2017新課標(biāo)全國卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷5頁，23小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題 卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼 橫貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。2 .作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選 項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。 答案不能答在試卷上。3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各 題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫 上新答案；不準(zhǔn)使

2、用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4 .考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知集合 A=xx<l , B=x 3、< 1,則A . Al B = x|x<0B . AU6 = RC. AUB = xx>lD . A B = 02 .如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來自中國占代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白 色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的 概率是3 .設(shè)有下面四個(gè)命題Pi :若復(fù)數(shù)z

3、滿足G R，則z £ R ；ZP2 ：若復(fù)數(shù)Z滿足gR，則z £ R ；Pi :若復(fù)數(shù)Z1，a滿足e R，則& = Z2 ；Pa :若復(fù)數(shù)Z £ R I則Z £ R.其中的真命題為A. p“3B.p“4C 小,P3D . P2，P'4 .記S”為等差數(shù)列%的前項(xiàng)和.若氏+ %=24 , §6 = 48 ,則,的公差為A . 1B . 2C . 4D . 85 .函數(shù)/(K)在(yo,xo)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù). §/(1) = -1,則滿足-l</(x-2)<109x的取值范圍是C . 0,4A . -2,

4、2D . 1,36 ."白展開式中/的系數(shù)為A . 15B . 20C . 30D . 357 .某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組 成，正方形的邊長(zhǎng)為2 ,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是 梯形，這些梯形的面積之和為韭A . 10B . 12C . 14D . 168 .右面程序框圖是為了求出滿足3-21000的最小偶數(shù)n,另眩在 O和 口 兩個(gè) 空白框中，可以分別填入/輸入片0 /|，=3"一2" |/輸出 /A . A>1 000和 /7=/H-lB . A>1 000 和 g 計(jì)2C .

5、 A<1 000和 n=n+lD . A<1 000 和 n=/«-29 .已知曲線G :片cos x, C2 :片sin (2x+g),則下面結(jié)論正確的是A .把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平 移!個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線G6B .把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再導(dǎo)到的曲線向左平 移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線GC.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平 移：個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線G6D .把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平 移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線G1210 .已知

6、尸為拋物線C : V=4x的焦點(diǎn)，過戶作兩條互相垂直的直線4 ,6，直線4與 右交于4 8兩點(diǎn)，直線分與c交于。、e兩點(diǎn)，則ms+|鑿的最小值為A . 16B . 14C . 12D . 1011 .設(shè)x/z為正數(shù),且2, = 3、= 51則B. Sz<2x<3yC . 3y<5z<2xA . 2x<3y<Sz12 .幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣，他們推出了''解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué) 問題的答案：已知數(shù)列 1 , 1 , 2 , 1 , 2,4 , 1 , 2,

7、4,8 , 1 , 2,4,8 , 16 , 其中第一項(xiàng)是2° ,接下來的兩項(xiàng)是2。，2、再接下來的三項(xiàng)是2。，21，22 ,依此 類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)/V： A>100且該數(shù)列的前/V項(xiàng)和為2的整數(shù)幕,那 么該款軟件的激活碼是A . 440B . 330C . 220D . 110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 .已知向量a. 6的夾角為60° , |a|=2 , |創(chuàng)=1,則| a +2 6 |= .fx+2y <114 .設(shè)x, y滿足約束條件亞一1 ,貝！lz = 3工一2），的最小值為.x-y <015 .已知雙曲

8、線C: 4- = 1 （>0, b>0）的右頂點(diǎn)為A,以4為圓心，6為半徑 a- b-做圓力，圓力與雙曲線C的 條漸近線交丁 M、"兩點(diǎn)。若g60。，則C的 離心率為 O16 .如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5 cm ,該紙片上的等邊三角形力比的中心為 O0 D、E、尸為圓。上的點(diǎn)DBCECA ,二力8分別是以BC, CA ,為底邊 的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC, CA ,為折痕折起二08G QECA , *8,使得2 E、尸重合，得到三棱錐。當(dāng)M紀(jì)的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積 （單位：cm3）的最大值為 o三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

9、演算步驟。第1721題為 必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：共60分。17 . (12 分)力比的內(nèi)角力, 8, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知力比的面積為/二3siii A(1)求 sin國n。(2 )若 6cos£tosC=l , a=3 ,求力8c的周長(zhǎng).18 . ( 12 分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中,AB/CD,且 ABAP = ZCDP = 90°.(1 )證明：平面以2L平面PAD;(2 )若 PA=PD=AB=DC, ZAPD = 90° ,求二面角 4% C的余弦值.19 . (12

10、 分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm ).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布NU1,爐).(1 )假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在 (-3l +3b)之外的零件數(shù)，求尸(X之1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2 )一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3-3b. +3b)之外的零件，就認(rèn) 為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢 查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(打)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510

11、.129.969,9610.019.929,9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516 經(jīng)計(jì)算得丫=溟??？, =9.97 , i=i寸，i = L2,16 .-16鏟尸-0.212 ,其中為為抽取的第i個(gè)零件的尺用樣本平均數(shù)工作為4的估計(jì)值。，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差$作為。的估計(jì)值，利用估 計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(-3aA+ 36)之外的數(shù)據(jù)，用剩 下的數(shù)據(jù)估計(jì)和。(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布NJ,/),則P(/-3cr<Z </4-3ct) = 0.997 4 ,0.997 416 = 0.959

12、2 , V0008 = 0.09 .20 .(12 分)已知橢圓 c： ± + 2=1 ( a>b>0 )，四點(diǎn)自(1,1)，忌(0,1 )，月(-1 , cr lr乎)，自(1,4)中恰有三點(diǎn)在橢圓C±.(I)求C的方程；(2 )設(shè)直線/不經(jīng)過月點(diǎn)且與C相交于4 , 8兩點(diǎn),若直線e/與直線乃8的斜率的和為-1 ,證明：/過定點(diǎn).21 .(12 分)已知函數(shù) f(x) = *2*+(d - 2) ez - x(1)討論/3)的單調(diào)性；(2 )若fx)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所 做的

13、第一題計(jì)分。22 .選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系X。中，曲線C的參數(shù)方程為( 6為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為%為參數(shù)y = 1 一,(1)若=-1,求C與/的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若Ut的點(diǎn)到/的距離的最大值為拒，求 23 .選修4-5 :不等式選講(10分)已知函數(shù) f( x)=-+ax+4 ,虱x)= I x+11 + I >f-l I .(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f( x) >g(x)的解集；(2 )若不等式f(x) >g(x)的解集包含-1 , 1,求/的取值范圍.2017年新課標(biāo)1理數(shù)答案l.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.

14、D 9.D 10.A 11.D 12, A13. 2. 14, -515.手 16. 4岳17.解：(1)由題設(shè)得54*11】8 = 丁，即J_csin6 =一23sm A23 sin A1 cifi A由正弦定理得- sm CsmB =.2 3 sm A2 故 sui B sin C =.3(2)由題設(shè)及(1)得cos8cosC sln8slnC = g,即cos(B + C) = -g.所以8+C = ，故4 =巳. 33由題設(shè)得白兒sin A = a ,即be = 8.23 sin A由余弦定理得/Z+F加=9 ,即( + c/-3c = 9，得b + c = 后.故ABC的周長(zhǎng)為3 +

15、JH.18 .解:(1 )由已知 4A尸二 NC£)P = 90。，得CDPD.由于 AB CD,故 ABA. PD,從而 平面 PAD.又AB u平面以氏所以平面以民L平面PAD.(2)在平面0AO內(nèi)做PF_L AO ,垂足為尸，由(1 )可知，48_L平面“4。，故A8_L，可得PF_L平面A8CZX以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)楣ぽS正方向"篇|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直 角坐標(biāo)系尸-冷之,1,0) ,由(1 )及已知可得&¥，o,o), P(0,0,所以院=(一乎,1,一¥), cS = (V2,0,0),陰=(¥，0,_乎)，

16、篇=(0,0).設(shè) =(M y, Z)是平面PCB的法向量，則UL11InPC=Q g ulu ,即nCB = 0-2yX+y-z = 0>/2.v = 0可取設(shè)旭=(X, y z)是平面F48的法向量，則r LUUm - PA = 0 IUB ，即m . AB = 0f-v-fz=0y = Q則 cos<njn> = "lWI所以二面角A-PB-C的余弦值為-孝.19 .【解】(1 )抽取的一個(gè)零件的尺寸在(4-3b,“ + 3b)之內(nèi)的概率為0.9974 ,從而 零件的尺寸在(-3b, +3b)之外的概率為0.0026 ,故X-5(16.0.0026) ,因此P

17、(X>l) = l-P(X = 0) = l-0.9974 = 0.0408 .X 的數(shù)學(xué)期望為 EX = 16 x 0.0026 = 0.0416.(2) (i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在3-35+ 3。)之外的概率只有 0.0026 ,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在3b. + 3b)之外的零件的概率 只有0.0408 ,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這 一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控 生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由了 = 9.97,0.212，得以的估計(jì)值為 = 9.97 ,。的估計(jì)值為6 =

18、 0.212 ,由樣本可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(。-3+ 31)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)剔除(/7-35A + 36)之外的數(shù)據(jù)9.22 ,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 二(16x9.97-9.22) = 10.02 ,因此以的估計(jì)值為1002.16Sv 1=1= 16 x 0.2122+16 x 9.9721591.134 ,別除3-3仇+3句之外的9.22剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為-4(1591.134-9.22、15x 10.02)* 0.008 ,因此。的估計(jì)值為7008 % 0.09.20.(12分)解： (1)由于A , H兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P- P,兩點(diǎn).又由*於尹東知，壞經(jīng)過

19、點(diǎn)乩所以點(diǎn)B在二因此./+而=1，解得故C的方程為9）.（2）設(shè)直線巳/與直線巳8的斜率分別為ki, kz,如果/與X軸垂直，設(shè)/： x=t,由題設(shè)知fwO ,且|”<2 ,可得A , 8的坐標(biāo)分別為（t, 亨）,（士,卓）.則尢+區(qū)=亞手工_"+2=_i，得”2 ,不符合題設(shè)從而可設(shè)/： y = kx+m （，=1 ） ,將y = b + /代入亍+9=1得（4k2 + l）xz + 85口 + 4nr -4 = 0由題設(shè)可知 A-16（4A:2 -m2 +l）>0.設(shè)力（M,汽）,8（m,八）,則而+短=_：1r , MM；,： J：.4k- +14K +1而4 +

20、七=-i +1% 電_ M + 7一 + 任 +？ X 天2 仙+ （m-1）（內(nèi) + x2）-V2' 由題設(shè)占+勺=-1，故（2攵+ 1）占毛+ （?- 1）（.工+工）=0 .Z1>M" - 4即（2-）e +（一卜-Shn正+1解得斤="7 + 12當(dāng)且僅當(dāng)?>一1 時(shí)，A>0 ,欲使/： y = -，nx+m ,即 y +1 = -"-2),所以/過定點(diǎn)（2, T ）21.解：(1)的定義域?yàn)?7,口),fx) = 2ae2x + (a - 2)ex -1 = (aex - l)(2ex +1),(i )若40 ,則/'(

21、x) <0 ,所以/(x)在(-oo,xo)單調(diào)遞減.(ii )若>0 ,貝!由/'(x) = 0得x = -lna.當(dāng)（YO, -1114）時(shí)，fx） < 0 ；當(dāng)工£（一1114,4<0）時(shí)，fx） > 0，所以/（X）在 （y：.-In。）單調(diào)遞減，在（-Ina,xo）單調(diào)遞增.（2） （ i ）若心0，由（1）知，“X）至多有一個(gè)零點(diǎn).（ii ）若>0 ,由（1）知，當(dāng)x = -lna時(shí)，取得最小值，最小值為/（- In n） = 1 - - + hi 7. a當(dāng)a = l時(shí)，由于/（lna） = O ,故x）只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)aw（Le）時(shí)，由于1一工+ 11。>0，即/（一111。）>0，故"X）沒有零點(diǎn)； a當(dāng)。£（0,1）時(shí)+ liin <0 ,即 f(-na)<0.又 /(一2)=優(yōu)-4 + (a - 2)已7 + 2 > -2e-2 + 2 > 0，故/(工)在(-0,-11)有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)。滿足。,則 a/(/io) = e"°