指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)基本知識(shí)點(diǎn)

1、基本初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一：指數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)： (1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，(2)3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： ；注意：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等與0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1) (2) (3)知識(shí)點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?

2、2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)： 函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針方向看圖象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針方向看圖象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的定義(1)若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)， 叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2.幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，.3.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中).4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么加法：減法： 數(shù)乘： 換底公式：知識(shí)點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1

3、.對(duì)數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.2.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)： 函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針方向看圖象，逐漸減小.知識(shí)點(diǎn)六：冪函數(shù)1.冪函數(shù)概念 形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是

4、非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限. (2)過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn). (3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸.(4)奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)(其中 互質(zhì)，和)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù).(5)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方.補(bǔ)充：函數(shù)1. 映射定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種

5、對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)集合A中任一元素x，在集合B中有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從集合A到集合B的映射。這時(shí)，稱y是x在映射f的作用下的象記作f（x）。x稱作y的原象。2.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時(shí)稱數(shù)集A為定義域，象集C=f(x)|xA為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素3.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為分母不為0；偶次根式中被開方數(shù)不小于0；實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；注意同一表達(dá)式中的兩變量的取值范圍是否相互影響 4.函數(shù)值域： 5、函數(shù)圖像變換知識(shí)平移變換： 形如：y=f(x+a)：把函數(shù)y=f(

6、x)的圖象沿軸方向向左或向右平移a個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。 形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿軸方向向上或向下平移a個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象 .對(duì)稱變換     y=f(x) y=f(x),關(guān)于軸對(duì)稱 y=f(x) y=f(x) ,關(guān)于軸對(duì)稱 .翻折變換 y=f(x)y=f|x|,  (左折變換) 把軸右邊的圖象保留，然后將軸右邊部分關(guān)于軸對(duì)稱 y=f(x)y=|f(x)|（上折變換） 把軸上方的圖象保留，軸下方的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像（逆時(shí)針方向）越靠近y軸。 6函數(shù)的表示方法列

7、表法：通過列出自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的表來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法圖像法：如果圖形是函數(shù)的圖像，則圖像上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的關(guān)系式，反之滿足函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)都在圖像上.這種由圖形表示函數(shù)的方法叫做圖像法.如果在函數(shù)中，是用代數(shù)式來(lái)表達(dá)的，這種方法叫做解析法7分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。8函數(shù)單調(diào)性及證明方法: 增函數(shù)：一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)于定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2 ,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)< f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。 此區(qū)間就

8、叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間。減函數(shù)：一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)于定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2 ,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)> f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。此區(qū)間叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間。證明方法第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的值，且x1<x2； 第二步：作差f(x2)-f(x1)，并對(duì)“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”； 第三步：判斷差式f(x2)-f(x1)的正負(fù)號(hào)，從而證得其增減性 9.函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-xD

9、，且f(-x)=-f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱。 奇函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱，否則不能成為奇函數(shù)。 若F(X)為奇函數(shù)，且X在零處有定義，則F(0)=0.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（2）偶函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-xD，且f(-x)= f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)。如果知道圖像,偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸（直線x=0）對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（3）奇函數(shù)偶函數(shù)運(yùn)算 兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù). 兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù). 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù). 兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得

10、的積為偶函數(shù). 兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù). 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù). 奇函數(shù)不一定f(0)=0，也不一定有f(0)=0推出奇函數(shù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）必滿足f（0）=0；（4）奇偶函數(shù)圖象。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。 偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸成軸對(duì)稱。 奇偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！ 奇函數(shù)的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)等于0，偶函數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)等于0。 Y=0即是X軸，既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)！10.一次函數(shù)二次函數(shù)（1）一次函數(shù)函數(shù)叫做一次函數(shù)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽。k叫做直線的斜率，b叫做該直線在y軸上的截距。一次函數(shù)又叫線性函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)(即 y=kx)，一次函數(shù)圖像變

11、為正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限。 當(dāng) k>0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限。 當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限。 當(dāng) k<0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限。解析式類型一般式：ax+by+c=0 斜截式：y=kx+b（k為直線斜率，b為直線縱截距；其中正比例函數(shù)b=0） 點(diǎn)斜式：y-y1=k(x-x1) （k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個(gè)點(diǎn)） 兩點(diǎn)式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2

12、-x1) （已知直線上（x1,y1）與（x2,y2）兩點(diǎn)） 截距式：x/a + y/b=1 （a、b分別為直線在x、y軸上的截距）當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)； 當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)。（2）二次函數(shù)函數(shù) 叫做二次函數(shù)，定義域?yàn)镽a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = -b/2a。定點(diǎn)坐標(biāo)：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)： = b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 = b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。= b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。11待定系數(shù)法定義：一般地，在求一個(gè)函數(shù)時(shí)，如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式，可先把所求函數(shù)寫成為一般的形式，其中系數(shù)為待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)，這種通過求待定系數(shù)來(lái)確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。一般過程：首先確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； 其次根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；. 最后解方程或消去待定系數(shù)。12、函數(shù)與方程函數(shù)的思想：函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化