

18、度。17有線性方程組Ax=b，其中 試對A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程組。解:解Qy=b, 得 y= 10 -5 -5T 解Rx=y 得 x= 1 -1 1 T18. 設(shè)非奇異，有擾動使，若是方程組的解，是方程組的解，試證明：證明：19設(shè)方程組的系數(shù)矩陣分別為考察求解此方程組的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。解：Jacobi迭代不收斂。 Gauss-Seidel迭代收斂。Jacobi迭代收斂。 Gauss-Seidel迭代收斂。20 設(shè)方程組 若用迭代法和迭代法求解方程組是否收斂？ 若將方程組交換方程次序如何？解： 用迭代法： BJ=D-1

19、（L+U）= 所以迭代法發(fā)散。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法發(fā)散。交換次序，則 用迭代法： BJ=D-1（L+U）= 所以迭代法收斂。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法收斂。21. 已知方程組 若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值，需要迭代多少次上述兩種方法的誤差小于。解：Jacobi迭代至少需要迭代12次。 Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。22 .根據(jù)Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收斂的方法，同樣對 Jacobi迭代法也用松弛因子加速，給出迭代計算的分量形式和矩陣表達(dá)式。解：整理得分量形式矩陣形式23. 已知試

20、分別導(dǎo)出求解的迭代法和迭代法收斂的充要條件。解： 用迭代法：BJ=D-1（L+U）= 時方程組收斂，條件是：迭代法：BG=（D-L）-1U=時方程組收斂，條件是：24. 設(shè)A為對稱正定陣，其特征值，試證明：當(dāng)滿足時，迭代格式，（）是收斂的？證明：由于是A的特征值，則的特征值為當(dāng)時收斂， 此時則有：25解：26.設(shè)是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，試證明用SOR方法求解Ax=b，取時是收斂的。證明：設(shè) 即 又 所以SOR法當(dāng)時是收斂的。27.設(shè)有方程組（1）寫出用SOR方法求解的分量計算式；（2）求出最佳松弛因子；并用計算兩步，取。解：（1）SOR法（2）28.用共軛斜量法求解，其中解：29試證明對于最速下降法

21、，相鄰兩次的搜索方向是正交的，即證明：30.已知一組線性無關(guān)向量,由此向量組，按Schmidt正交化方法，求一組對應(yīng)的A-共軛向量組，其中解：第四章習(xí)題解答1、 求下列矩陣的滿秩分解。解：因為的秩為2，可求出滿秩分解為又因為的秩為2，可求出滿秩分解為2、 根據(jù)定義求下列矩陣的廣義逆。解：（1）先求出的一個滿秩分解。因為的秩為1，可求出滿秩分解為于是有最后得（2）先求出的一個滿秩分解。因為的秩為2，可求出滿秩分解為于是有最后得3、 證明下述廣義逆矩陣的性質(zhì)，設(shè)。（1）；（2）；（3）。證明：（1）因為由定義可得 故由廣義逆的定義可知。（2）。（3）。4、 應(yīng)用逐列遞推法求以下矩陣的廣義逆矩陣。

22、解：將分塊，其中（1） k=1，取的第一列（2） k=2，取的第二列和。于是得（3） k=3，取的第三列和。于是得到5、 用廣義逆矩陣求解如下矛盾方程組。 解：先求出的一個滿秩分解。因為的秩為2，可求出滿秩分解為于是得到 故原方程組的解為6、 用正交分解法求解矛盾方程組的最小二乘解。 解： 故原方程組的最小二乘解為7、解：先求出的一個滿秩分解。因為的秩為2，可求出滿秩分解為8、 求以下方程組的通解。 解：先求出的一個滿秩分解。因為的秩為1，可求出滿秩分解為 故原方程組的通解為9、 若，驗證。解：，故。10、證明：若為列滿秩矩陣，則；若為行滿秩矩陣，則。證明：（1）若為列滿秩矩陣，則有 由廣義逆

23、的定義知， （2）若為行滿秩矩陣，則有 由廣義逆的定義知，11、 解：12、若是列正交矩陣，試證明。證明：若是列正交矩陣，顯然為列滿秩矩陣，則 又，故。13、已知解： 14、試證明對稱矩陣的廣義逆矩陣仍然是對稱的。 解： ，即對稱矩陣的廣義逆矩陣仍然是對稱的。第五章習(xí)題解答1、給出數(shù)據(jù)點:(1)用構(gòu)造二次插值多項式,并計算的近似值。(2)用構(gòu)造二次插值多項式,并計算的近似值。(3)用事后誤差估計方法估計、的誤差。解:(1)利用,作插值函數(shù)代入可得。(2)利用,構(gòu)造如下差商表：一階差商二階差商于是可得插值多項式：代入可得。(3)用事后誤差估計的方法可得誤差為2、設(shè)插值基函數(shù)是試證明:對,有其中為

24、互異的插值節(jié)點。證明：由插值多項式的誤差表達(dá)式知，對于函數(shù)進(jìn)行插值，其誤差為，亦即精確成立，亦即。 分別取被插值函數(shù)，當(dāng)時插值多項式的誤差表達(dá)式，即，亦即，對于，由可知結(jié)論成立；對于時，特別地取，則有；而當(dāng)時知其插值誤差為，于是有，即，特別取可得，證畢。3、試驗證插值多項式滿足。解：由插值多項式可知4、已知，求函數(shù)的階差商。解：由差商和函數(shù)值的關(guān)系式可知，當(dāng)時總有5、若，試證明：證明：由差商定義 6、若已知，求和。解：由向前差分、中心差分和函數(shù)值的關(guān)系可得7、考慮構(gòu)造一個函數(shù)的等距節(jié)點函數(shù)表，要使分段線性插值的誤差不大于，最大步長應(yīng)取多大？解：由等距分段線性插值的誤差表達(dá)式從而可得8、考慮構(gòu)造

25、一個函數(shù)的等距節(jié)點函數(shù)表，要使分段插值的誤差不大于，最大步長應(yīng)取多大？解：由等距分段插值的誤差表達(dá)式從而可得9、對函數(shù)，取節(jié)點，且已知；試對構(gòu)造二次插值多項式確定上式中基函數(shù)。若要使存在且唯一，插值節(jié)點應(yīng)滿足什么條件？解：依題意，二次多項式基函數(shù)應(yīng)分別滿足：（1）（2）（3）由（1）（2）（3）可得，由（1）（2）（3）可知欲使存在且唯一，只需且必須插值節(jié)點互異且。10、設(shè)，證明：其中。證明：令二次多項式則易見滿足：于是滿足：因而，引入輔助函數(shù)，則共有四個零點，依廣義定理，存在滿足：從而，。證畢。11、設(shè)為插值基函數(shù)，試證明：證明：由插值，其誤差表達(dá)式，故對于次數(shù)不高于一次的多項式函數(shù)有，從而

26、，特別地取，分別可得；12、試構(gòu)造一個三次多項式逼近函數(shù)，滿足以下條件。解：取，由插值，其中，代入可得。13、試判斷下面函數(shù)是否為三次樣條函數(shù)：解：據(jù)三次樣條函數(shù)的定義中函數(shù)是三次樣條函數(shù)，中函數(shù)不是三次樣條函數(shù)，因其在內(nèi)節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。14、給出如下的數(shù)據(jù)：試用重節(jié)點差商法構(gòu)造五次插值多項式滿足所給條件，并給出插值誤差式。若用型基本函數(shù)法，應(yīng)如何構(gòu)造節(jié)點基函數(shù)。解：利用重節(jié)點構(gòu)造如下差商表一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商-10-10-2-10-2100113-7010-1-4313223/211/4-1/8于是可得插值誤差為:若用型基本函數(shù)法,設(shè)基函數(shù)為,其中均為五次多項式且滿

27、足,。15、已知數(shù)據(jù)對給出自然邊界條件，試用三彎矩方程構(gòu)造三次樣條函數(shù)，并計算的近似值。給出固定邊界條件，試用三轉(zhuǎn)角方程構(gòu)造三次樣條函數(shù)，并計算的近似值。解：依三彎矩方程及自然邊界條件可得線性方程組解得，于是可得依固定邊界條件可得第六章習(xí)題解答1、設(shè)函數(shù)在上帶權(quán)正交，試證明是線性無關(guān)組。證明：設(shè)，兩端與作內(nèi)積，由的正交性可知，于是有，即是線性無關(guān)組。2、試確定系數(shù)的值使達(dá)到最小。解：定義上的內(nèi)積為，取，則法方程為其中，于是方程組為，解之得。3、已知函數(shù)，試用二類多項式構(gòu)造此函數(shù)的二次最佳平方逼近元。解：法一、取，同時由二類多項式的性質(zhì)知于是可得法方程為，解之得，于是的二次最佳逼近元是法一、二類

28、多項式，取內(nèi)積權(quán)函數(shù)，于是，由正交性及可得，于是的二次最佳逼近元為4、設(shè)是定義于上關(guān)于權(quán)函數(shù)的首項系數(shù)為的正交多項式組，若已知，試求出二次多項式。解：依題意，由正交化方法知，5、試用多項式構(gòu)造在上的最佳二次平方逼近多項式。解：令，即，可得，對利用多項式求其在上的最佳二次平方逼近多項式，其中，分別代入可得，于是，進(jìn)而可知于上的最佳二次逼近多項式為。6、已知數(shù)據(jù)求：在中尋求最佳平方逼近多項式。在中用首項系數(shù)為的正交多項式構(gòu)造最佳平方逼近多項式。解：設(shè)所求的最佳平方逼近多項式為，依題意，于是法方程為，解之得，進(jìn)而可得所求最佳二次逼近多項式為由首正交多項式的構(gòu)造公式，可得，又于是，進(jìn)而所求多項式為。7

29、、已知一組數(shù)據(jù)，試用擬合函數(shù)擬合所給數(shù)據(jù)。解：令，得到新的數(shù)據(jù)點，對此新的數(shù)據(jù)點作線性擬合，易得法方程為，解之得，即，亦即，從而有。8、給出數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，試確定解：誤差函數(shù)，分別令，于是可得，即，解之得.9、用插值極小化方法求在上的二次插值多項式，并估計誤差。解：令，于是有，設(shè)的根為于是插值極小化方法的插值節(jié)點為，由插值易知所求的二次插值多項式為，誤差為。10、對函數(shù)用節(jié)點構(gòu)造二次插值多項式；用三階多項式的零點構(gòu)造二次插值多項式，試比較它們的誤差；分別用以上兩個插值多項式計算的值，比較計算結(jié)果。解：依插值易知所求的二次插值多項式為：；三階多項式的零點為，于是相應(yīng)的二次插值多項式為：；，于是可得

30、中插值誤差為：中插值誤差為：可以看出；，精確值為，于是可得，。11、已知函數(shù)，。其展開式前三項為，試用多項式將其改造為三次逼近多項式。解：設(shè)其三次展式為，由，于是可得，進(jìn)而可得。第七章習(xí)題解答1、試證明牛頓柯特斯求積公式中的求積系數(shù)滿足。證明：取的插值節(jié)點，相應(yīng)的插值基函數(shù)為，由插值基函數(shù)的性質(zhì)知，于是可得：。證畢。2、利用梯形公式和公式求積分的近似值，并估計兩種方法計算值的最大誤差限。解：由梯形公式最大誤差限為：由公式最大誤差限為：。3、用復(fù)化公式求積分，要求絕對誤差限小于，問步長要取多大？解：由復(fù)化公式的誤差限：令可得，故至少取，相應(yīng)的求積結(jié)果為：。4、推導(dǎo)中點求積公式證明：取以為高，長為

31、的矩形代替在區(qū)間上與軸所圍面積即可得中點求積公式，設(shè)一次多項式滿足，易求得，設(shè)，易知有二重零點，于是有，記，則有三個零點，由廣義定理知使得，即，于是可得，從而有,另一方面由為一次多項式知，于是由于在區(qū)間上不變號，利用積分第二中值定理可得即：。證畢。5、對變步長方法，用事后誤差分析方法說明為什么可以作為迭代終止條件。解：設(shè)精確積分結(jié)果為，由復(fù)化求積公式的誤差，設(shè)在上變化不大，即，兩式相比可得，解之可得，或者，從而當(dāng)時，故可以作為迭代終止條件。6、計算積分，若分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式，問應(yīng)將積分區(qū)間至少剖分多少等分才能保證有六位有效數(shù)字。解：由復(fù)化梯形公式的誤差限：解得，即至少剖分213等分；

32、由復(fù)化公式誤差限：解得，即至少剖分4等分。7、用算法計算積分（只作兩次外推）。解：取，外推流程如下： 于是有8、試確定下列求積公式中的待定系數(shù)，指出其所具有的代數(shù)精度。 ； 解：分別將代入求積公式，易知求積公式精確成立，代入，令求積公式精確成立，于是有，可得，代入，于是，求積公式成立，代入，求積公式不精確成立，綜合以上可知，該求積公式具有三次代數(shù)精度。將分別代入求積公式，令求積公式成立，則有從而解得，所求公式至少具有兩次代數(shù)精度，且進(jìn)一步有 ， 從而原積分公式具有三次代數(shù)精確度。9、對，已知求積公式為試確定求積系數(shù)和積分點，使代數(shù)精度盡可能高，指出代數(shù)精度是多少。解：對，令求積公式成立，可得到

33、，對，令求積公式成立，可得到，于是，對，10、試?yán)镁€性插值導(dǎo)出如下求積公式解：以節(jié)點作的插值多項式，則有11、試?yán)靡韵聝煞N方法計算，并與精確值比較。用三點公式；用求積公式作三次外推。解：設(shè)三點求積節(jié)點為，相應(yīng)求積系數(shù)為，令，則，精確值為，誤差為利用求積公式作三次外推，結(jié)果如下： 誤差為12、對求積公式，證明。證明：求積公式至少具有次精度，故取，求積公式精確成立，即，亦即。證畢。13、對積分導(dǎo)出兩點求積公式。解：構(gòu)造在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項式，取，于是，同理可得，求的零點可得，進(jìn)而可求得求積系數(shù)為，于是所求的兩點求積公式為14、利用三點求積公式計算積分。； 解：由三點求積公式的節(jié)點，相應(yīng)求積

34、系數(shù)為，計算結(jié)果為；與類似可得積分15、利用三點求積公式計算積分。；解：原積分，其中，由由三點求積公式的節(jié)點，相應(yīng)求積系數(shù)為，計算結(jié)果為；與類似可得積分16、對積分，求構(gòu)造兩點求積公式，要求在上構(gòu)造帶權(quán)的二次正交多項式；用所構(gòu)造的正交多項式導(dǎo)出求積公式。解：解：構(gòu)造在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項式，取，于是，同理可得，求的零點可得，進(jìn)而可求得求積系數(shù)為，由可得所求的兩點求積公式為17、試用計算二得積分其中，取四位小數(shù)計算。解：對方向均采用公式，于是所求積分為精確結(jié)果為。18、用中心差商數(shù)值微分公式計算在時的一階導(dǎo)數(shù)，另用向前差商計算二階導(dǎo)數(shù)值，取步長。解：由中心差商數(shù)值微分公式可得；類似由二階向前差

35、商公式可得19、試導(dǎo)出以下數(shù)值微分公式，并估計截斷誤差。解：將分別在作展開得到并化簡可得可得即 20、對，試用二次多項式的零點構(gòu)造一兩點求積公式試確定求積系數(shù)和積分點，并用此求積公式計算積分。解：由二次多項式的零點即求積節(jié)點為，相應(yīng)求積系數(shù)為，令，則于是可得，亦即，亦即。代入相應(yīng)的公式可得。第八章習(xí)題解答1、已知方程在附近有根，將方程寫成以下三種不同的等價形式：；試判斷以上三種格式迭代函數(shù)的收斂性，并選出一種較好的格式。解：令，則，故迭代收斂；令，則，故迭代收斂；令，則，故迭代發(fā)散。以上三中以第二種迭代格式較好。2、設(shè)方程有根，且。試證明由迭代格式產(chǎn)生的迭代序列對任意的初值，當(dāng)時，均收斂于方程

36、的根。證明：設(shè)，則，故，進(jìn)而可知，當(dāng)時，即，從而由壓縮映像定理可知結(jié)論成立。3、試分別用法和割線法求以下方程的根取初值，比較計算結(jié)果。解：法：；割線法：；比較可知法比割線法收斂速度稍快。4、用嵌套算法求下列方程的根，取初值；,求方程的正根，取初值。解：依代數(shù)方程求根的嵌套算法其中分別由來計算，最終可得。設(shè)，由知在區(qū)間上存在正根，取迭代初值為可得5、非線性方程組有靠近的解，使用簡單迭代法求前兩次迭代解。解：取簡單迭代格式為取迭代初值為，可得，。6、設(shè)試計算矩陣，求出使奇異的值。解：由可得或 由(1)得，從而由(2)得，從而綜合可得或7、非線性方程組可化為如下迭代函數(shù)求不動點問題試用大范圍收斂定理

37、證明在閉域上迭代函數(shù)有唯一不動點。證明：迭代函數(shù)的矩陣為當(dāng)時，從而可得，由收斂定理可知結(jié)論成立。8、用方法求解線性方程組，其中是一個階非奇異陣，將產(chǎn)生什么情況？解：此時，迭代格式轉(zhuǎn)化為對任意迭代一步得，即為精確解。9、利用方法求下列非線性方程組的解，迭代計算直到取初值。解：由迭代格式將初值代入可得線性代數(shù)方程組解之得，進(jìn)而可得進(jìn)而可得10、試用似牛頓法再求解上題中的非線性方程組，比較迭代次數(shù)。解：由擬牛頓法（845）式得 ，取，解出于是得到，解方程組，可得于是類似可得從而可知該迭代不收斂。11、分別用擬牛頓法和最速下降法求解以下非線性方程組，初值，計算到。解： 擬牛頓法：由（845）式得，由解

38、出，于是，同理可得最速下降法：由（845）式得，進(jìn)而可得12、再用同倫法求解上題中的方程組。解：取，計算得，構(gòu)造同倫將對每一個利用法求解同倫方程并取誤差為可得，最終解得13、設(shè)非線性方程，若取值，構(gòu)造同倫函數(shù)，試求同倫方程的解曲線，并在上將分成等分作出的圖形。解：依題意，由可得，其圖形如下14、試證明把最速下降法用于求二次函數(shù)的極小化問題時，若記為的梯度向量，是的矩陣（是一個對稱正定陣），則其計算格式為用此格式計算極小化問題，取。解：可將二次函數(shù)寫作，其中，且對稱正定，則，由最速下降格式可知第步的搜索方向為，最佳搜索步長應(yīng)滿足，可令，則由可得進(jìn)而由的正定性可得，即為所述計算格式。取利用上述計算

39、格式可得，。第九章習(xí)題解答 1.已知矩陣試用格希哥林圓盤確定A的特征值的界。解：2.設(shè)是矩陣A屬于特征值的特征向量，若，試證明特征值的估計式.解：由 得 3.用冪法求矩陣 的強特征值和特征向量，迭代初值取。解：y=1,1,1'z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100 y=A*z;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend強特征值為11，特征向量為。4.用反冪法求矩陣 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取。解：y=1,1,1'

40、;z=y;d=0;A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100 AA=A-6*eye(3);y=AAz;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; endd=cendd=6+1/c最接近6的特征值為6+1/c=7.2880，特征向量為。5.設(shè)非奇異，A的正交分解為A=QR，作逆序相乘A1=RQ，試證明（1） 若A對稱則A1也對稱；（2） 若A是上Hessenberg陣，則A1也是上Hessenberg陣。證明：（1），對稱 （2）A是上Hessenberg陣，用Givens變換對

41、A作正交分解，即顯然A1也是上Hessenberg陣。6.設(shè)矩陣（1）任取一非零向量作初始向量用冪法作迭代，求A的強特征值和特征向量；（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；（3）用代數(shù)方法求出A的特征值和特征向量，將結(jié)果與（1）和（2）的結(jié)果比較。解：（1）A的強特征值為2.6181，特征向量為（2）for i=1:10Q,R=qr(A);A=R*Qend A的特征值為2.6180，0.3820（3），特征值特征向量7. 設(shè)矩陣（1）用Householder變換化A為對稱三對角陣。（2）用平面旋轉(zhuǎn)陣對進(jìn)行一步QR迭代計算出。解：（1）(2) 8. 用帶位移的QR方法計算下列矩陣的全部特征值。解：（1）for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);Q,R=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3)end全部特征值為 4 , 1 , 3(2) 全部特征值為 3.7321, 2.0, 0.2679 9. 設(shè)，且已知其強特征值和對應(yīng)的特征向量，（1）證明：若