復(fù)數(shù)與復(fù)平面

1、(x, y)稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：|z| = ；?V；向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為:第一章復(fù)數(shù)與復(fù)平面第一節(jié)復(fù)數(shù)及其幾何表示1、復(fù)數(shù)域每個復(fù)數(shù)Z具有x+iy的形狀，其中x和yWR, i=C是虛數(shù)單位；x和y分別 稱為z的實(shí)部和虛部，分別記作x=Rez, y = Imz。復(fù)數(shù)z =xi加和Z2 =x2椅2相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。如果Imz =0 ,則z可以看成一個實(shí)數(shù)；如果Imz#0 ,那么z稱為一個虛數(shù)； 如果Imz#0,而Rez=0,則稱z為一個純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：（ai ibi）二（a2 ib2）= （ai 二 a2） i（bi 二 b2）(a1ib1)

2、(a2ib2) =(a1a2 - b1b2) i(a1b2a2b1)(a1 ib1)a1a2b1b2, a2bl - a1b2)= n n i Z Z (a2 ib2)a2 b2a2b2復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域，記為C。2、復(fù)平面：C也可以看成平面R2,我們稱為復(fù)平面。作映射：Ct R2：z=x+iyT （x, y）,則在復(fù)數(shù)集與平面R2之建立了一個1-1 對應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，W平面復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，z=x+iy。向量的長度Argz =arctan +2R ( k 匚 Z )。 x復(fù)數(shù)的共腕定義為：z=x-iy；復(fù)數(shù)的

3、二角表小定義為：z =|z | (cosArgz+i sin Argz)；復(fù)數(shù)加法的幾何表示：設(shè)Zl、Z2是兩個復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：(1)、|Zi+z21mz1| + |Z2| ；(2)、| Zi+ Z2閆|Z1 | | Z2| ；(3)、|ziZ2|0Zi|+|Z2| ;(4)、| ZiZ2閆|zi | | Z2| ；(5)、|Rez閆 z|,|Imz 國 z|； (6)、|z|2 = zZ；例1試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：22a(x +y)+bx + cy + d=0(a#0)其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：方程為

4、azZ+Pz+Bz +d = 0 ,其中P =1 (b + ic)。2例2、設(shè)zi、Z2是兩個復(fù)數(shù)，證明Zi Z2 = Zi Z2ZZ2 =Zi,2乙三乙利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)Zi、Z2 是兩個非零復(fù)數(shù)，則有zi =| z | (cos Argzi isin Argzi) z2 =| z21 (cos Argz2 i sin Argz2)則有Z1Z2 =| Zi | Z2 |cos( ArgZi Argz?)isin(Argzi Argz 2)即 Z1Z2曰Zi II Z2 | , Arg (g) =ArgZi + Argz 2 ,其中后一個式子應(yīng)理解為集

5、合相等。同理，對除法，有Zi /Z2 =| Zi | /1 Z2 |cos( ArgZi - Argz2)isin(Argzi - Argz2)即|Zi / Z2曰乙|/|Z2 | , Arg (42) = ArgZi Argz 2 ,其后一個式子也應(yīng)理解為集合相等。例3、設(shè)乙、Z2是兩個復(fù)數(shù)，求證：I Zi - Z2 I2 =| Zi I2I Z2 I2 2Re(ZiZ2),例4、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過不共線三點(diǎn)a,b,c的圓的表小式。zn =I z In (cos nArgz i sin nArgz)令z* =3,則 zz =I z I” cos( -nArgz) i s

6、in(-nArgz) 進(jìn)一步，有7 iizn = n I z Icos( Argz) i sin( Argz)nn共有n-個值。例5、求V(i +i)的所有值。解：由于 1+i = V2（cosE+isin£）,所以有 444 （1 i） =：8 2cosl（- 2k二）isin1（ 2k二）4 44 44 （1 i） =8 2cos（二） isin（ ）16 216 2其中，k =0,123。3、復(fù)球面與無窮大：在點(diǎn)坐標(biāo)是（x,y,u）的三維空間中，把xOy面看作就是z=x + iy面。考慮球面S :面C到S-N之間的一個1-1對應(yīng):z = x iy ="1 -u'

7、;_2, z z , z z , |z| -1x' = 12一，y-2一，u'=14。|z|2 1|z|2 1|z|2 1我們稱上面的映射為球極射影。對應(yīng)于球極射影為N ,我們引入一個新的非正 常復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)0%稱C=g為擴(kuò)充復(fù)平面，記為Cm。關(guān)于0%其實(shí)部、虛部、輻角無意義，模等于+吧；基本運(yùn)算為（a為有限復(fù)數(shù)）：a =°° ±a =°° ; a，M=g，a=g (a#0);(a=0); =0(a°°) o 0a真正好的朋友，從來不需要這些表面功夫。走在這漫漫俗塵，形如微塵的我們，每天忙碌的像只蟋蟻，哪有時

8、間去整那些虛假的表面文章。那些沉淀在歲月里的真情實(shí)意，哪一個不是無事各自忙，有事時，卻又從不問回報幾何的真心相助？至于那些平日里看上去可以一起打鬧，一起吃喝，一起廝混，看似好成一片的人，或許，只是你在多少次的四目相對之時，動了真心，存了真義，是你默默認(rèn)定對方可稱朋友，有困難的 時候是你愿意伸以援手，但未必對方一樣。多少看似熱情的人，內(nèi)心是薄情的。而多少看似淡漠的人，內(nèi)心實(shí)則一片溫?zé)?。那些表面熱誠的人，總是相安無事各自好，一旦你有事需要援助，別說大事，就是小事需代勞，你都會發(fā) 現(xiàn)原來不過情比紙薄，對方遠(yuǎn)比你自己想的要現(xiàn)實(shí)的多。有些人，自從與你接近，內(nèi)心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有

9、些可用之處。正所謂無事獻(xiàn)殷勤，非奸即盜。在這個功利心彌漫的世態(tài)下，沒有哪一份意外的熱情不無所 圖。不僅是職場如此，男人如此，就連女人也不能免俗。接孩子的時候，被困高層電梯下不來，一個電話打來，希望能幫忙照看一下放學(xué)的孩子。實(shí)在的人總是把別人毫不見外的信任，當(dāng)作是一種榮幸，于是想都不用想就能一口答應(yīng)?？僧?dāng)你 有事需要對方只是代筆簽個字這樣的舉手之勞時，對方都能各種不情愿各種推脫，至此你終是發(fā)現(xiàn)，原來人與人之間真不是一杯換一盞的事兒。關(guān)鍵時刻，還是得找那些看似平時不聯(lián)系，但 一開口能力范圍之內(nèi)就愿意為你想辦法的人。多少人天真的以為，認(rèn)識的人越多，人脈就越廣，自己就越厲害，其實(shí)，那些所謂的人脈，不過

10、廉價。倘若你沒有同等的利用價值，誰會與你建立起所謂的交際？最是談錢傷感情，也最 是感情不值錢。別結(jié)識了比自己優(yōu)秀比自己有能力的人，就覺得有了依靠有了光環(huán)，自己不足夠優(yōu)秀，結(jié)識誰都沒有用。在你困難需求的時候，你開口求助，能夠推脫敷衍那算給面子，對你 閉門不見佯裝不熟也是情理之中。日久見人心，患難見真情。平時是平時，別把平時當(dāng)真情。這世上多少人變臉如翻書，有求于你一個樣，各自安好一個樣，最是有求于他嘴臉陋，讓你瞬間就明白，何謂人情涼薄。隨著年齡的增長，人心的不再純澈，人與人之間的交往就不再那么的純粹而真心了。也正是因?yàn)槿绱耍鸥湎切┠刈o(hù)在你生活中的朋友。別看平時忙的少有見面，少有聊天，

11、就連微信，都少有私信。但有事兒的時候，只一聲招呼，誰能出力都會挺身而出，義不容辭。真正好的朋友，從來不需要這些表面功夫。走在這漫漫俗塵，形如微塵的我們，每天忙碌的像只蟋蟻，哪有時間去整那些虛假的表面文章。那些沉淀在歲月里的真情實(shí)意，哪一個不是無事各 自忙，有事時，卻又從不問回報幾何的真心相助？至于那些平日里看上去可以一起打鬧，一起吃喝，一起廝混，看似好成一片的人，或許，只是你在多少次的四目相對之時，動了真心，存了真義，是你默默認(rèn)定對方可稱朋友，有困難的 時候是你愿意伸以援手，但未必對方一樣。多少看似熱情的人，內(nèi)心是薄情的。而多少看似淡漠的人，內(nèi)心實(shí)則一片溫?zé)帷Ｄ切┍砻鏌嵴\的人，總是相安無事各自

12、好，一旦你有事需要援助，別說大事，就是小事需代勞，你都會發(fā) 現(xiàn)原來不過情比紙薄，對方遠(yuǎn)比你自己想的要現(xiàn)實(shí)的多。有些人，自從與你接近，內(nèi)心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有些可用之處。正所謂無事獻(xiàn)殷勤，非奸即盜。在這個功利心彌漫的世態(tài)下，沒有哪一份意外的熱情不無所 圖。不僅是職場如此，男人如此，就連女人也不能免俗。接孩子的時候，被困高層電梯下不來，一個電話打來，希望能幫忙照看一下放學(xué)的孩子。實(shí)在的人總是把別人毫不見外的信任，當(dāng)作是一種榮幸，于是想都不用想就能一口答應(yīng)?？僧?dāng)你 有事需要對方只是代筆簽個字這樣的舉手之勞時，對方都能各種不情愿各種推脫，至此你終是發(fā)現(xiàn)，原來人與人之間真不是一杯換一盞的事兒。關(guān)鍵時刻，還是得找那些看似平時不聯(lián)系，但 一開口能力范圍之內(nèi)就愿意為你想辦法的人。多少人天真的以為，認(rèn)識的人越多，人脈就越廣，自己就越厲害，其實(shí)，那些所謂的人脈，不過廉價。倘若你沒有同等的利用價值，誰會與你建立起所謂的交際？最是談錢傷感情，也最 是感情不值錢。別結(jié)識了比自己優(yōu)秀比自己有能力的人，就覺得有了依靠有了光環(huán)，自己不足夠優(yōu)秀，結(jié)識誰都沒有用。在你困難需求的時候，你開口求助，能夠推脫敷衍那算給面子，對你 閉門不見佯裝不熟也是情理之中。日