數(shù)學(xué)分析15.3傅里葉級數(shù)收斂定理的證明

1、第十五章傅里葉級數(shù)3收斂定理的證明預(yù)備定理1:(貝塞爾不等式)若函數(shù)f在-%句上可積，則2qQ彳a0+ (a2 +b；)W 3 1f2(x)dx,其中 an, bn 為 f 的傅里葉系數(shù).2 n注冗、十 人一、anm證：令 Sm(x)=+Z (ancosnx + bnsinnx),則2 nl兀99兀兀 0r r. r兀f(x)S m (x) dx=-兀a0f(x) -Sm (刈2 dx= f 2(x) dx-2f(x)Sm(x) dx+ Sm(x) dx.其中 J(x) dx+Z an J(x)cosnxdx+bn f(x)sinnxdx j冗nW 兀-7c/m冗22=a0 +兀 (an2na

2、+ b2).由三角函數(shù)的正交性，有兀 9Sm(x) dx=.兀-曳, 一2工(ancosnx bnsinnx) dx n 1a。一飛2 J, , /2 /2 2 J 2f dx+ J Z an C cos nxdx +bn f sin nxdx-兀n =1mdx=- a0 + 兀、(an + bn).2nWm2 冗 222+ bn)+二a0+立(an + bn)2nd - f f(x) -Sm (x) 2dx=f2(x) dx-冗 %-2 立(a - It- Kit-mI二f2(x) dx-2 + 京(a2+bn) 0.-%NndJa2m1 a0+ (an+b2)W jldx對任何正整數(shù)m都成

3、立.又2 n =1冗 7c17co一一4，a200 n 。，、一 一一一，一Tf2(x)dx為有限值，.正項級數(shù)也+ (a2 + b2)的部分和數(shù)列有界,九-2 nm2 0cl2 0cl4 7t +S (a2 + b2 )收斂且有 7 +Z (a2 + bn) W - J 之僅)dx.2 n =12nzi幾推論1:(黎曼-勒貝格定理)若f為可積函數(shù)，則lim f f(x) cosnx dx=lim ( f(x) sinnx =0.n 1冗n ,冷J冗2證：由曳+Z (a22 n 4+ b2)收斂知，a2 +b2-0 (noo),.anH, bnWn/. lim f(x) cosnx nc 冗兀

4、dx=lim f(x)sinnx dx=0.n 下注工冗推論2:若f為可積函數(shù)，則兀Jim f(x) sin1、， 一十一 x dx=lim f(x)sin n21nTC*、/1 - Cn 十一X dx =0.2xx -=cos- sinnx+sin cosnx, 22兀 jf(x)sin n1 )2 x dx = 0 f(x)x cos 一2冗xsinnx dx+ 0 f(x)sin -cosnx dx 2= F1(x)sinnx dx+ F?(x)cosnxdx, 其中 兀-TT/Fi(x)=O- Ttx 0J x,f (x)cos-, 0 Ex E 冗，2F2(x)=一 Tt X 0可知

5、Fi與F2在-兀句上可積.由推論1可知m1元F1 (x)sinnx dx= |imF2(x)cosnx =0.= |m、f(x)sinr .八n + |x dx=0.2；同理可證:.f 1 ), cnimLWsin J+3 x dx =0.預(yù)備定理2:若f是以2兀為周期的函數(shù)，且在-調(diào)上可積，則它的傅里葉級數(shù)部分和S(x)可寫成S(x)=,f(x 1)冗-7tsin n +- ft2 J1dt,2sin2當t=0時，被積函數(shù)中的不定式由極限sin n + itlim - =n+- 確定.t Qt22sin2n ,證：在傅里葉級數(shù)部分和Sn(x)= +Z (akcoskx + bksinkx)中

6、 2代入傅里葉系數(shù)公式，可得:sn(x)=j f(u)sinkudu sinkx 7t1 n 7 工、J(u) du +-Z 卜(J(u)coskudu coskx1、 一1 n1,1、 一1 ,、L=1f(u) |一十 (coskuduco蟻 + sinkusinkx) du=- f(u) |一十 cosk(u-x) du.冗)2 k4- 兀 512 y.人./口 一一一 1 元-xqn、一令 u=x+t, 4S Sn(x)=- f(x +t) + coskt idt, x0 y)又被積函數(shù)周期為2兀,1 一ncoskt =2 k 1,1 +11 sin n +- t,工2 J2sin 2(

7、1、sin n + - t二S(x)=1 f f(x +t) 2, dt. (f的傅里葉級數(shù)部分和積分表示式).2sin上2收斂定理15.3證明：若周期為2兀的函數(shù)f在-兀兀上按段光滑，則qQ在每一，點 在-兀兀,f的傅里葉級數(shù)+Z (ancosnx + bnsinnx)收斂于f 2 nd在點x的左右極限的算術(shù)平均值，即嶇一嶇=-a0 + S (ancosnx + bnsinnx), 其中 an, bn 為傅里葉系數(shù) .22 nJsin n +- it、t2 1 dt.2sin 一2冗7t,f +1 ; sin n + t2 J2sin 21 dt=- 冗f1 J、，-+Z coskt idt

8、=1;0 yJ又上式左邊為偶函數(shù),兩邊同時乘以f(x+0)后得:f二-f(x+0)2 冗一sin nItdt.令 Mt)=-2sin - 2f(x t) - f(x 0) _ f(x t) - f(x 0)2sin - 21 t6(0同 sin2證：記f的傅里葉級數(shù)的部分和為S.(x)=1 f f(x +t)*. u- ITTT貝U lim+小(t)=f (x+0) 1=-f(x+0).再令 M0)=-f(x+0),則在點t=0右連續(xù).又。在0,兀上至多只有有限個第一類間斷點，。在0,可上可積.根據(jù)預(yù)備定理1的推論2,有1 TTnm1 0f(x+0)-f(x+t)sin n +1 i、2j2s

9、in-2,1 ,dt二nimrJ。6(tsin n11 Vn+二 tdt=0,【21f(x 0)1 TT-0 f(x t)九0.1 ； sin n + tdt2sin- 2=0,同理可證Pmf(x -0)兀0 f(x t)sin n +1 it一、dt2sin-2二0； limnr：f(x+0)+f(x-0)f(x+t)7t11 1sin n +- t一、dt2sin- 2=niF-Sn(x)Lo.即00+ ;(ancosnx + bnsinnx).n 4f(x 0) f(x - 0) _ a0a f(x)=+，(ancosnx + bnsinnx).2 n4,121 a0J?I f (x)d

10、x= f(x) 八 (ancosnx + Hsinnx) dx冗 o九一 1 2n_iao1 工一、 =+- x anf(x)cosnx+bnf(x)sinnx dx.2 九二 : f在-兀兀上可積, . f在-K兀上有界.oO anf (x)cosnx + bnf (x)sinnx在-兀可上致收斂.n 41 冗2a.1 兀c1 兀4又一 f (x) dx= dx= 九-7t九-7t161 * 冗冗 一 f (x)dx= +anf (x)cosnxdx + bn f (x)sinnxdx dx兀 - 2 Ttn-a21 二 cca2_ ao . 122X ao22= 一+ 一 (an冗+bn九

11、=一+(an+ bn).2 九nm2 nJ3、由于帕塞瓦爾等式對于在-兀兀上滿足收斂定理條件的函數(shù)也成立.請應(yīng)用這個結(jié)果證明下列各式:冗2001(1) 8 nm(2n-1)212n4一 冗三小9014 nx x x :二證：（1）對函數(shù)f（x）=2在（-兀上展開傅里葉級數(shù)得:sin(2n -1)xf(x)=Z ,nm 2n -1其中ao=&=O, bn=4ncosnx + bng(x)sinnx| dx兀-兀-2TtnJ-da0 %E 一 1 ，、, 1 、.,；+ an g(x)cosnxd x + bn -g(x)sinnxd x =nJ 冗。小I _ a0 OqoO+ Z (a n 廝

12、+ b n 3 ).n =1. 兀5、證明：若f及其導(dǎo)函數(shù)f均在-兀,兀上可積，f) dx=0, f(- =f(,且帕塞瓦爾等式成立，則 f(x)2dxn “f(x) 2 dx. 工無工兀證：設(shè)a0,an,bn為f的傅里葉系數(shù)；a o,an,bn為f的傅里口t系數(shù).由 J f(x) dx=0, f(-=f(,有 a o=ao=O； an = nbn,bn=-nan.一 ,，一 ,、,1 冗c2 2 望 一一望 一一根據(jù)帕塞瓦爾等式，有二f(x)2dx=+z(a2 + b2)=(a2+b2), 九2nvn 二) af0r o 00o o o 00o o o11 f(x)2dx=a+Z (an2

13、+ b；2)= n2(a2 + b2)Z (a2 +b2)=- f(x) 2dx.九 52nmnVnW兀 一KKf(x)2dxn fjf(x) 2dx.2 一 2習(xí)題1、設(shè)f以2兀為周期且具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明f的傅里葉級數(shù)在(-OO,+OO)上一致收斂于f.證：由f在(-f+oo)上光滑，知f在-?？缮峡煞e，且 f的傅里葉系數(shù)為：ao=O； a n=nbn, bn=-nan, (n=1,2,).|an|, 1bn|- 121121_1221 |an|+|b n|=+ - (an +)+-(bn +)=- (an + bn )+.n n 2 n 2 n 2n由貝塞爾不等式知級數(shù) J(a；2 +b；*