橢圓和雙曲線綜合

1、橢圓和雙曲線綜合練習卷1. 設橢圓，雙曲線，（其中）的離心率分別為 ，則（ ）A B C D與1大小不確定【答案】，所以，故選B.2. 已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】C 設在漸近線上，直線方程為，由，得，即，由，得，因為在雙曲線上，所以，化簡得，故選C3. 已知，若圓與雙曲線有公共點，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A 由圓及雙曲線的對稱性可知，當，即時，圓與雙曲線有公共點，則離心率，故選A4. 為雙曲線的漸近線位于第一象限上的一點，若點到該雙曲線左焦點的距離為，則點到其右焦

2、點的距離為（ ）A B C D【答案】A 由題意，知，漸近線方程為，所以不妨令，則有，解得，所以，所以點到其右焦點的距離為，故選A5. 設分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內交于點，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值為（ ）A. B. C. D.【答案】B 由橢圓與雙曲線的定理，可知，所以，因為，所以，即，即，因為，所以，故選B6. 若圓與雙曲線的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（ ）A B C2 D【答案】A 由題意得，選A.7. 已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，若以為直徑的圓內切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】C 直線方程為，即，由題意

3、，變形為，故選C8. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支相交于兩點，且點的橫坐標為2，則的周長為（ ）A B C D【答案】D易知，所以軸，又，所以周長為9. 若點F1、F2分別為橢圓C:的左、右焦點,點P為橢圓C上的動點,則PF1F2的重心G的軌跡方程為（）A B C D【答案】C10. 過雙曲線的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|4，則滿足條件的直線l有（ ）A4條 B3條 C2條 D無數條【答案】B 雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，過拋物線的焦點一定有兩條直線使得交點之間的距離等于4，當直線與實軸垂直時，有，直線AB的長度是4，綜上可知有三條直線滿

4、足|AB|=4，故選B11. 在區(qū)間和內分別取一個數，記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為（ ）A B C D【答案】B 因為方程表示離心率小于的雙曲線，.它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為：,故選B.12. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的離心率為，若雙曲線上一點使，則的值為（ ）A B C D【答案】B 由雙曲線方程得，由雙曲線定義得，因為，所以由正弦定理得，可解得，由知，根據余弦定理可知，故選B.13. 已知點，是橢圓上的動點，且，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C 設，則，由題意有，所以所以，當時，有最大值，當時，有最小值，

5、故選C.14. 橢圓的左、右頂點分別為,點在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（）ABCD【答案】B 15. 已知分別是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點,若是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A B C D答案：C16. 過雙曲線的右支上一點，分別向圓和圓作切線，切點分別為，則的最小值為（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】如圖所示，根據切線，可有，所以最小值為.17. 過點作直線與雙曲線交于A，B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線（）A存在一條,且方程為B存在無數條 C存在兩條,方程為D不存在答案：D18. 已知雙曲線的右焦

6、點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是_【答案】2，)19. 已知雙曲線：的左、右焦點分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點，且，則雙曲線的離心率為 【答案】【解析】設，則，所以20. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，是圓與位于軸上方的兩個交點，且，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由雙曲線定義得，因為，所以，再利用余弦定理得，化簡得21. 已知雙曲線的左右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，點的坐標為，則的最小值為_.【答案】【解析】由雙曲線定義可知，故，可知當三點共線時，最小，且最小值為.22. 如圖，已知雙曲線上有一點,它關于原點的

7、對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足,設,且,則該雙曲線離心率的取值范圍為 【答案】【解析】設是左焦點，由對稱性得，設，則，又，因為，又，則又，再由，得，即23. 以下四個關于圓錐曲線的命題中：設A、B為兩個定點，k為正常數，則動點P的軌跡為橢圓；雙曲線與橢圓有相同的焦點；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；和定點及定直線的距離之比為的點的軌跡方程為其中真命題的序號為 _【答案】【解析】中需要對的取值范圍加以限定；中有公式可知兩個曲線的焦點分別是；中方程的兩個根分別是和；中直線的方程應該是；故答案為.24. 已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為.設線段的中點為，若，則該橢圓離心率的取值

8、范圍為 【答案】25. 過點作一直線與橢圓相交于AB兩點，若點恰好為弦的中點，則所在直線的方程為 【答案】【解析】設，分別代入橢圓的方程中，可得：，由-可得，因為點是弦的中點，=，又因為直線過點（1,1），所以直線的方程為，即.26. 設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.（1）求橢圓C的焦距；（2）如果2，求橢圓C的方程解：(1)設焦距為2c，則F1(c,0)F2(c,0)kltan60 l的方程為y(xc) 即：xyc0f1到直線l的距離為2 c2c2 橢圓C的焦距為4(2)設A(x1，y1

9、)B(x2，y)由題可知y10，y20直線l的方程為y(x2)得(3a2b2)y24b2y3b2(a24)0由韋達定理可得2y12y2，代入得得又a2b24 由解得a29b25 橢圓C的方程為127. 已知雙曲線的中心在坐標原點,焦點在軸上,離心率,虛軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與曲線相交于兩點（均異于左、右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,求證：直線過定點,并求出定點的坐標.【答案】（1）（2）試題解析：（1）設雙曲線的標準方程為,由已知得又,解得,所以雙曲線的標準方程為.（2） 設,聯(lián)立,得,有,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,即,解得或.當時,的方程為,直線過定點,

10、與已知矛盾；當時,的方程為,直線過定點,經檢驗符合已知條件,所以直線過定點,定點坐標為.28. 已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關于直線ymx對稱（1）求實數m的取值范圍；（2）求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解(1)由題意知m0，可設直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220，設M為AB的中點，則M，代入直線方程ymx 解得b. 由得m. (2)令t，則|AB|，且O到直線AB的距離d.設AOB的面積為S(t)，所以 S(t)|AB|d ，當且僅當t2時，等號成立故AOB面積的最大值為.29. 已知橢圓的左焦點為,離心

11、率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】(I) 由已知有，又由，可得，設直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一象限，可得的坐標為，由，解得，所以橢圓方程為(III)設點的坐標為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當時，有，因此，于是，得當時，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是30. 已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過點，的直線方程，再計算原點到該直線的距離，進而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知