關(guān)于積分的數(shù)學(xué)模型實(shí)例

1、 關(guān)于積分的數(shù)學(xué)模型實(shí)例用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法研究體育運(yùn)動(dòng)是20世紀(jì)70年代開始的，1973年，美國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家凱勒發(fā)表了賽跑的有關(guān)理論，并用他的理論訓(xùn)練中長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員，取得很好的成績(jī)。幾乎同時(shí)，美國(guó)的計(jì)算專家埃斯特運(yùn)用數(shù)學(xué)、力學(xué)，并借助計(jì)算機(jī)研究了當(dāng)時(shí)鐵餅投擲技術(shù)，從而提出自己的理論，據(jù)此改正投擲技術(shù)的訓(xùn)練措施，從而使當(dāng)時(shí)一位世界冠軍在短期內(nèi)將成績(jī)提高了4米，在一次奧運(yùn)會(huì)上的比賽中創(chuàng)造了連破三次世界紀(jì)錄的輝煌成績(jī)。這些例子說(shuō)明，數(shù)學(xué)在體育訓(xùn)練中也在發(fā)揮著越來(lái)越明顯的作用，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也越來(lái)越深入，借助的科學(xué)工具也越來(lái)越先進(jìn)。我們選擇一個(gè)較簡(jiǎn)單的例子來(lái)作說(shuō)明。籃球運(yùn)動(dòng)員在中距離投籃訓(xùn)練時(shí)被告知：為提

2、高投籃命中率，應(yīng)以450投射角投球。請(qǐng)從數(shù)學(xué)理論的方法闡述其原因。其中典型數(shù)據(jù)：投籃距離6米，籃圈半徑0.2米，籃圈高度3.05米，籃球出手高度2.9米。模型假設(shè)：（1） 忽略空氣阻力； v P1 P2（2） 只考慮不接觸籃板投籃的情況； O （3） 防守隊(duì)員的防守不影響投籃命中率；（4） 運(yùn)動(dòng)員投球的水平距離s<10（米） h0 H0 （5） 投球的運(yùn)動(dòng)曲線和籃圈中心在同一平面內(nèi)。 S0如圖，設(shè)P1P2為籃圈橫截面，籃圈高為H0，半徑為R，H0=3.05（米），R=0.2（米）投籃出手點(diǎn)到籃圈中心水平距離為s0，出手高度為h0，s0=6（米） h0=2.9（米）投籃出手角度為，速度為v

3、，入籃籃球空中運(yùn)行軌跡位于圖中兩曲線之間區(qū)域，其面積為A()建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及求解：顯然，投球入籃與否與距離s0、出手角度、出手速度v、籃圈高、半徑等因素有關(guān)，為了綜合考慮這些因素，我們用入籃籃球的空中運(yùn)行區(qū)域的大小來(lái)刻畫投籃的命中程度。于是，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)角度0(h0, s0)，能使運(yùn)行區(qū)域面積A()最大，即第一步：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知弧、的方程為斜上拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程，方程式為： 由于過(guò)點(diǎn)，則有：則的方程為同理，得方程為 另外，直線P1P2的方程為第二步，求運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積A()運(yùn)用定積分求面積，得第三步，求A()得極值點(diǎn)：由A()的表達(dá)式可以看出，當(dāng)tan越大（即越大，<900），A()越大。

4、但事實(shí)上由于投籃出速度只可能在某一范圍內(nèi)變化，所以tan只可能在某一范圍內(nèi)變化。為求tan在所給定的范圍內(nèi)使A()達(dá)到最大，我們把A化為初速度v的函數(shù)來(lái)求極大值?；氐竭\(yùn)動(dòng)方程 設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)，代入方程得：從而有這是關(guān)于tan的一元二次方程，取其最小的根：其中，滿足 又因?yàn)樗?，tan是的減函數(shù)，當(dāng)達(dá)到極小時(shí)，tan達(dá)到極大，由于解得 則有其中從上式可以看出，是s的減函數(shù)，由于所以把H0、h0、s0、R的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得這與一般中距離投籃的經(jīng)驗(yàn)（投射角為450）基本相符，結(jié)果令人滿意。在上述模型中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積表示為tan的函數(shù)時(shí)，不能用微分求極值得方法直接解決，而是使用一定的轉(zhuǎn)化從側(cè)面入手加以討論。此