圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

1、aiylOAr圓心為圓心為O、半徑為、半徑為r的圓可以看成的圓可以看成是所有到定點(diǎn)是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長的距離等于定長R的點(diǎn)組成的圖形。的點(diǎn)組成的圖形。（1）圓心和半徑是構(gòu)成圓的兩個(gè)重要元素，圓心）圓心和半徑是構(gòu)成圓的兩個(gè)重要元素，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小確定圓的位置，半徑確定圓的大小,只有當(dāng)給出圓只有當(dāng)給出圓心和半徑這兩個(gè)要素之后，才能夠確定一個(gè)圓。心和半徑這兩個(gè)要素之后，才能夠確定一個(gè)圓。（2）圓是指）圓是指“圓周圓周”，是曲線，而不是，是曲線，而不是“圓圓面面”。（3）同一個(gè)圓的半徑處處相等。）同一個(gè)圓的半徑處處相等。弦弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段連接圓上任意兩點(diǎn)的線段(圖中

2、的線段圖中的線段AB,AC).直徑直徑經(jīng)過圓心的弦經(jīng)過圓心的弦(圖中的圖中的AB).注意注意: :凡直徑都是弦凡直徑都是弦,是圓中最長的弦是圓中最長的弦但弦不一定是直徑但弦不一定是直徑.OBCA 1.如圖如圖,半徑有半徑有:_OA、OB、OC 2.如圖如圖,弦有弦有:_AB、BC 、AC大于半圓的弧大于半圓的弧（用三個(gè)點(diǎn)表示，如：（用三個(gè)點(diǎn)表示，如： 或或 或或 ），），叫做叫做優(yōu)弧；優(yōu)?。粓A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧叫做每一條弧叫做半圓半圓.OBCA 1.如圖如圖,ABBC2 .劣弧劣弧有有:優(yōu)弧優(yōu)弧有：有：ACBBAC你知道優(yōu)弧

3、與劣弧的區(qū)別么？你知道優(yōu)弧與劣弧的區(qū)別么？判斷判斷：半圓是弧，但弧不一定是半圓半圓是弧，但弧不一定是半圓.( ).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OBA圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OBA圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OAB圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn).OBA180 所以圓是中心對稱圖形。圓繞圓心旋轉(zhuǎn)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180180后仍與原來的圓重合后仍與原來的圓重合。NO把圓把圓O的半徑的半徑ON繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ，NON把圓把圓O O的半徑的半徑ONON繞圓心繞圓心O O旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角

4、度旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ，NON把圓把圓O的半徑的半徑ON繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ，NON把圓繞把圓繞圓心旋圓心旋轉(zhuǎn)任意轉(zhuǎn)任意一個(gè)角一個(gè)角度后，度后，仍與原仍與原來的圓來的圓重重合合。把圓把圓O的半徑的半徑ON繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ，由此由此可以可以看出看出，點(diǎn)點(diǎn)N仍落仍落在圓在圓上。上。圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓是以圓心為旋轉(zhuǎn)對稱中心的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，圓是以圓心為旋轉(zhuǎn)對稱中心的旋轉(zhuǎn)對稱圖形，旋轉(zhuǎn)角可為大于旋轉(zhuǎn)角可為大于0 00 0且小于且小于3603600 0的任何一個(gè)角。的任何一個(gè)角。注注： 旋轉(zhuǎn)角為旋轉(zhuǎn)角為180180O O 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

5、，說明圓是以圓心為對稱中說明圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。心的中心對稱圖形。如圖中所如圖中所示示 NO NNO N 就是一個(gè)就是一個(gè)圓心角圓心角。NON定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。 圓心角圓心角 所對所對的弧為的弧為 AB，A AO OB B 過點(diǎn)過點(diǎn)O作弦作弦AB的垂線的垂線, 垂足垂足為為M,OABM頂點(diǎn)在圓心的角頂點(diǎn)在圓心的角,叫叫圓心角圓心角，如如 , A AO OB B所對的弦為所對的弦為AB；OM是唯一的。是唯一的。 則垂線段則垂線段OM的長度的長度,即圓即圓心到弦的距離，叫心到弦的距離，叫弦心距弦心距 , 圖圖中，中，OM為為AB弦的弦心距。

6、弦的弦心距。判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。2、下列圖中弦心距做對了的是（ ） 由上分析，任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)四個(gè)量：由上分析，任意給圓心角，對應(yīng)出現(xiàn)四個(gè)量：圓心角圓心角弧弧弦弦 弦心距弦心距 圓心角圓心角弧弧之間的關(guān)系之間的關(guān)系弦弦 弦心距弦心距課題ABCDo下面我們一起來觀察一下：在下面我們一起來觀察一下：在 O中有哪些圓心角？（請舉出兩中有哪些圓心角？（請舉出兩個(gè)例子，并說出圓心角所對的弧，弦。）個(gè)例子，并說出圓心角所對的弧，弦。）如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面

7、我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)

8、系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧

9、有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對

10、的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果：如果： AOB= CODABCDo 證證明明:OA=OC， OB=OD AOB=COD, 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，重合時(shí)， 點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)D也重合。也重合。 AB=CD，圓心角定理：在同圓或等圓中，在同圓或等圓

11、中，相等的圓心角所相等的圓心角所對的弧相等對的弧相等，所對的弦也相等，所對的弦也相等。 AB = CD。已知已知:如圖如圖AOB= COD,求證求證: AB=CD， AB = CD。B=CD嗎嗎？弧弧AB與弧與弧CD呢？呢？O如圖，如圖， O 和和 O 是等圓，是等圓，如果如果 AOB= AOB 那么那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM。圓心角定理圓心角定理 : : 在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角 所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。距相等。已知：如圖已知：如圖5, AOB = AOB , OM、OM

12、分別是弦分別是弦 AB、弦、弦 AB 的弦心距的弦心距.求證：求證： AB=AB , AB= AB , OM=OM 證明：證明：將將AOB連同連同AB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)， 使射線使射線OA與射線與射線OA 重合重合 .又根據(jù)弦心距的唯一性，得又根據(jù)弦心距的唯一性，得OM=OM圖圖 5 BAAB,BAABBB,AABOOB,AOOABOOB 重合 與 合 重 與重合 與BOAAOB條件條件結(jié)論結(jié)論在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果圓心角相等如果圓心角相等那么那么圓心角所對的弧相等圓心角所對的弧相等圓心角所對的弦相等圓心角所對的弦相等圓心角所對的弦的弦心距相等圓心角所對的弦的弦心距相等在同圓或

13、等圓中在同圓或等圓中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所對的圓心角相等弦所對的圓心角相等弦所對的?。ㄖ噶踊。┫嗟认宜鶎Φ幕。ㄖ噶踊。┫嗟认业南倚木嘞嗟认业南倚木嘞嗟仍谕瑘A或等圓中在同圓或等圓中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弦相等弦心距所對應(yīng)的弦相等在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所對的圓心角相等弧所對的圓心角相等弧所對的弦相等弧所對的弦相等弧所對的弦的弦心距相等弧所對的弦的弦心距相等推論：推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦

14、或兩條心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組那么它們所對應(yīng)的其余的各組量都分別相等。量都分別相等。如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦，的兩條弦，lOE、OF為為AB、CD的弦心距，的弦心距，如果如果ABCD，那么，那么 ， ， ；l如果如果OEOF，那，那么么 ， ， ；l如果弧如果弧AB弧弧CD，那，那么么 ， ， ；l如果如果AOBCOD，那，那么么 ， ， 。OABECDF下列說法正確嗎？為什么？下列說法正確嗎？為什么？在在 O和和 O中，中，AOBAOBABAB在在 O和和 O中，中，ABAB，弧弧AB弧弧AB注意前

15、提：注意前提：在同圓或等圓中在同圓或等圓中如果如果 AOB = COD ABCDOEFAC = BD ABCDO 如果如果 AB = CD ，則圖中有哪些弧等？則圖中有哪些弧等？AB = CD AC = BD ？AC = BD ？AB + BC CD + BC =AC = BD 例例1.如圖如圖,在在 O中中, ACB=600,求證求證: AOB= BOC= AOCABAC=O證明證明:AB=AC,AB=AC, ACB=60 ABC為等邊三角形為等邊三角形,AB=AC=BC, AOB= BOC= AOCABC如圖如圖,已知已知AD=BC,求證求證:AB=DC證明：證明： AD=BC弧弧AD=弧

16、弧BC弧弧DC=弧弧BADC=AB證明：證明： C是弧是弧AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),AC=BC, AOC = BOC, AOB =120AOC = BOC=60 AO=OC=OB AOC, BOC是等邊三角形是等邊三角形,AO=OB=BC=AC已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)P在在 O上,點(diǎn)點(diǎn)O在在EPF的平分的平分線上線上， EPF的兩邊交的兩邊交 O于點(diǎn)于點(diǎn)A和和B。求證：求證：PA=PB.EFABPO已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)O在在EPF的平分線上的平分線上， O和和 EPF的兩邊分別交于點(diǎn)的兩邊分別交于點(diǎn)A，B和和C，D。求證：求證：ABCDEFOPACBD已知：如圖，已知：如圖， O的弦的弦AB，CD相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)P，DPO= BPO 。求證：求證：ABCDOCDABP已知：如圖，已知：如圖，AD=BC.求證：求證：ABCDOCBDAEOCBDAP3、已知：如圖，已知：如圖， PBPD. 求證：求證： AB=CD 。2、已知、已知AB和和CD為為O的兩條直徑，弦的兩條直徑，弦EC/AB, ,弧弧EC的度數(shù)為的度數(shù)為40，求，求BOD的度的度數(shù)。數(shù)。OBADCE圓圓O是是 ABC的外接圓，的外接圓，AE平分平分ABC的的外角外角DAC，ON