最新人教版八年級數(shù)學上冊1331等腰三角形的性質

1、人教版八年級數(shù)學人教版八年級數(shù)學 上冊上冊13.3 等腰三角形等腰三角形 （第（第1課時課時） 學習目標：學習目標：1探索并證明等腰三角形的兩個性質 2能利用性質證明兩個角相等或兩條線段相等3結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸 對稱在研究幾何問題中的作用 學習重點：學習重點： 探索并證明等腰三角形性質 活動（一）：活動（一）：細心觀察細心觀察活動（一）：活動（一）：細心觀察細心觀察活動（一）：活動（一）：細心觀察細心觀察活動（一）：活動（一）：細心觀察細心觀察共同特點共同特點活動（一）：活動（一）：細心觀察細心觀察ABC等腰三角形等腰三角形: :有兩條邊相等的三角形有兩條邊相等的三角形

2、, , 叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等的兩條邊叫做相等的兩條邊叫做腰腰, ,另一條邊叫做另一條邊叫做底邊底邊, ,底邊與腰的夾角叫做底邊與腰的夾角叫做底角底角. .兩腰所夾的角叫做兩腰所夾的角叫做頂角頂角, ,腰腰腰腰底邊底邊頂角頂角底角底角回顧回顧 1 1、等腰三角形一腰為、等腰三角形一腰為3cm,3cm,底為底為4cm,4cm,則它則它的周長是的周長是 ； 2 2、等腰三角形的一邊長為、等腰三角形的一邊長為3cm,3cm,另一邊長另一邊長為為4cm,4cm,則它的周長是則它的周長是 ； 3 3、等腰三角形的一邊長為、等腰三角形的一邊長為3cm,3cm,另一邊長另一邊長為為8cm,8

3、cm,則它的周長是則它的周長是 。 10 cm10 cm 或 11 cm19 cm 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，沿折痕對折，找出其中重合的線段和角找出其中重合的線段和角. 等腰三角形是軸對稱圖形嗎？等腰三角形是軸對稱圖形嗎？等腰三角形是等腰三角形是軸對稱圖形，軸對稱圖形，。 溫故知新溫故知新如圖如圖, ,把一張長方形的紙按圖中虛線對折把一張長方形的紙按圖中虛線對折, , 并剪去綠色部分并剪去綠色部分, , 再把它展再把它展開開, ,得到的得到的ABCABC有什么特點有什么特點? ?ABCAB=AC等腰三角形等腰三角形活動（二）：活動（二）：動手操作動手操作 上面剪出的

4、等腰三角形是軸對稱圖形嗎？上面剪出的等腰三角形是軸對稱圖形嗎？ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕對折，沿折痕對折，找出其中重合的線段和角，填入下表：找出其中重合的線段和角，填入下表：重合的線段重合的角AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=ADAD=ADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD活動（三）：活動（三）：細心觀察細心觀察 大膽猜想大膽猜想已知：ABC中，AB=AC求證：B=C分析：分析：1.如何證明兩個角相等？如何證明兩個角相等？ 活動（四）：活動（四）：猜想與論證猜想與論證等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角

5、相等。2.2.如何構造兩個全等的三角形？如何構造兩個全等的三角形？已知：已知： 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求證：求證： B= B= C.C.ABC等腰三角形的兩個底角相等。等腰三角形的兩個底角相等。D證明：證明： 作底邊的中線作底邊的中線ADAD，則，則BD=CDBD=CDAB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )BD=CD ( BD=CD ( 已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共邊公共邊) ) BAD BAD CAD (SSS).CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等). ).在在BADB

6、AD和和CADCAD中中方法一：方法一：作底邊上的中線作底邊上的中線已知：已知： 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求證：求證： B= B= C.C.ABC等腰三角形的兩個底角相等。等腰三角形的兩個底角相等。D證明：證明： 作頂角的平分線作頂角的平分線ADAD，則，則1=1=2 2AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )1=1=2 ( 2 ( 已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共邊公共邊) ) BAD BAD CAD (SAS).CAD (SAS). B= C (B= C (全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等). ).方法二：方法二：作頂

7、角的平分線作頂角的平分線在在BADBAD和和CADCAD中中12已知：已知： 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求證：求證： B= B= C.C.ABC等腰三角形的兩個底角相等。等腰三角形的兩個底角相等。D證明：證明： 作底邊的高線作底邊的高線ADAD，則，則BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )AD=AD (AD=AD (公共邊公共邊) ) RtRtBAD RtBAD RtCAD (HL).CAD (HL). B= C (B= C (全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等). ).方法三：方法三：作底邊的高線作

8、底邊的高線在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中用符號語言表示為：用符號語言表示為：在在ABCABC中，中， AC=ABAC=AB（ 已知）已知） B=C B=C （等邊對等角）等邊對等角）等腰三角形的性質等腰三角形的性質1：等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等（簡稱（簡稱“等邊對等角等邊對等角”）ABCD 歸納總結歸納總結 剛才的證明除了能得到BC 你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角 ABAC BDCD ADAD B C.BAD CAD ADB ADC=90=90等腰三角形的底邊上的高、底邊上的等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互為重合中線、頂角的平

9、分線互為重合.猜想猜想（1）如圖，）如圖，ADBC，ABAC.求證：求證：BDCD，12.ABCD1 2（2）如圖，）如圖，BDCD，ABAC.求證：求證：ADBC，12.（3）如圖，）如圖，12，ABAC.求證：求證：ADBC，BDCD. 大膽猜想大膽猜想（1）如圖，）如圖，ADBC，ABAC. 求證：求證：BDCD，12.ABCD1 2證明：在RtABD和RtACD中ABACADADRtABD RtACD（HL）BDCD，12（2）如圖，）如圖，BDCD，ABAC. 求證：求證：ADBC，12.ABCD1 2證明：在ABD和ACD中ABACBDCDADADABD ACD（SSS）ADBAD

10、C，12又ADBADC180ADBADC90即ADBC（3）如圖，）如圖，12，ABAC. 求證：求證： ADBC，BDCD.ABCD1 2證明：在ABD和ACD中ABAC12ADADABD ACD（SAS）ADBADC，BDCD又ADBADC180ADBADC90即ADBC(簡寫成三線合一)ABCD性質性質2 2 等腰三角形的等腰三角形的頂角頂角平分線平分線與與底邊底邊上的上的中線中線，底邊底邊上的高上的高互相重合互相重合 性質性質3 3 等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角的平分等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角的平分線（底邊上的中線、底邊上的高）所在的直線就是線（底邊上的中線、底邊上的高）所在的直

11、線就是等腰三角形的對稱軸。等腰三角形的對稱軸。 歸納總結歸納總結1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線， 又是底又是底 邊上的高。邊上的高。應用格式：應用格式：ABAC 12（已知）（已知）BDDC ADBC（等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。高，又是頂角平分線。應用格式：應用格式：ABAC BDDC （已知）（已知）ADBC 12 （等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形的底邊上的高，既是底、等腰三角形的底邊上的高，

12、既是底邊上的中線，又是頂角平分線。邊上的中線，又是頂角平分線。應用格式：應用格式：ABAC ADBC （已知）（已知）BDDC 12 （等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）性質性質2可分解成下面三個方面來理解：可分解成下面三個方面來理解： 歸納總結歸納總結畫出任意一個等畫出任意一個等腰三角形的底角腰三角形的底角平分線、這個底平分線、這個底角所對的腰上的角所對的腰上的中線和高，看看中線和高，看看它們是否重合？它們是否重合？ABCDEFABCD 1 1. . 根據(jù)等腰三角形性質根據(jù)等腰三角形性質2 2填空填空, ,在在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC， (1) ADBC(1) A

13、DBC，_ = _ = _，_= _. _= _. (2) AD(2) AD是中線，是中線，_ _ ，_ =_._ =_.(3) AD(3) AD是角平分線，是角平分線，_ _ _ _ ，_ =_._ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 知一線得二線知一線得二線 “三線合一三線合一”可以幫助我可以幫助我們解決線段的垂直、相等們解決線段的垂直、相等以及角的相等問題。以及角的相等問題。2 2、等腰三角形一個底角為、等腰三角形一個底角為7070, ,它的頂角為它的頂角為_._.3 3、等腰三角形一個角為、等腰三角形一個角為7070, ,它的另外兩個角為它的另外兩個

14、角為 _. _.4 4、等腰三角形一個角為、等腰三角形一個角為110110, ,它的另外兩個角為它的另外兩個角為_._. 頂角度數(shù)頂角度數(shù)+2+2底角度數(shù)底角度數(shù)=180=180 0 0頂角度數(shù)頂角度數(shù)180180 0 0底角度數(shù)底角度數(shù)9090結論結論: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,40 35 ，35 70,40 或或 55,55 例例1、如圖，在、如圖，在ABC中中 ，AB=AC，點，點D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度數(shù)。各角的度數(shù)。1、圖中有哪幾個等腰三角形、圖中有哪幾個等腰三角形？ABCDx2x2x2xABC ABD BDC2 2、有哪些相等的角？

15、、有哪些相等的角？ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC A=A=ABDABD3 3、這兩組相等的角之間還有什、這兩組相等的角之間還有什么關系？么關系？BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 應用新知應用新知 已知：如圖，房屋的頂角已知：如圖，房屋的頂角BAC=100 , 過屋頂過屋頂A的立柱的立柱AD BC , 屋椽屋椽AB=AC. 求頂架上求頂架上B、C、BAD、CAD的度數(shù)的度數(shù).ABDCBAD=CAD=50BAD=CAD（等腰三角形頂角的平分線與底（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）邊上的高互相重合）.又又ADBC，B=C= 180BAC=40(三

16、角形內角和定理三角形內角和定理)解：在解：在ABC中中AB=AC，B=C（等邊對等角）（等邊對等角）又BAC=100 (1)(1)猜想一下，等腰三角形底邊中點到兩腰的距離猜想一下，等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎？如圖將等腰三角形相等嗎？如圖將等腰三角形ABC沿對稱軸折疊，觀察沿對稱軸折疊，觀察DE與與DF的關系，并證明你的結論。的關系，并證明你的結論。ABCDEF(2)(2)如果如果DEDE、DFDF分別是分別是AB,ACAB,AC上的中線或上的中線或ADB, ADCADB, ADC的平分線，它們還相等嗎？由等腰三角形是軸對稱圖形，的平分線，它們還相等嗎？由等腰三角形是軸對稱圖形，利用類

17、似的方法，還可以得到等腰三角形中哪些相等的利用類似的方法，還可以得到等腰三角形中哪些相等的線段？線段？已知：已知：在在ABC中，中，AB=AC.點點D 是是BC的中點，的中點，DEAB于于E, DFAC于于F求證：求證：DEDF活動（五）：活動（五）：拓展提高拓展提高1、等腰三角形的頂角一定是銳角。2、等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍 角都可以。3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。4、等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。5、等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角（X）（X）（）（X）（）例例1、如圖，在、如圖，在ABC中中 ，AB=AC，點，點D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，

18、求，求ABC各角的度數(shù)。各角的度數(shù)。xx2x2x2x解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC=C=BDC，A=ABD(等等邊對等角角)設A=x,則BDC= A+ ABD=2x,從而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中， A=36，ABC=C=72如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，B=30。求和ADC的度數(shù) AB=AC，D是BC邊上的中點ADC 90。 BAC=180。-30。-30。=120 。160 ABCD112BAC （三線合一）課堂練習：課堂練習：談談你的收獲