曾量子力學(xué)題庫

1、一、 簡述題：1.試述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問題上的差別2.試給出原子的特征長度的數(shù)量級（以m為單位）及可見光的波長范圍（以Å為單位）3.試用Einstein光量子假說解釋光電效應(yīng) 4.試簡述Bohr的量子理論5.簡述波爾-索末菲的量子化條件6.試述de Broglie物質(zhì)波假設(shè)7.寫出態(tài)的疊加原理8.一個體系的狀態(tài)可以用不同的幾率分布函數(shù)來表示嗎？試舉例說明。9.按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件10.已知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為，寫出粒子在球殼中被測到的幾率以及在方向的立體角元中找到粒子的幾率。

2、11.什么是定態(tài)？它有哪些特征？12.是否定態(tài)？為什么？13.設(shè)，試寫成其幾率密度和幾率流密度14.試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。15.簡述和解釋隧道效應(yīng)16.說明一維方勢阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。17.試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系18.簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)19.試述力學(xué)量完全集的概念20.試討論：若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時具有確定值？21.若算符、均與算符對易，即，、是否可同時取得確定值？為什么？并舉例說明。22.對于力學(xué)量A與B，寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說明物理意義。 23.微觀粒子方向的動量和方向的

3、角動量是否為可同時有確定值的力學(xué)量？為什么？24.試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達式25.簡述幺正變換的性質(zhì)26.在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動量算符的矩陣表示27.粒子處在的一維諧振子勢場中，試寫出其坐標(biāo)表象和動量表象的定態(tài)Schrödinger方程。28.使用狄拉克符號導(dǎo)出不含時間的薛定諤方程在動量表象中的形式。29.如果均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？a) b) b) 30.試述守恒量完全集的概念31.全同粒子有何特點？對波函數(shù)有什么要求？32.試述守恒量的概念及其性質(zhì)33.自由粒子的動量和能量是否為守恒量？為什么？34.電子在均勻電場中運動，哈密頓量為。試判斷各量中哪

4、些是守恒量，并給出理由。35.中心力場中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動量是否有確定值36.寫出中心力場中的粒子的所有守恒量37.試給出氫原子的能級簡并度并與一般中心力場中運動粒子的能級簡并度進行比較38.二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性諧振子能級簡并度。39. 氫原子體系處于狀態(tài) ，給出和可能取值及取值幾率，并說明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？40.已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為，試列舉出幾種該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。41.什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。42.試給出電子具有自旋的實驗依據(jù)43

5、.寫出表象中、和的本征值與本征態(tài)矢44.試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義45.以和分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)（只寫自旋部分波函數(shù)）。46.若|>和|>是氫原子的定態(tài)矢（電子和質(zhì)子的相互作用為庫侖作用，并計及電子的自旋軌道耦合項），試給出|>和|>態(tài)的守恒量完全集47.若在表象中，與的矩陣分別為，是否可以將看作微擾，從而利用微擾理論求解的本征值與本征態(tài)？為什么?48.利用Einstein自發(fā)輻射理論說明自發(fā)輻射存在的必然性。49.是否能用可見光產(chǎn)生 1阿秒(s) 的激光短脈沖，利用能量時間測不準(zhǔn)關(guān)系說明原因。50.試

6、給出躍遷的Fermi 黃金規(guī)則（golden rule）公式，并說明式中各個因子的含義。51. 在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子的散射振幅為，寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無極化全同費米子碰撞的微分散射截面表達式。二、判斷正誤題（請說明理由）1.由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2.波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3.平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來描述真實粒子4.因為波包隨著時間的推移要在空間擴散，故真實粒子不能用波包描述5.正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測不準(zhǔn)關(guān)系6.測不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)7.設(shè)一體系的哈密頓與時間無關(guān)，則體系一定

7、處于定態(tài)8.不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9.對階梯型方位勢，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)10.顯含時間t，則體系不可能處于定態(tài)，不顯含時間t，則體系一定處于定態(tài)11.一維束縛態(tài)能級必定是非簡并的12.一維粒子處于勢阱中，則至少有一條束縛態(tài)13.粒子在一維無限深勢阱中運動，其動量一定是守恒量14.量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15.勢阱不存在束縛態(tài)16.自由粒子的能量本征態(tài)可取為，它也是的本征態(tài)17.若兩個算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對易18.在量子力學(xué)中，一切可觀測量都是厄米算符19.如果是厄米算符，其積不一定是厄米算符20.能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)21.若對易，則在任意態(tài)中可

8、同時確定22.若不對易，則在任何情況下不可同時確定23.和不可同時確定24.若對易，則的本征函數(shù)必是的本征函數(shù)25.對應(yīng)一個本征值有幾個本征函數(shù)就是幾重簡并26.若兩個算符不對易，則它們不可能同時有確定值27.測不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對易的物理量28.根據(jù)測不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動量都不能精確測定，只能求其平均值29.力學(xué)量的平均值一定是實數(shù)30.體系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱31.在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時間變化32.體系能級簡并必然是某種對稱性造成的33.量子體系的守恒量無論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時間改變34.全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對稱的35.全同

9、粒子體系波函數(shù)的對稱性將隨時間發(fā)生改變36.描述全體粒子體系的波函數(shù)，對內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對稱性37.粒子在中心力場中運動，若角動量是守恒量，那么就不是守恒量38.在中心力場中運動的粒子，軌道角動量各分量都守恒39.中心力場中粒子的能量一定是簡并的40.中心力場中粒子能級的簡并度至少為41.電子的自旋沿任何方向的投影只能取42.兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題：1.試由Schrödinger方程出發(fā)，證明，其中2.一維粒子波函數(shù)滿足定態(tài)Schrödinger方程，若、都是方程的解，則有3.設(shè)是定態(tài)薛定諤方程對應(yīng)于能量的非簡并解，則此解可取為實解4.設(shè)和是定態(tài)薛

10、定諤方程對應(yīng)于能量的簡并解，試證明二者的線性組合也是該定態(tài)方程對應(yīng)于能量的解。5.對于勢壘，試證勢中的躍變條件6.設(shè)是定態(tài)薛定諤方程的一個解，對應(yīng)的能量為，試證明也是方程的一個解，對應(yīng)的能量也為7.一維諧振子勢場中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子的位置概率分布經(jīng)歷一個周期后復(fù)原。8.對于階梯形方勢場 ，若有限，則定態(tài)波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定連續(xù)。9.證明一維規(guī)則勢場中運動的粒子，其束縛態(tài)能級必定是非簡并的10.證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)11.證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12.證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時間無關(guān)13.令，試證為厄密算符14.試

11、證為厄密算符15.設(shè)是一個幺正算符且對可導(dǎo)，證明是厄米算符。16.已知和是厄米算符，證明(+)和2也是厄米算符17.試證明：任何一個力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對角矩陣18.試證明表象中算符的矩陣元是19.試證明表象中算符的矩陣元是20.若厄米算符具有共同本征函數(shù)，即，而且構(gòu)成體系狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明21.若構(gòu)成完備基組，證明：22.證明兩個線性算符之和仍為線性算符23.設(shè)算符，若為的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為，求證和也是的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。24.試證明是角動量平方算符屬于本征值的本征函數(shù)。25.試證明表象變換并不改變算符的本征值26.證明對易關(guān)系 27.證

12、明在的本征態(tài)下 28.設(shè)粒子處于狀態(tài)下，證明29.證明諧振子的零點能是測不準(zhǔn)關(guān)系的直接結(jié)果。30.一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31.如果厄米算符A對任何矢量|u>，有<u|A|u>0，則稱A為正定算符。試證明算符A=|a><a|為厄米正定算符32.設(shè)全同二粒子的哈密頓量為，波函數(shù)為，試證明交換算符是個守恒量33.證明在定態(tài)下，任意不顯含時間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時間改變。34.設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)下A的取值概率分布不隨時間改變。35.證明：量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值不隨時間改變。36.試

13、證在一維勢場中運動的粒子所受勢壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0（提示：利用對易關(guān)系）37.設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為，厄米算符與對易。試證明，其中是的均方根偏差，即，式中尖括號表示求平均值。38.如果，但，試證明的本征值必有簡并。39.粒子在對數(shù)函數(shù)型勢場中運動，其中常數(shù)。試?yán)肰irial定理證明：各束縛態(tài)的動能平均值相等。40.試根據(jù)力學(xué)量平均值表達式證明力學(xué)量平均值隨時間的變化為，其中為體系的哈密頓41.證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶42.設(shè)粒子處在對稱的雙方勢阱中（1）在情況下求粒子能級，并證明能級是雙重簡并；（2）證明取有限值情況下，簡并將消失。43.證明在氫原子的任何定態(tài)中，動能的平均

14、值等于該定態(tài)能量的負(fù)值，即 44.已知中心力場中運動的粒子哈密頓表示為，證明中心力場中運動的粒子角動量守恒45.證明Pauli算符各個分量的反對易關(guān)系46.若電子處于本征態(tài)。試證在此態(tài)中取值或的概率各為。47.設(shè)有兩個電子，自旋態(tài)分別為。證明兩個電子處于自旋單態(tài)(S=0)和三重態(tài)(S=1)的幾率分別為48.在一定邊條件下用定態(tài)薛定諤方程求解體系能量本征值與變分原理等價。49.已知在分波法中，據(jù)此證明光學(xué)定理。四、 計算題：1.設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為，求。2.質(zhì)量為的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為（1）求解能量本征值和歸一化的本征函數(shù)；（2）若已知時，該粒子狀態(tài)為，求時刻該粒子的波函

15、數(shù)；（3）求時刻測量到粒子的能量分別為和的幾率是多少？（4）求時刻粒子的平均能量和平均位置。3.粒子在一維勢阱中運動求粒子的束縛定態(tài)能級與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4.設(shè)有質(zhì)量為的粒子（能量）從左入射，碰到勢壘，試推導(dǎo)出勢中的躍變條件。5.質(zhì)量為m的粒子，在位勢 中運動，其中試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；給出粒子處于x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2，還是小于1/2，為什么？ 6.一個質(zhì)量為m的粒子在一維勢場 ，求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性條件，并給出奇宇稱能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。7.質(zhì)量為的粒子在一維勢場 中運動。求粒子的定態(tài)能量與歸一化的波函數(shù)；粒子在態(tài)

16、上的位置平均值。8.如圖所示，一電量為質(zhì)量為的帶電粒子處在電量為固定點電荷的強電場中，并被約束在一直線AB上運動，到AB的距離為a，由于產(chǎn)生的電場很強，只能在平衡位置O附近振動，即a遠大于粒子的運動范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點，試求體系可能的低能態(tài)能級。9.一電量為質(zhì)量為的帶電粒子處在強度為E的均勻強電場中，并被約束在一半徑為R的圓弧上運動，電場方向如圖所示，由于電場很強，只能在平衡位置O附近振動，即R遠大于粒子的運動范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點，試求體系可能的低能態(tài)能級。10.一維諧振子處于基態(tài)，求諧振子的1）平均值；2）平均值；3）動量的幾率分布函數(shù)。（提示：函數(shù)滿足遞推關(guān)系：；）。1

17、1.把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢的一 種平均勢，對于下列一維模型（如圖） 試求當(dāng)時接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。12.設(shè)時，質(zhì)量為、頻率為的諧振子處于 狀態(tài)，其中是實常數(shù)，是厄米多項式。1)求歸一化常數(shù)；2)求時刻體系的狀態(tài)；3)求時刻位置的平均值；4)求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率 13.設(shè)一維粒子由處以平面波入射，在原點處受到勢能的作用。（1）寫出波函數(shù)的一般表達式；（2）確定粒子在原點處滿足的邊界條件；（3）求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)；（4）分別指出與時的量子力學(xué)效應(yīng)。14.設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài) （1）求 （2）寫出本征能量，并說明它反映微觀粒子的什么性質(zhì) （3）

18、利用位力定理證明：，其中 15.設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為。試?yán)眠f推公式求諧振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示16.一維諧振子時處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài) 其中， （1）求時刻位置和動量的平均值； （2）證明對于一維諧振子的任何狀態(tài)，時刻位置和動量的平均值有關(guān)系； （3）求時刻能量的平均值17.設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即）。求 的可能測值及平均值； 的可能測值及相應(yīng)的幾率。 18設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)所描述的量子態(tài)中。試求（1）在該態(tài)下的可能測值和各個值出現(xiàn)的幾率；（2）的平均值19. 時氫原子的波函數(shù)為。忽略自旋和躍遷。 （1）寫出系統(tǒng)能量、角動量平方及角動量分量的可能測值（表示成基本物

19、理的函數(shù)即可）； （2）上述物理量的可能測值出現(xiàn)的幾率和期望值； （3）寫出時刻的波函數(shù)。20.求勢場中的粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)（A,B>0） 21.設(shè)有一個定域電子，受到沿方向均勻磁場的作用，Hamiltonian量（不考慮軌道運動）表為。設(shè)時電子自旋“向上”（），求時的平均值。 22.假設(shè)一個定域電子（忽略電子軌道運動）在均勻磁場中運動，磁場沿軸正向，電子磁矩在均勻磁場中的勢能為：，其中，（）為電子的磁矩,自旋用泡利矩陣表示。（1）求定域電子在磁場中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程：；（2）假設(shè)時，電子自旋指向軸正向，即，求時，自旋的平均值；（3）求時，電子自旋指向軸負(fù)向，即的

20、幾率是多少？ 23.自旋，并具有自旋磁矩的粒子處于沿 x 方向的均勻磁場B中。已知t=0時，粒子的，求在以后任意時刻發(fā)現(xiàn)粒子具有的幾率。 24.在表象中求自旋角動量在方向的投影 的本征值和所屬的本征函數(shù)。25兩個自旋為1/2的粒子，在表象中的表示為，其中， 是第i個粒子自旋向上的幾率，是第i個粒子自旋向下的幾率。a. 求哈密頓量的本征值和本征函數(shù)（V0為一常數(shù)）；b. t=0時，體系處于態(tài)，求t時刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率（注：為第i個粒子泡利算符的x, y分量） 26.考慮由兩個自旋為 1 的粒子組成的體系，總自旋，求總自旋的平方及 z 分量 (,) 的共同本征態(tài)，并表示成和本征函數(shù)乘積的線性疊

21、加（取=1）。27.一束自旋為的粒子進入Stern-Gerlach裝置SG（I）后被分成兩束，去掉其中的一束，另一束（）進入第二個SG（II），SG（I）與SG（II）的夾角為。則粒子束穿過SG（II）后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對數(shù)目之比。28.試求表象中的矩陣表示29.自旋為1/2的粒子，其自旋角動量算符和動量算符分別為和。令 為和的共同本征態(tài)，其本征值分別為和，算符。試問： （1）是否為厄米算符？在以為基的空間中，的矩陣形式如何？ （2）的本征值是什么？求出的共同本征函數(shù)系30.對自旋為1/2的粒子，是自旋角動量算符，求的本征函數(shù)和本征值（是實常數(shù)）31.電子處于沿y軸方向的均勻恒定

22、磁場中，t=0時刻在表象中電子的自旋態(tài)為，不考慮電子的軌道運動。（1）求任意t>0時刻體系的自旋波函數(shù)；（2）在t時刻電子自旋各分量的平均值；（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并簡述其理由。32.考慮兩個電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時可以是對稱的或是反對稱的。由于電子是費米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量（包括空間部分和自旋部分）時必須是反對稱的。（1）假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：。求：和的本征值；（2）假設(shè)空間部分波函數(shù)是對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù)，和的本征值；（3）假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：，分別針對（1）（2）兩

23、種情形，求系統(tǒng)的能量。33.兩個電子處在自旋單態(tài)中，其中分別是自旋算符 和的單粒子自旋態(tài)。 （1）試證明：是算符的本征態(tài)（和分別是兩個單電子的自旋算符）； （2）如果測量一個電子的自旋分量，得，那么測量另一個電子的自旋的概率是多少？（3）如果測量態(tài)的一個電子的自旋，測量結(jié)果表明它處在 的本征態(tài)，那么再測量另一個電子自旋分量，得到的概率是多少？34.由兩個非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為，不考慮軌道運動，粒子間相互作用可寫作。設(shè)初始時刻（）粒子1自旋朝上（），粒子2自旋朝下（）。求時刻 （1）粒子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）總自旋為0和1的概率 35.質(zhì)量為

24、的一個粒子在邊長為的立方盒子中運動，粒子所受勢能由下式給出：（i）列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；（ii）假設(shè)有兩個電子在立方盒子中運動，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)（提示：電子自旋為，是費米子）；（iii）假設(shè)有兩個玻色子在立方盒子中運動，不考慮玻色子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。 36.已知時，氫原子的波函數(shù)為，其中滿足歸一化條件。試（1）寫出任意時刻的波函數(shù)（2）求能量、軌道角動量和、自旋的可能取值和相應(yīng)的幾率以及平均值（3）計算時刻自旋分量的平均值（4）寫出時刻電子處在以原子核為球心，半徑為的球體積

25、內(nèi)，且的幾率的表達式37.粒子處在無限深球方勢阱中（1）求其徑向波函數(shù)和能量本征值；（2）今加上一微擾（為小量），求能量一級修正值（只求第一激發(fā)態(tài)的結(jié)果）。38.一維無限深方勢阱中的粒子受到微擾的作用，其中為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似。39.一維諧振子的哈密頓為若再加上一個外場作用，使用微擾論計算體系的能量到二級修正，并與嚴(yán)格解比較。40.有一兩能級體系，哈密頓量為，在表象中，表示為 為微擾，表示微擾程度，試求的本征值和本征態(tài)。41.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H 的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上

26、面二結(jié)果一致。 42.設(shè)在表象中，與微擾的矩陣為 其中與分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級近似能量，是微小量。(1) 求基態(tài)的一級近似能量與零級近似態(tài)矢(2) 激發(fā)態(tài)的二級近似能量與一級近似態(tài)矢。43.已知系統(tǒng)的哈密頓量為，。用微擾法求能量至二級修正。44.設(shè)粒子在二維無限深勢阱中運動，設(shè)加上微擾。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正。45.一個取向用角坐標(biāo)和確定的轉(zhuǎn)子作受礙轉(zhuǎn)動，用下述哈密頓描述：，式中A和B均為常數(shù)，且，是角動量平方算符。試用一級微擾論計算系統(tǒng)的p能級(l=1)的分裂，并算出微擾后的零級近似波函數(shù)。46.對于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為，為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量，并與嚴(yán)格解進行比

27、較。47.一維無限深勢阱加上如圖所示的微擾， 則勢函數(shù)為 試用微擾論求基態(tài)能量本和波函數(shù)至一級近似。 48.氫原子處于基態(tài)：沿z方向加一個均勻弱電場，視電場為微擾。求電場作用后的基態(tài)波函數(shù)（一級近似），能級（二級近似），平均電矩和電極化系數(shù)（不考慮自旋）。49.考慮體系，且，a.利用變分法，取試探波函數(shù)為，求基態(tài)能量上限；b.我們知道，如試探波函數(shù)為，則基態(tài)能量上限為。對這兩個基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個？為什么？50.以為變分函數(shù)， 式中為變分參數(shù)， 試用變分法求一維諧振子的基態(tài)能量和波函數(shù)。 已知51.質(zhì)量為的粒子在一維勢場中運動，式中。 （1）用變分法計算基態(tài)能量時，在區(qū)域內(nèi)的試探波函

28、數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個？為什么？（2）算出基態(tài)能量。 提示：必要時可利用積分公式：52.質(zhì)量為 m 的的粒子在勢場 中運動。 (1) 用變分法估算粒子基態(tài)能量，試探波函數(shù)取為變分參量。 (2) 它是解的上限，還是下限？將它同精確解比較。 （附：積分公式 ）53.（1）設(shè)氫原子處于沿方向的均勻靜磁場中，不考慮自旋，在弱磁場下，求能級的分裂情況；（2）如果沿方向不僅有靜磁場，還有均勻靜電場，再用微擾方法求能級的分裂情況（取到一級近似，必要時可以利用矩陣元 ）。54.設(shè)體系的Hamilton量為，頻率是實常數(shù)。 （1）求體系能量的本征值和本征函數(shù)； （2）如果時體系處于狀態(tài)，求時體系所處的狀態(tài)；（3）如果時體系處于基態(tài)，當(dāng)一個小的與有關(guān)的微擾在時加上后，求時體系躍遷的激發(fā)態(tài)的幾率 55.設(shè)為一維諧振子的能量本征函數(shù)，且已知，（1） 求；（2） 設(shè)該諧振子在時處于基態(tài)，并開始受微擾的作用。求經(jīng)過充分長時間（）以后體系躍遷到態(tài)的幾率56.中微子振蕩實驗發(fā)現(xiàn)：電子中微子可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆?。我們用波函?shù)表示電子中微子，表示繆