《函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性》經(jīng)典例題

1、經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明1證明函數(shù)上的單調(diào)性. 證明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2-x1>0則x1>0，x2>0，上式<0，y=f(x2)-f(x1)<0上遞減.總結(jié)升華：1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比較兩個(gè)量的大?。?作差)3如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)？(對(duì)差適當(dāng)變形)舉一反三：【變式1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù).思路點(diǎn)撥：本題考查對(duì)單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，且x1<x2，則 0<x1<x21 x1-x2<0，0<x1x2

2、<10<x1x2<1 故，即f(x1)-f(x2)>0x1<x2時(shí)有f(x1)>f(x2)上是減函數(shù).總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到這個(gè)函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類(lèi)型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (1)y=x2-3|x|+2； (2)解：(1)由圖象對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出草圖 f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.(2) 圖象為 f(x)在上遞增.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)畫(huà)出函數(shù)圖象， 函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增

3、區(qū)間為(-1，+)；(2)定義域?yàn)椋?其中u=2x-1為增函數(shù)， 在(-，0)與(0，+)為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；(3)定義域?yàn)?-，0)(0，+)，單調(diào)增區(qū)間為：(-，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+).總結(jié)升華：1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸相關(guān).3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類(lèi)型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值) 3. 已知函數(shù)f(x)在(0，+)上是減函

4、數(shù)，比較f(a2-a+1)與的大小. 解：又f(x)在(0，+)上是減函數(shù)，則.4. 求下列函數(shù)值域： (1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3； 1)x-1，1； 2)x-2，2.思路點(diǎn)撥：(1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)形結(jié)合.解：(1)2個(gè)單位，再上移2個(gè)單位得到，如圖 1)f(x)在5，10上單增，； 2)；(2)畫(huà)出草圖 1)yf(1)，f(-1)即2，6； 2).舉一反三：【變式1】已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x1，3時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.思路點(diǎn)撥：這個(gè)函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對(duì)解析式稍作

5、處理，即可得到我們相對(duì)熟悉的形式.，第二問(wèn)即是利用單調(diào)性求函數(shù)值域.解：(1) 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；(2)故函數(shù)f(x)在1，3上單調(diào)遞增 x=1時(shí)f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3時(shí)f(x)有最大值 x1，3時(shí)f(x)的值域?yàn)?5. 已知二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍. 解：(1)對(duì)稱(chēng)軸是決定f(x)單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知 只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4 f(2)=-2a+11-4+11=7 .舉一反三：【變式1】（2011 北京理13）已知函數(shù)，若關(guān)

6、于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解：?jiǎn)握{(diào)遞減且值域(0,1，單調(diào)遞增且值域?yàn)?，由圖象知，若有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0,1）.類(lèi)型四、判斷函數(shù)的奇偶性6. 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)；(2)x-10，f(x)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(x)為非奇非偶函數(shù)；(3)對(duì)任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-

7、4|x|+3為偶函數(shù) ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(5) ，f(x)為奇函數(shù)；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(7)，f(x)為奇函數(shù).舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；(4).思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)為奇函數(shù)；(

8、3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)為非奇非偶函數(shù)；(4)任取x>0則-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0時(shí)，f(0)=-f(0) xR時(shí)，f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù).舉一反三：【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶

9、函數(shù).證明：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).類(lèi)型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合) 7已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=1

10、08a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.舉一反三：【變式1】（2011 湖南文12）已知為奇函數(shù)，則為： 解：，又為奇函數(shù)，所以8. f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2-x，求當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖象. 解：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， x>0時(shí)，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，如圖9設(shè)定義在-3，3上的偶函數(shù)f

11、(x)在0，3上是單調(diào)遞增，當(dāng)f(a-1)<f(a)時(shí)，求a的取值范圍. 解：f(a-1)<f(a) f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|0，3.類(lèi)型六、綜合問(wèn)題10定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0，給出下列不等式，其中成立的是_.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：.11. 求下列函數(shù)的值域： (1) (2) (3

12、)思路點(diǎn)撥：(1)中函數(shù)為二次函數(shù)開(kāi)方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(3)單調(diào)性無(wú)法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問(wèn)題得到解決，需注意此時(shí)t的范圍.解：(1)；(2)經(jīng)觀察知，；(3)令.12. 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2上是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x-1，1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)，并畫(huà)出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.解：(1)f(x)=(x-a)2-1 a0或a2(2)1°當(dāng)a<-1時(shí)，如圖1，g(a)=f(-1)=a2+2a 2°當(dāng)-1a1時(shí)，如

13、圖2，g(a)=f(a)=-1 3°當(dāng)a>1時(shí)，如圖3，g(a)=f(1)=a2-2a，如圖13. 已知函數(shù)f(x)在定義域(0，+)上為增函數(shù)，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3. 解：令x=2，y=2，f(2×2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令x=4，y=2，f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x-2)3可轉(zhuǎn)化為：fx(x-2)f(8).14. 判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明. 證明：任取0<x1<x2，0<x1<x2，x1-x2<0，x1·x2>0(1)當(dāng)時(shí) 0<x1·x2<1，x1·x2-1<0 f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2) 上是減函數(shù).(2)當(dāng)x1，x2(1，+)時(shí)， 上是增函數(shù).難點(diǎn)：x1·x2-1的