平面幾何的26個定理

1、高一數(shù)學競賽班二試講義第1講 平面幾何中的26個定理班級 姓名 一、知識點金1. 梅涅勞斯定理：若直線不經過的頂點， 并且與的三邊或它們的延長線 分別交于，則 注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立 （用同一法證明）2. 塞瓦定理： 設分別是的三邊或它們的延長線上的點，若三線共點，則注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四邊形中，有，并且當且僅當四邊形內接于圓時，等式成立。EDCBA注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：若從外接圓上一點作的垂線， 垂足分別為，則三點共線。 西姆松定理的逆定理：從一點作的垂線，垂足分別為。若三點共線，則點在的外接圓上。5 蝴蝶定理：圓O中的弦PQ的中點M

2、，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。證明：過圓心O作AD與BC的垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM，SM，MT。 AMDCMB AM/CM=AD/BC AS=1/2AD，BT=1/2BC AM/CM=AS/CT 又A=C AMSCMT MSX=MTY OMX=OSX=90 OMX+OSX=180 O，S，X，M四點共圓 同理，O，T，Y，M四點共圓 MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY ， OMPQ XM=YM 注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理也成立6 坎迪定理：設是已知圓的弦，是上一點，弦過點，連結，分別交于，則。7 斯特瓦爾

3、特定理：設為的邊上任一點，則有 。 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8張角定理： 設順次分別是平面內一點所引三條射線上的點，線段 對點的張角分別為，且，則三點共線的充要條件是： 9九點圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點，以及垂心與頂點的三條連接線段的中點， 共九點共圓。此圓稱為三角形的九點圓，或稱歐拉圓。的九點圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點，九點圓的半徑是的外接圓半徑的。證明：的九點圓與的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內位似中心。位似比均為。10歐拉線：的垂心，重心，外心三點共線。此線稱為歐拉線，且有關系：11歐拉公式：設三角形的外接圓與內切圓的半徑分別為和

4、，則這兩圓的圓心距。由此可知，。 證明：設外心為，內心為，連結，延長交外接圓于兩點，令，交外接圓于，則12笛沙格定理;在和中，若相交于一點，則與，與，與的交點共線。證明：和梅尼線，；和梅尼線，；和梅尼線，三式相乘，得。得證13牛頓（Newton）定理1： 圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。 證法1：設四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內切圓分別切于點E,F,G,H. 首先證明,直線AC,EG,FH交于一點.設EG,FH分別交AC于點I,I. 顯然 AHI=BFI ，因此易知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故

5、AI/CI=AH/CF. 同樣可證:AI/CI=AE/CG 又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI/CI. 從而I,I重合.即直線AC,EG,FH交于一點. 同理可證:直線BD,EG,FH交于一點. 因此 直線AC,BD,EG,FH交于一點。證法2：外四邊形為ABCD，對應內切四邊形為EFGH。連接EG，F(xiàn)H交于P。下面證明BD過P即可。 過D座EG的平行線交BA與S，過D做FH的平行線交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四點共圓，且為等腰梯形。設此圓為圓M，圓M與圓O，內切圓交于EG，所以其根軸為EG，同理對圓N，DHFT，

6、與圓O交于HF。HF為此兩圓的根軸。由根軸定理，只需證明BD為圓M與圓N的根軸即可證明BD，EG，HF共于點P。 D在圓M和圓N上，所以其為根軸一點。由于SEGD，和DHFT為等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切線長定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B為圓M與圓N的根軸上一點，則BE*BS=BF*BT，其為割線長。明顯等式成立。所以BD為圓M與圓N的根軸，則BD，EG，HF共于點P。同理AC，EG，HF共于點P。命題得證。14牛頓（Newton）定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。 證明：設四邊形ABCD是I的外切四邊形，

7、E和F分別是它的對角線AC和BD的中點，連接EI只需證它過點F，即只需證BEI與DEI面積相等。 顯然，SBEI=SBIC+SCEI-SBCE，而SDEI=SADE+SAIE-SAID。 注意兩個式子，由ABCD外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S四邊形ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S四邊形ABCD 即SBIC+SAID=SADE+SBCE，移項得SBIC-SBCE=SADE-SAID，由E是AC中點，SCEI=SAEI，故SBIC+SCEI-SBCE=SADE+SAIE-SAID，即SBEI=DEI，而F是BD中點，由共

8、邊比例定理EI過點F即EF過點I，故結論成立。 15牛頓（Newton）定理3：完全四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。 證明：四邊形ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD中點M,AC中點L,EF中點N 取BE中點P,BC中點R,PNCE=Q R,L,Q共線，QL/LR=EA/AB；M,R,P共線，RM/MP=CD/DE； N,P,Q共線，PN/NQ=BF/FC。 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 及梅尼線LMN，由梅涅勞斯定理的逆

9、定理知L，M，N三點共線。16布利安雙定理：設一六角形外切于一條圓錐曲線，那么它的三雙對頂點的連線共點。在此，提供用初等幾何證明外切于圓的情形。記六邊形為ABCDEF外切于圓O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切點分別是G,H,I,J,K,L.設AB,DC交于X,AF,DE交于Y.則四邊形AXDY外切于圓O,切點分別是G,I,J,L。圓外切四邊形對邊切點連線與主對角線交于一點，有AD,GJ,LI共點(記為點P)。同理，BE,GJ,KH共點(記為點r),CF,LI,KH共點（記為點q則命題可轉為證明DP,BR,FQ共點。17拿破侖定理：若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構成一

10、個正三角形。證明：設等邊ABD的外接圓和等邊ACF的外接圓相交于O；連AO、CO、BO。 ADB=AFC=60； A、D、B、O四點共圓；A、F、C、O四點共圓； AOB=AOC=120； BOC=120； BCE是等邊三角形 BEC=60； B、E、C、O四點共圓； 這3個等邊三角形的外接圓共點。設等邊ABD的外接圓N，等邊ACF的外接圓M，等邊BCE的外接圓P 相交于O；連AO、CO、BO。 A、D、B、O四點共圓； A、F、C、O四點共圓，B、E、C、O四點共圓，AFC=ADB=BEC=60； AOB=AOC=BOC=120； NP、MP、MN是連心線； BO、CO、AO是公共弦； BO

11、NP于X； COMP于Y； AONM于Z。 X、P、Y、O四點共圓； Y、M、Z、O四點共圓； Z、N、X、O四點共圓； N=M=P=60； 即MNP是等邊三角形。 18帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長線交于點G，邊BC、EF的延長線交于點H，邊CD、FA的延長線交于點K。則H、G、K三點共線。證明：延長AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB于M、N、L三點，構成LMN。直線BC截LM、MN、NL于B、C、H三點，則直線DE截LM、MN、NL于G、D、E三點，則|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1直線AF截LM、MN

12、、NL于A、K、F三點，則連BE，則LALB=LFLE，。同理，。將相乘，得。點H、G、K在LMN的邊LN、LM、MN的延長線上，H、G、K三點共線。19蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。注：在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。 （1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； （2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； （3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切

13、線； 20莫利定理（Morleys theorem），也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。 證法一： 在ABR中，由正弦定理，得AR=csin/sin(+)。 不失一般性，ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3，所以AR= （sin3*sin）/sin(60-)=sin*sin(3-4sin2 )/1/2(3cos-sin)= 2sinsin（3cos+sin）=4sinsinsin（60+）. 同理,AQ=4sinsinsin(60+) 在ARQ中,由余弦定理

14、,得RQ2 =16sin2 sin2 sin2 (60+)+sin2 (60+)-2sin(60+)*sin（60+）cos=16sin2 sin2 sin2 . 這是一個關于，的對稱式，同理可得PQ2 ，PR2 有相同的對稱性，故PQ=RQ=PR,所以PQR是正三角形。 證法二： AE：AC=sin：sin（+）， AF：AB=sin：sin（+） ， AB：AC=sin3：sin3， AE:AF=（ACsin（+）/sin）：（ABsin（+）/sin）， 而sin3：sin3=（sinsin(60+)sin(60-) ）：（sin sin(60+) sin(60-) ）， AE：AF=s

15、in(60+)：sin(60+)， 在AEF中，AEF=60+， 同理CED=60+， DEF=60， DEF為正三角形。21斯坦納萊默斯定理：如圖，已知ABC中，兩內角的平分線BD=CE。求證：AB=AC。 證法 作BDF=BCE；并使DF=BC BD=EC， BDFECB,BF=BE,BEC=DBF. 設ABD=DBC=,ACE=ECB=，F(xiàn)BC=BEC+=180-2-+=180-(+); CDF=FDB+CDB=+180-2-=180-(+); FBC=CDF， 2+2180, +90 過C點作FB的垂線和過F點作CD的垂線必都在FB和CD的延長線上. 設垂足分別為G、H;HDF=CBG

16、;BC=DF,RtCGBRtFHD，CG=FH,BC=FD 連接CF，CF=FC,FH=CG，RtCGFFHC（HL），F(xiàn)G=CH, 又BG=DH,BF=CD, 又BF=BE,CD=BE，BE=CD,BC=CB,EC=DB,BECCDB，ABC=ACB AB=AC. 證法 設二角的一半分別為、 ,sin(2+)/ sin2= BC/CE = BC/BD = sin(+2)/ sin2, 2sincossin(+2) - 2sincossin(2+) =0 sinsin2(+)+sin 2- sinsin2（+）+ sin2=0 sin2(+)sin-sin+2 sinsincos- cos=0

17、 sin (-)/2sin2(+) cos(+)/2 + 2 sinsinsin (+)/2=0 ，sin(-)/2=0 =,AB=AC. 證法 用張角定理： 2cos/BE=1/BC+1/AB ,2cos/CD=1/BC+1/AC ,若 可推出ABAC矛盾！ 若 可推出AB AC矛盾！所以AB=AC 22費爾馬點：費爾馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。 對于一個頂角不超過120度的三角形，費爾馬點是對各邊的張角都是120度的點。 對于一個頂角超過120度的三角形，費爾馬點就是最大的內角的頂點。 證明：在平面三角形中: (1).三內角皆小于120的三角形，分別以 AB,BC,CA，

18、為邊，向三角形外側做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點P,則點P就是所求的費馬點. (2).若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求. (3)當ABC為等邊三角形時,此時外心與費馬點重合 （1） 等邊三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內切圓和外切圓的中心。BPCCPAPBA。 （2） 當BC=BA但CAAB時，BP為三角形CA上的高和中線、三角上的角分線。 證明 (1)費馬點對邊的張角為120度。 CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=A

19、BA1, CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B 同理可得CBP=CA1P 由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度 同理,APB=120度，APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 將BPC以點B為旋轉中心旋轉60度與BDA1重合，連結PD，則PDB為等邊三角形，所以BPD=60度 又BPA=120度，因此A、P、D三點在同一直線上， 又CPB=A1DB=120度，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在ABC內任意取一點M（不與點P重合），

20、連結AM、BM、CM，將BMC以點B為旋轉中心旋轉60度與BGA1重合，連結AM、GM、A1G(同上)，則AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費馬點到三個頂點A、B、C的距離最短。 平面四邊形費馬點 平面四邊形中費馬點證明相對于三角型中較為簡易，也較容易研究。 （1）在凸四邊形ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P。 （2）在凹四邊形ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）。23等差冪線定理：已知A、B亮點，則滿足AP-BP=k(k為常數(shù))的點P軌跡是垂直于AB的一條直線。24婆羅摩笈多定理若圓內接四邊形ABCD的對角線相互垂直，則垂直于一邊CD且過對角線交點E的直線EF將AB平分

21、對邊。 25萊莫恩（Lemoine）定理：過ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB所在直線交于P、Q、R，則P、Q、R三點共線。直線PQR稱為ABC的萊莫恩線。 證明：由弦切角定理可以得到： sinACR=sinABC ，sinBCR=sinBAC sinBAP=sinBCA， sinCAP=sinABC sinCBQ=sinBAC sinABQ=sinBCA 所以，我們可以得到：(sinACR/sinBCR)*(sinBAP/sinCAP)*(sinCBQ/sinABQ)=1，這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到ABC被直線PQR所截，即P、Q、R共線。26清宮定理：設P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上 證明：設P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F 這時，P、Q兩點和D、F、E、三點有如下關系： 將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面，則從P點出發(fā)的光線照到D點經過BC反射以后通過Q點，