不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)訂購決策問題

1、不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)訂購決策問題尉磊1、 摘要為解決不確定規(guī)劃問題，論文主要采用了比較常見的隨機(jī)期望值模型.假設(shè)產(chǎn)業(yè)鏈中出現(xiàn)的隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，這既簡化了模型又不失合理性；又假設(shè)生產(chǎn)商與銷售商的交易均協(xié)議化，這是個新穎而又符合實(shí)際且使得模型更加完整的假設(shè)。在具體給出隨機(jī)期望值模型之前做了3項(xiàng)技術(shù)性處理使得模型更加簡化。之后用隨機(jī)期望值模型給出了各個問題的解答。值得注意的是，在問題（1）的求解之后，給出了所發(fā)現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個規(guī)律：（*）：在產(chǎn)業(yè)鏈中，一個成員有隨機(jī)波動變量X，只要產(chǎn)業(yè)鏈所有成員的利潤函數(shù)關(guān)于X是線性的，則該成員的隨機(jī)波動性不對其他成員的最優(yōu)訂購量、最優(yōu)計劃生產(chǎn)量造成影

2、響，而只對自己造成影響。（*）：在產(chǎn)業(yè)鏈中，N個成員的隨機(jī)變量X1，X2，Xn互相獨(dú)立（該條件也可減弱為互不線性相關(guān)從而更具一般性），且產(chǎn)業(yè)鏈所有成員除含有N個成員的隨機(jī)變量的任意相乘組合（每個組合項(xiàng)中每個成員隨機(jī)變量僅出現(xiàn)一次）項(xiàng)外的其他項(xiàng)均是關(guān)于X1，X2，Xn線性的，則這N個成員的隨機(jī)性只對自己的最優(yōu)訂購量、最優(yōu)計劃產(chǎn)量造成影響。而且從概率論的期望角度分析證明了（*）與（*），之后把二者用于（2）、（3)的解答中，簡單有效。最后對模型做了相應(yīng)的改進(jìn)與推廣。2、 問題的重述供應(yīng)鏈?zhǔn)且环N新的企業(yè)組織形態(tài)和運(yùn)營方式,在其運(yùn)作過程中需要應(yīng)對生產(chǎn)和需求的不確定性。在不確定環(huán)境下，研究供應(yīng)鏈成員的生

3、產(chǎn)與訂購決策問題，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。（1） 題只考慮包含一個生產(chǎn)商和一個銷售商的供應(yīng)鏈，且假設(shè)商品的最終需求量是確定的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的。要求建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。并根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解一個具體供應(yīng)鏈中銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。（2） 題在問題（1）的供應(yīng)鏈中，假設(shè)商品的市場需求量也是隨機(jī)的，要求建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量，再求解一個具體供應(yīng)鏈算例。 (3) 題引入了供應(yīng)鏈的兩級生產(chǎn)不確定性，即原產(chǎn)品（原材料）生產(chǎn)的不確定性和產(chǎn)成品生產(chǎn)的不確定性，在此情況下建立數(shù)學(xué)模型，研究在兩級生產(chǎn)

4、不確定的供應(yīng)鏈中，二級生產(chǎn)商（產(chǎn)成品生產(chǎn)商）的最優(yōu)訂購量和一級生產(chǎn)商（原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn)商）的最優(yōu)計劃產(chǎn)量，并計算一個實(shí)例。最后，假設(shè)產(chǎn)成品的市場需求量也是一個隨機(jī)變量，要求改進(jìn)所建立的數(shù)學(xué)模型，確定二級生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購量和一級生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。3、 模型的假設(shè)與合理性分析（1）1、生產(chǎn)商的計劃產(chǎn)量、銷售商的訂購量均按連續(xù)變量處理；2、商品實(shí)際產(chǎn)量服從以計劃產(chǎn)量為中心的正太分布（由于受到各種隨機(jī)因素的影響，商品實(shí)際產(chǎn)量在計劃產(chǎn)量周圍波動，而正太分布是最常見的連續(xù)分布，所以這樣的假設(shè)是合理的）；3、生產(chǎn)商與銷售商的交易均協(xié)議化：生產(chǎn)商在有效時間內(nèi)給銷售商所定購的商品，若由于生產(chǎn)商的失約造成銷

5、售商的損失，則生產(chǎn)商應(yīng)賠償給銷售商。（顯然，在現(xiàn)實(shí)的交易過程中該協(xié)議是可接受的）；4、生產(chǎn)商和銷售商賺取的差價（售價減去成本價）為正，且均大于庫存成本（這種假設(shè)排除了類似經(jīng)濟(jì)大蕭條時有積壓貨寧愿倒掉的浪費(fèi)現(xiàn)象）；（2）在（1）中假設(shè)的基礎(chǔ)上：1、 商品的市場需求量也是隨機(jī)的.且假設(shè)商品市場需求量服從以最優(yōu)訂購量為期望的正態(tài)分布。2、 商品的市場需求量的隨機(jī)性與商品的生產(chǎn)量的波動性相互獨(dú)立（3）在（1）中假設(shè)的基礎(chǔ)上：假設(shè)該產(chǎn)業(yè)鏈具有兩級生產(chǎn)不確定性。所有不確定性均相互獨(dú)立。4、 符號說明（1） 題X:單位商品生產(chǎn)成本Y:單位商品庫存成本Z:單位商品批發(fā)缺貨成本H:單位商品批發(fā)價格C:單位商品銷

6、售缺貨成本B:單位商品銷售價格A:市場需求量M:銷售商的訂購量Q：生產(chǎn)商的計劃產(chǎn)量EQ：計劃產(chǎn)量為Q時的實(shí)際生產(chǎn)期望值（2） 題X:單位商品生產(chǎn)成本Y:單位商品庫存成本Z:單位商品批發(fā)缺貨成本H:單位商品批發(fā)價格C:單位商品銷售缺貨成本B:單位商品銷售價格A:市場需求量，為隨機(jī)變量EA：市場需求量的期望M:銷售商的訂購量Q：生產(chǎn)商的計劃產(chǎn)量EQ：計劃產(chǎn)量為Q時的實(shí)際生產(chǎn)期望值（3） 題X:單位原產(chǎn)品生產(chǎn)成本Y:單位原產(chǎn)品庫存成本Z:單位原產(chǎn)品缺貨成本H:單位原產(chǎn)品批發(fā)價格G：單位產(chǎn)成品加工成本C:單位產(chǎn)成品缺貨成本B:單位商品銷售價格D：單位產(chǎn)成品庫存成本A:市場需求量M:二級生產(chǎn)商的訂購量Q

7、：一級生產(chǎn)商的計劃產(chǎn)量EQ：計劃產(chǎn)量為Q時的實(shí)際生產(chǎn)期望值K:二級生產(chǎn)商投入單位原產(chǎn)品產(chǎn)出產(chǎn)成品數(shù)量5、 模型的建立、求解與討論（1) 題確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量屬最優(yōu)化問題，但由于生產(chǎn)商生產(chǎn)商品是不確定的，所以采用線性隨機(jī)期望值模型進(jìn)行討論。在討論之前先做三個技巧性處理，這樣在模型求解時會方便很多。a) 由于假設(shè)4、生產(chǎn)商和銷售商賺取的差價（售價減去成本價）為正，均大于庫存成本，還有銷售缺貨成本，所以對于銷售商來說，M>=A.這樣分析之后簡化了隨機(jī)期望值模型的討論情況（省去了3種不必要的討論）。b) 在概率論中，E（aX+b)=aE(X)+b,所以線性隨機(jī)期望值模型

8、可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的期望的線性規(guī)劃模型（這可以當(dāng)做線性隨機(jī)期望值模型中的一個定理）。c)又由于假設(shè)，商品實(shí)際產(chǎn)量服從以計劃產(chǎn)量為中心的正太分布，所以EQ=Q。以后用Q直接代表EQ。現(xiàn)在給出a) 、b)、c)處理之后的線性隨機(jī)期望值模型：Q>=M>=A時, 生產(chǎn)商的利潤：MHXQ（QM）Y 銷售商的利潤：ABMH（MA）YM>=Q>=A時, 生產(chǎn)商的利潤：QHXQ（MQ）Z 銷售商的利潤：ABQH（QA）YM>=A>=Q時, 生產(chǎn)商的利潤：QHXQ（MQ）Z（A）C 銷售商的利潤：(AQ)BQH+（AQ）C求解該線性規(guī)劃問題，易知：生產(chǎn)商和銷售商的最大利潤都在Q

9、=M=A處取得。即生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量為A，銷售商的最優(yōu)訂購量為A。這是一個比較好的結(jié)果。直接應(yīng)用于具體的算例，其中A=400，所以生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量為400，銷售商的最優(yōu)訂購也為400。 得出的兩個經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律：模型至此并不算完，令人欣喜的是通過對問題（1）的本質(zhì)分析，可得出兩個更好的經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律，用此規(guī)律可直接解決問題（2）、（3），簡潔明了。易知，若生產(chǎn)商生產(chǎn)商品的實(shí)際產(chǎn)量不是個隨機(jī)變量，生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量與銷售商的最優(yōu)訂購量同為市場需求量。這個結(jié)果與考慮商品的實(shí)際產(chǎn)量的波動性的結(jié)果相同，于是稍加思考的人會問“商品的實(shí)際產(chǎn)量的隨機(jī)性影響在哪了？”對（1）進(jìn)行深入分析會發(fā)現(xiàn)，商品實(shí)際產(chǎn)量的

10、隨機(jī)性影響生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量，這是顯然的，只不過我們假設(shè)商品實(shí)際產(chǎn)量服從以計劃產(chǎn)量為期望的正態(tài)分布，這樣最優(yōu)計劃產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量的期望=市場需求量。事實(shí)上，要想生產(chǎn)商的利潤最大，實(shí)際產(chǎn)量的期望應(yīng)該等于市場需求量，而若商品實(shí)際產(chǎn)量服從其他分布，則實(shí)際產(chǎn)量的期望有可能不等于最優(yōu)計劃產(chǎn)量了，這就是商品實(shí)際產(chǎn)量波動性對最優(yōu)計劃產(chǎn)量的影響。但商品實(shí)際產(chǎn)量的隨機(jī)性卻沒影響銷售商的最優(yōu)訂購量！由此我們就得出了一個經(jīng)濟(jì)學(xué)中的規(guī)律（*）：在產(chǎn)業(yè)鏈中，一個成員有隨機(jī)波動變量X，只要產(chǎn)業(yè)鏈所有成員的利潤函數(shù)關(guān)于X是線性的，則該成員的隨機(jī)波動性不對其他成員的最優(yōu)訂購量、最優(yōu)生產(chǎn)量造成影響，而只對自己造成影響。要證明（

11、*）是很簡單的，其本質(zhì)是源于概率論中的期望的性質(zhì)：E（aX+b)=aE(X)+b.若再進(jìn)一步，得到（*）的推廣式（*）：在產(chǎn)業(yè)鏈中，N個成員的隨機(jī)變量X1，X2，Xn互相獨(dú)立（該條件也可減弱為互不線性相關(guān)從而更具一般性），且產(chǎn)業(yè)鏈所有成員除含有N個成員的隨機(jī)變量的任意互相相乘組合（每個組合項(xiàng)中每個成員隨機(jī)變量僅出現(xiàn)一次）項(xiàng)外的其他項(xiàng)均是關(guān)于X1，X2，Xn線性的，則這N個成員的隨機(jī)性只對自己的最優(yōu)訂購量、最優(yōu)計劃產(chǎn)量造成影響。這個證明也很簡單，E（X）（X）E（Y）X，不線性相關(guān)(2) 題解法一： 根據(jù)假設(shè)得，。因?yàn)椋ǎ╊}只是在（）題的基礎(chǔ)上加入了市場需求的隨機(jī)性，而現(xiàn)在由M對市場需求的隨機(jī)性

12、做處理后，再用EA代替（1）中隨機(jī)期望值模型中的A，為節(jié)省篇幅，這里不再具體寫出。求解得，生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量和銷售商的最優(yōu)訂購量均為EA。應(yīng)用到具體算例中，應(yīng)為EA=400，所以商品生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量和銷售商的最優(yōu)訂購量為400。 解法二： 由于（2）題滿足（*）條件，所以兩個成員的隨機(jī)性互不影響對方，又由假設(shè)，生產(chǎn)商的商品實(shí)際產(chǎn)量服從以最優(yōu)計劃產(chǎn)量為期望的正態(tài)分布，市場需求量服從以最優(yōu)訂購量為期望的正態(tài)分布，所以各期望可直接被相應(yīng)的最優(yōu)計劃產(chǎn)量、最優(yōu)訂購量代替，這時的模型已完全可按一般線性規(guī)劃求解，求解結(jié)果為：商品生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量和銷售商的最優(yōu)訂購量為400。 與解法一同，可視為對原

13、理（*）的一個驗(yàn)證。(3) 題解法一：同（1）中a) b) c)相應(yīng)處理后得到簡化了的隨機(jī)期望值模型：1、 K 二級生產(chǎn)商的利潤 AB（K ）GK（MKA)DK一級生產(chǎn)商的利潤 HMQX（QM）Y2、 M>=Q>=K 二級生產(chǎn)商的利潤 ABAG（QK ）GK（QK ）DK一級生產(chǎn)商的利潤 H（）3、 >=K >=Q二級生產(chǎn)商的利潤 QKBQK（AQK）CQH一級生產(chǎn)商的利潤 HX（）（）求解該線性規(guī)劃問題，易知：一、二級生產(chǎn)商的最大利潤都在Q=M=K 處取得。即生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量為K ，銷售商的最優(yōu)訂購量為K 。直接應(yīng)用于具體的算例，其中A=280，K=0.7，所以生

14、產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量為400，銷售商的最優(yōu)訂購也為400。解法二： 應(yīng)用規(guī)律（*），分析過程同（2）中的解法二，這里不再贅述。在這里再次可看到（*）的正確性。若在（3）的基礎(chǔ)上，再加上市場需求量的不確定性，同樣假設(shè)市場需求量服從以二級生產(chǎn)商最優(yōu)訂購量的K倍為期望的正態(tài)分布，則以EA代替（3）中模型的A即可，同（2）。且結(jié)果為一、二級生產(chǎn)商的最大利潤都在Q=M=K EA。6、 模型的改進(jìn)與推廣1、 模型的改進(jìn)本論文的基本框架基于隨機(jī)變量的期望值模型，但是，期望值模型并非總是有效的。因?yàn)槲覀儾⒉豢偸顷P(guān)心期望收益的最大化，在實(shí)際中，我們往往要考慮可靠性，即有利事件發(fā)生的概率，并非隨機(jī)優(yōu)化的一個平均情況

15、。如，在相同投入的情況下，我們可以選擇兩種不同的回報方式：以概率1得到100元，或是以概率0.1得到1000元。這兩種投資方式在期望值模型下的收益是相同的。但在實(shí)際中，不同的投資者有不同的答案。所以有必要再從另一些角度描述此問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家把市場劃分為四種類型：完全競爭市場、壟斷性競爭市場、寡頭壟斷市場和完全壟斷市場。其中寡頭壟斷市場指的是行業(yè)中只存在幾家相互關(guān)聯(lián)相互作用的企業(yè)的情況。在分析寡頭壟斷企業(yè)的均衡問題時需要依據(jù)由納什提出的均衡思想：企業(yè)將根據(jù)競爭對手的行為進(jìn)行最佳決策的選擇。本題只考慮僅有一家生產(chǎn)商和一家銷售商的情況，即雙邊壟斷。博弈論常常被用來解決寡頭壟斷市場中的各成員的決策問題。所以可從博弈論角度找一種有效的分析方法，其中變量視為離散的，遍歷各個情況得出最優(yōu)納什均衡解。2、 模型的推廣本題的（3）種情況已經(jīng)包括了單一鏈中的多級不確定性，很自然的，我們會把問題推