空間坐標(biāo)系與空間坐標(biāo)系在立體幾何中的應(yīng)用有答案

1、一空間直角坐標(biāo)系如圖1，為了確定空間點(diǎn)的位置，我們建立空間直角坐標(biāo)系：以正方體為載體，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA，OC，OD的方向?yàn)檎较?，以線段OA，OC，OD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時(shí)我們說建立了一個(gè) 空間直角坐標(biāo)系 ，其中點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐標(biāo)系為 右手直角坐標(biāo)系 ，即 右手拇指 指向x軸的正方向， 食指 指向y軸的正方向， 中指指向z軸的正方向二空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做

2、點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 M(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)M的 橫坐標(biāo) ，y叫做點(diǎn)M的 縱坐標(biāo) ，z叫做點(diǎn)M的 豎坐標(biāo) 例1在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)M(6，2,4) 例2長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|a，|BC|b，|CC1|c，將此長(zhǎng)方體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置(如圖3)，分別寫出長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)變式1：棱長(zhǎng)為2的正方體，將此正方體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置，分別寫出幾何體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。2.底面為邊長(zhǎng)為4的菱形，高為5的棱柱，將此幾何體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置分別寫出幾何體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。3. 在棱長(zhǎng)均為2a的正四棱錐PABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

3、標(biāo)系，(1)寫出正四棱錐PABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)寫出棱PB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，PABCD為正四棱錐，且棱長(zhǎng)均為2a.四邊形ABCD為正方形，且PO平面ABCD.OAa.POa.以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（1）正四棱錐PABCD中各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)(2)M為棱PB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得M(，)，即M(0，a，a) 例3在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy

4、平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，1，4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P1(2，1，4)(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P2(2,1，4)(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)變式：1.寫出點(diǎn)P(6，2，7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐標(biāo)以及點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)P在xOy平面、

5、yOz平面、xOz平面上的投影分別為點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)P關(guān)于xOy平面、yOz平面、xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，C，由PA平面xOy，PB平面yOz，PC平面xOz及坐標(biāo)平面的特征知，點(diǎn)A(6，2,0)，點(diǎn)B(0，2，7)，點(diǎn)C(6,0，7)；根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特征知，點(diǎn)A(6，2,7)，B(6，2，7)，C(6,2，7)2.在棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫出正三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)正解取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，連線OA，OO1，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)，OA，OB，OO1兩兩互相垂直，且|OA|2，以O(shè)A，OB，O

6、O1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則正三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，1,2)三空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1. 直線的方向向量與平面的法向量(1) 直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n垂直于平面，記作n.此時(shí)把向量n叫做平面的法向量2. 線面關(guān)系的判定直線l1的方向向量為e1(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為e2(a2，b2，c2)，平面的法向量為n1(x1，y1

7、，z1)，平面的法向量為n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20(3) 若l1，則e1n1e1n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，則e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，則n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，則n1n2n1n20x1x2y1y2z1z203. 利用空間向量求空間角(1) 兩條異面直線所成的角范圍：兩條異面直線所成的角的取值范圍是.向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos

8、|cos|.(2) 直線與平面所成的角范圍：直線和平面所成的角的取值范圍是.向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin|cos|(3) 二面角二面角的取值范圍是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分別是二面角-l-的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖)() 設(shè)n1、n2分別是二面角-l-的兩個(gè)面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖)題型1空間向量的基本運(yùn)算 例1已知空間三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設(shè)a，b.(1) 求a和

9、b的夾角；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos，a和b的夾角為arccos.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得k或2.題型2空間中的平行與垂直例2如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.證明：(1) 建立如圖所示的空間

10、直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，0)，M. ，. 且NE與AM不共線 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知， D(，0，0)，F(xiàn)(，1)， (0，1)， 0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.題型3空間的角的計(jì)算例3(2013蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，圓錐的高PO4，底面半徑OB2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EFDE.(1) 求異面直線EF與BD所成角的余弦值；(2) 求二面角F-OD-E的正弦值解：(1) 以O(shè)為原點(diǎn)，底面上過O點(diǎn)且垂直于OB的直線為x軸，OB所

11、在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)設(shè)F(x0，y0，0)(x00，y00)，且xy4，則(x0，y01，2)，(0，1，0)， EFDE，即，則y010，故y01. F(，1，0)，(，0，2)，(0，2，2)設(shè)異面直線EF與BD所成角為，則cos.(2) 設(shè)平面ODF的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令x11，得y1，平面ODF的一個(gè)法向量為n1(1，0)設(shè)平面DEF的法向量為n2(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一個(gè)法向量為n2.設(shè)二面角F-OD-E的平面角為，則|cos|. sin.

12、（翻折問題）例4. (2013廣東韶關(guān)第二次調(diào)研)如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如圖乙)，設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)(1) 求證： DC平面ABC； (2) 求BF與平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值解：(1) 平面ABD平面BDC，又 ABBD， AB平面BDC，故ABDC，又 C90， DCBC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC平面ABC.(2) 如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖示， 設(shè)CDa，則BDAB2a，BC

13、a，AD2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(xiàn)(a，0，a)， ，(a，0，a)設(shè)BF與平面ABC所成的角為，由(1)知DC平面ABC， cos， sin.(3) 由(2)知 FE平面ABC, 又 BE平面ABC，AE平面ABC， FEBE，F(xiàn)EAE， AEB為二面角BEFA的平面角 .在AEB中，AEBEACa， cosAEB，即所求二面角BEFA的余弦為.課后鞏固練習(xí)：1.(2013江蘇卷)如圖所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1) 求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面

14、ABA1所成二面角的正弦值解：(1) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2) 設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0，1，0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|co

15、s|，得sin.因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.2. (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBAB.(1) 證明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBAB得ACBC. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，

16、(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則可取m(2，1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值為.3. (2013重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB.(1) 求PA的長(zhǎng)；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如圖，連結(jié)BD交AC于O，因?yàn)锽CCD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角

17、坐標(biāo)系Oxyz，則OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)因?yàn)镻A底面ABCD，可設(shè)P(0，3，z)，由F為PC邊中點(diǎn)，得F，又，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2) 由(1)知(，3，0)，(，3，0)，(0，2，)設(shè)平面FAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2(x2，y2，z2)由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)從而向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2.故二面角B-AF-D的正弦值

18、為.4. (2013連云港調(diào)研)在三棱錐SABC中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45角(1) 若D為側(cè)棱SB上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 設(shè)(01)，則(1)(3(1)，0，3)，所以(3(1)，3)因?yàn)?3，0)，CDAB，所以9(1)30，解得.故時(shí)， CDAB.(2) 平面ACB的法向量為n1(0，

19、0，1)，設(shè)平面SBC的法向量n2(x，y，z)，則n20，n20，則解得取n2(1，1)，所以cosn1，n2.又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為.5. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(diǎn)(1) 求二面角D1-AE-C的大小；(2) 求證：直線BF平面AD1E.(1) 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，(0，0，2)(1，1，1)(1，1，1)，(1，1，1)

20、(1，0，0)(0，1，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)設(shè)平面AED1、平面AEC的法向量分別為m(a，b，1)，n(c，d，1)由由m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，n0，二面角D1AEC的大小為90. (2) 證明：取DD1的中點(diǎn)G，連結(jié)GB、GF.E、F分別是棱BB1、AD的中點(diǎn)，GFAD1，BED1G且BED1G，四邊形BED1G為平行四邊形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1E，直線BF平面AD1E.(或者：建立空間直角坐標(biāo)系，用

21、空間向量來證明直線BF平面AD1E，亦可)6. (2013蘇州調(diào)研)三棱柱ABCA1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中點(diǎn)(1) 求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0). 設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為n(x，y，z) nx2y3z0，n4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成

22、角為， (1，2，3)， sin|cosn|.(2) 設(shè)平面A1B1D的一個(gè)法向量為m(a，b，c)(2，0，0)， ma2b3c0，m2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)設(shè)二面角B1A1DC1的大小為， |cos|cos|m，n|，則sin. 二面角B1A1DC1的正弦值為. 7. (2013南通二模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1與BC所成的角的大??；(2) 在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為.解：(1) 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C(2，0，0)，B(0，

23、2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(0，2，2)，(2，2，0)cos，故AA1與棱BC所成的角是.(2) P為棱B1C1中點(diǎn)，設(shè)(2，2，0)，則P(2，42，2)設(shè)平面PAB的法向量為n1(x，y，z)，(2，42，2)，則故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，則cosn1，n2，解得，即P為棱B1C1中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P(1，3，2)近六年高考題1. 【2010高考北京理第16題】(14分)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面

24、角A-BE-D的大小【答案】設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG， 因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE.（II）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C（0，0，0），A（，0），B（0，0）.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一個(gè)法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則，. 即所以且 令則. 所以. 從而。 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的大小為. 2【2011高考北

25、京理第16題】（共14分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).3. 【2012高考北京理第16題】（本小題共14分） 如圖1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I)求證：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由，與平面所成角的大小。4. 【2013高考北京理第17題】(本小題共14分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上